3.3 第2课时 二项式系数的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

二项式系数的性质及应用 (强基课——梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用,掌握“赋值法”并会灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1.二项式系数和的性质 (1)++…++…+=____; (2)+++…=+++…=______. 2.杨辉三角的性质 (1)每一行都是______的,且两端的数都是___; (2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之____. 2n 对称 1 和 3.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数______,即__________; (2)增减性与最大值:增减性:当k<______时,二项式系数是逐渐增大的; 当k>_______时,二项式系数是逐渐减小的.最大值:当n为偶数时,中间 一项的二项式系数___最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数_____, _____相等,且同时取得最大值. 相等 = 1.已知(ax+1)n的展开式中,二项式系数和为32,则n等于 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 基点训练 √ 2.(1+x(n∈N+)的展开式中,系数最大的项是(　 ) A.第+1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项 √ 3.展开式的各项系数的和为(　 ) A.-1 B.0 C.1 D.210 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　二项展开式的系数和 [例1]　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; 解:在(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100中, 令x=0,得a0=2100. (2)a1+a3+a5+…+a99; 解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=, 两式相减,得a1+a3+a5+…+a99=. (3)-(a1+a3+…+a99)2. 解:由(2)得(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2=(a0+a1+a2+…+a100) (a0-a1+a2-a3+…-a99+a100)=(2-)100·(2+)100==1. [思维建模] 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求展开式系数常用的方法,根据题目要求,灵活给字母赋不同的值. (1)一般地,要使二项展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时,令x=-1则可得各项系数绝对值之和. (2)有两个变量x,y的,可以令x=y=1,得所有项系数之和. 针对训练 1.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求下列各式的值. (1)a1+a2+…+a7; 解:当x=1时,(1-2x)7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1; 当x=0时,a0=1, 故a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1-1=-2. (2)a0+a2+a4+a6; 解:当x=-1时,(1-2x)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37. 由(1)知a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,所以a0+a2+a4+a6==1 093. (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:由展开式可知a1,a3,a5,a7均为负值,a0,a2,a4,a6均为正值, 结合(1)(2)可知a1+a3+a5+a7==-1 094,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. 题型(二)　杨辉三角 [例2]　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如=+,=+,=+,…,则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　.                                                                    ……        解析:将杨辉三角中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为=. [思维建模] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察. (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律. (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来,使问题得解. 针对训练 2.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b= (　 ) A.20 B.21 C.22 D.23 √         1               2   2           3   4   3       4   7   7   4   5   11   14   11   5        ……        解析:观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22. 题型(三)　二项式系数的增减性与最值 [例3]　在的展开式中, (1)求二项式系数最大的项; 解:由二项式通项,得=()8-r=(-1)r2r. (1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项, 故T5=·24·=1 120x-6. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解:设第(r+1)项系数的绝对值最大, 则即 整理得所以r=5或r=6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解:由本例(2)知, 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=26x-11=1 792x-11,系数最小的项为T6=(-1)5·25=-1 792. 变式拓展 [思维建模] 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 针对训练 3.在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; 解:二项式系数最大的项是第11项, 即T11=×310×(-2)10x10y10=×610x10y10. (2)系数绝对值最大的项; 解:设系数绝对值最大的项是第r+1(0≤r≤20,r∈N)项, 于是化简,得 解得≤r≤(r∈N),所以r=8. 即T9=×312×28x12y8是系数绝对值最大的项. (3)系数最大的项. 解:由于系数为正的项为y的偶次方项,因此可设第2k-1(1≤k≤11,k∈N)项系数最大,于是 所以 解得k=5,即第2×5-1=9项系数最大, T9=×312×28x12y8. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024,则n的值为(　 ) A.10 B.9 C.8 D.7 解析:展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024,解得n=10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在(1+x)12展开式中,系数最大的项是 (　 ) A.第5,6项 B.第6,7项 C.第6项 D.第7项 解析:因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk,k=0,1,2,…,12,所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数,根据二项式系数的性质有,第7项的二项式系数最大. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+a3+…+a9= (　 ) A.1 B.513 C.512 D.511 解析:令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512,所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是 (　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:由题图知,除1以外,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,解得a=6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]关于(5-x)6的展开式,下列判断正确的是 (　 ) A.展开式共有6项 B.展开式的各二项式系数的和为64 C.展开式的第6项的系数为30 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 解析:展开式共有7项,故A错误;展开式的各二项式系数的和为26=64,故B正确;展开式的第6项是51(-x)5=-30x5,其系数为-30,故C错误;展开式共7项,所以第4项的二项式系数最大,故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则第4项为　　　　.  解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,即+1=6,所以n=10,所以T4=·=120. 120 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列前n项和为S(n),则S(31)=　　　.  951 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由“杨辉三角”性质,得 S(31)=++++…+++ =(++…+)+(++…+) =(+++…+)+(++…+)-1=+-1=951. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知的展开式二项式系数和为64. (1)求n的值; 解:由题意得2n=64,解得n=6. (2)求展开式中的常数项; 解:二项式通项Tk+1=(2x)6-k=26-k,令6-=0,可得k=4. ∴展开式中的常数项为T5=26-4=60. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求展开式中二项式系数最大的项. 解:∵n是偶数,展开式共有7项,则第4项最大, ∴展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·=160. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.求(2x-1)5的展开式中(1)各项系数之和; 解:设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5. (1)令x=1,得各项系数之和为a0+a1+a2+…+a5=1. (2)各项的二项式系数之和; 解:各项的二项式系数之和为++…+=25=32. (3)偶数项的二项式系数之和; 解:偶数项的二项式系数之和为++=×25=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)各项系数的绝对值之和; 解:由二项式的通项Tr+1=(2x)5-r(-1)r,r=0,1,2,3,4,5, 得a0,a2,a4<0,a1,a3,a5>0. 令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=243. (5)偶数项的系数之和. 解:a1+a3+a5=[(a0+a1+a2+a3+a4+a5)-(a0-a1+a2-a3+a4-a5)]=122. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 10.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m等于(　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由二项式系数的性质知, 二项式(x+y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项,即=a, 二项式(x+y)2m+1的展开式中二项式系数的最大值有两项, 即==b. 因此13=7,即13·=7·, 所以m=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.[多选]对于任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+… +a9(x-1)9,则下列结论成立的是 (　 ) A.a1=18 B.a2=-144 C.a1+a2+…+a9=2 D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=39 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析: (2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,则[-1+2(x-1)]9的展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r2r(x-1)r(0≤r≤9,r∈N),当r=1时,a1=(-1)821=18,故A正确;当r=2时,a2=(-1)9-222=-144,故B正确;当x=1时,(2-3)9=a0=-1,当x=2时,(4-3)9=a0+a1+a2+…+a9=1,所以a1+a2+… +a9=2,故C正确;当x=0时,(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9=-39,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　.  解析:由题知,展开式通项为Tr+1=xr,0≤r≤10且r∈N,设展开式中第r+1项系数最大,则解得 即≤r≤.又r∈N,故r=8. 所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.在杨辉三角中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)试用组合数表示这个一般规律; 解:=+. (2)在数表中试求第n行(含第n行,n∈N)之前所有数之和; 解:1+2+22+…+2n=2n+1-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)试探究在杨辉三角中的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论. 解:能,证明如下: 设∶∶=3∶4∶5,由=,得=, 即3n-7r+3=0①,由=,得=,即4n-9r-5=0②,联立①②,解得n=62,r=27,所以∶∶=3∶4∶5.所以结论成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求二项展开式中各项二项式系数和; 解:由题意得∶=1∶3,即=,解得n=7或n=0(舍去). 故二项展开式中各项二项式系数和为27=128. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求二项展开式中系数最大的项. 解:展开式的通项为Tr+1=37-r·2r, 设展开式中系数最大的项为Tr+1,则 解得≤r≤,又r∈N+,∴r=3, ∴展开式中系数最大的项为T4=22 680. $$