3.3 第3课时 二项式定理的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

二项式定理的综合应用 (深化课——题型研究式教学) 第3课时 课时目标 进一步理解二项式定理及其性质,能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　两个多项式乘积的特定项 题型(二)　三项展开式问题 题型(三)　二项式定理的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　两个多项式乘积的特定项 [例1]　在(1+2x)3(1-x)4的展开式中,含x项的系数为 (　 ) A.10 B.-10 C.2 D.-2 解析: (1+2x)3(1-x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的,即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项,为(2x)0(-x)1+(2x)1(-x)0,其系数为××(-1)+×2×=-4+6=2. √ [例2]　已知(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项的系数为5,则a等于 (　 ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:由二项式定理得(1+x)5展开式的通项为Tk+1=xk,所以(1+ax)(1+x)5展开式中含x2的项的系数为+·a=5,所以a=-1. √ [思维建模] 求多项式乘积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到,(a+bx)n(s+ tx)m的展开式中一般项为Tk+1·Tr+1=an-k(bx)ksm-r(tx)r,再依据题目中对指数的特殊要求,确定r与k所满足的条件,进而求出r,k的取值. 针对训练 1.(1+2x2)(1+x)4展开式中x3的系数为 (　 ) A.12 B.16 C.20 D.24 解析:法一　(1+2x2)(1+x)4展开式中x3的系数为1×+2×=12. 法二　∵(1+2x2)(1+x)4=(1+2x2)(1+4x+6x2+4x3+x4),∴x3的系数为1×4+2×4=12. √ 2.(x-y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字作答)  解析:由二项式通项可知,含x2y7的项可表示为xxy7-yx2y6, 故(x-y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为-=8-28=-20. -20 题型(二)　三项展开式问题 [例3]　(x-y+2)5的展开式中,x3y的系数为 (　 ) A.80 B.40 C.-80 D.-40 解析: (x-y+2)5=[x-(y-2)]5的展开式中含x3的项为x3(y-2)2,(y-2)2的展开式中含y的项为y(-2),所以(x-y+2)5的展开式中,x3y的系数为××(-2)=-40. √ [思维建模] (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏;也可利用排列组合的知识求解. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决,或利用展开式的原理求解. 针对训练 3.(x2+2x-y)5的展开式中,x5y2项的系数为 (　 ) A.10 B.-30 C.60 D.-60 √ 解析:因为(x2+2x-y)5=[x2+(2x-y)]5的展开式通项为Ar+1=(x2)5-r(2x-y)r(r=0,1,2,3,4,5),(2x-y)r的展开式通项为Bk+1=(2x)r-k(-y)k=(-1)k2r-kxr-kyk(k=0,1,2,…,r), 所以(x2+2x-y)5的展开式通项为Tr+1,k+1=(-1)k2r-kx10-r-kyk. 由可得 所以展开式中x5y2项的系数为××(-1)2×2=60. 4.(x2-x-2)6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0,则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0= (　 ) A.-32 B.0 C.32 D.64 解析:令x=1,可得a12+a11+a10+…+a1+a0=(12-1-2)6=64,令x=-1,可得a12-a11+a10 -a9+…+a2-a1+a0=0,所以a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0==32. √ 题型(三)　二项式定理的应用 [例4]　(1)设n为正奇数,则7n+·7n-1+·7n-2+…+·7被9除的余数为多少? 解:由题意,可得7n+·7n-1+…+·7=7n+·7n-1+…+·7+1-1=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=9n-·9n-1+·9n-2-…+·9-1-1=9M-2(M为整数),所以7n+·7n-1+…+·7被9除余7. (2)若n为正整数,求证:32n+3-24n+37能被64整除. 解:证明:因为32n+3-24n+37=3·32n+2-24n+37=3·(8+1)n+1-24n+37=3·(8n+1+·8n+…+·82+·8+1)-24n+37=3·82·(8n-1+ ·8n-2+…+)+64, 所以32n+3-24n+37能被64整除. [思维建模] (1)利用二项式解决整除问题,首先将所给的式(数)改写成含有除式(数)的二项式结构,然后展开即可,其中根据题意把二项式合理构造,结合二项展开式进行求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. (2)利用二项式定理可以证明不等式,注意观察原不等式的形式或通过构造两项和的形式,对原不等式进行恒等变形或适当应用放缩法,最终证明命题. 针对训练 5.请利用二项式定理证明:3n>2n2+1(n≥3,n∈N+). 证明:当n≥3,n∈N+时, 3n=(1+2)n=1+·2+·22+…+2n>1+·2+·22=2n2+1. 6.求++…+除以9的余数. 解:∵++…+=(+++…+)- =227-1=89-1=(9-1)9-1=99+98(-1)+97(-1)2+…+9(-1)8+(-1)9-1 =99-98+97-…+9-1-1 =9(98-97+96+…+)-2 =9(98-97+96+…+-1)+(9-2), ∴++…+除以9的余数为7. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——综合提能 1.(x2+2)展开式中的常数项是(　 ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k. 令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5. 故(x2+2)·展开式中的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(1-x)4(1-)3展开式中x2的系数是(　 ) A.-6 B.-3 C.0 D.3 解析: (1-x)4展开式的通项为Tk+1=(-1)kxk,(1-)3展开式的通项为Tr+1=(-1)r,当k=0时,=2,即r=4>3,不符合题意;当k=1时,=1,即r=2,此时x2的系数为(-1)·(-1)2=-12;当k=2时,=0,即r=0,此时x2的系数为×(-1)2×1=6,所以x2的系数是-12+6=-6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(1+x)8(1+y)4展开式中x2y2的系数是 (　 ) A.56 B.84 C.112 D.168 解析:在(1+x)8展开式中含x2的项为x2=28x2,(1+y)4展开式中含y2的项为y2=6y2,所以x2y2的系数为28×6=168. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设n∈N+,则1n80+1n-181+1n-282+1n-383+…+118n-1+108n除以9的余数为(　 ) A.0 B.8 C.7 D.2 解析:因为1n80+1n-181+1n-282+1n-383+…+118n-1+108n =(1+8)n=9n,所以除以9的余数为0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选](1+x2)(2+x)4的展开式中 (　 ) A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 解析: (1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展开式中x3的系数分为两部分,一部分是(2+x)4中x3的系数·2=8,另一部分是(2+x)4中x的系数·23=32,所以x3的系数是8+32=40;展开式中常数项只有(2+x)4展开式中的常数项,为24=16. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知(1+ax)3+(1-x)5展开式中x3的系数为-2,则a=　　　.  解析:(1+ax)3+(1-x)5展开式中x3的系数为a3+(-1)3=a3-10=-2,则a3=8,解得a=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若二项式(1-2x)4的展开式中x3项的系数是-70,则实数a的值为　　.  解析:因为(1-2x)4=2×(1-2x)4-(1-2x)4,(1-2x)4的展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,k=0,1,2,3,4,所以2×(1-2x)4展开式中x3项的系数是2×(-2)3=-64,(1-2x)4展开式中x3项的系数是×(-2)2=, 所以-64-=-70,解得a=4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若展开式中的常数项为-40,则a=　　.  解析:展开式的第r+1项为Tr+1=(2x)5-r=25-rx5-2r, 因为的展开式中的常数项为-40,所以ax22x-1+23x=-40, 所以40a+80=-40,解得a=-3. -3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(x>0)的展开式中的常数项为　　　　.  解析:因为(x>0)可化为, 所以Tr+1=()10-2r, 令10-2r=0,得r=5,故展开式中的常数项为×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.求(+3x2)5的展开式中系数最大的项. 解:设展开式中第(k+1)项的系数最大,又Tk+1=()5-k(3x2)k=3k, 则⇒⇒≤k≤. 又因为1≤k≤4,k∈N,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大, T5=34=405. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.(多选)已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(　 ) A.a0的值为2 B.a5的值为16 C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5 D.a1+a3+a5的值为120 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:令x=0,得a0=2,故A正确;2×(-2)5×+(-2)4×=16,故a5=16,故B正确;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3　①, 又a0=2,则a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5,故C正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=243　②,由①②,得a1+a3+a5=-123,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若(x2-a)展开式中x6的系数为30,则a等于(　 ) A. B. C.1 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:展开式的通项是Tk+1=x10-k=x10-2k,展开式中x4(当k=3时),x6(当k=2时)的系数分别为,.因为(x2-a) 展开式中的x6由x2与展开式中的x4的乘积以及-a与展开式中的x6的乘积两部分构成,因此,由题意得-a=120-45a=30,解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N+)展开式中含x项的系数为36,则展开式中含x2项的系数的最小值为　　　.  解析:∵(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为 ·2x+·4x=(2+4)x, ∴2+4=36,即m+2n=18. 又(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n, 272 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵m+2n=18,∴m=18-2n, ∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16, ∴当n=时,t取最小值,但n∈N+, ∴当n=5时,也满足m∈N+, 此时,x2项的系数最小,最小值为272. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知(1+x)n的展开式中常数项为-6. (1)求n; 解:由(1+x)n=1+x+x2+…+xn,得多项式(1+x)n的展开式的常数项为1×3+x=3-n=-6,解得n=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)证明:43n+5能被6整除. 解:证明:由(1)得439+5=(42+1)9+5=429+428+…+421+1+5=42(428+427+…+)+6=6[7(428+427+…+)+1], 所以43n+5能被6整除. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(2x+m+1)(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10(m∈R).若a0=2, (1)求实数m的值; 解:由(2x+m+1)(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令x=0,可得a0=m+1=2,解得m=1. (2)求a1; 解:由(1)可知(2x+2)(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,a1为一次项系数,由于(2x+2)(3x+1)9=2x(3x+1)9+2(3x+1)9, 故一次项为2x+2·3x=56x,所以a1=56. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求-+…+(-1)k+1+…-的值. 解:由(1)可知(2x+2)(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,且a0=2, 令x=-,可得a0-+-…+(-1)k+…+=0,则-+-…+(-1)k+…+ =0-a0=-2, 所以-+…+(-1)k+1+…-=-=2. $$