3.3 第1课时 二项式定理及其应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

3.3 二项式定理与杨辉三角 二项式定理及其应用 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.能用计数原理证明二项式定理.　 2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 二项式定理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+) 二项展开式 定理等号右边的式子 二项式系数 _________________ 二项式通项 Tk+1=________ (k=0,1,2,…,n) an-kbk [微点助解] (1)每一项中a与b的指数和为n; (2)各项中a的指数从n起依次减小1,到0为止,各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止; (3)若a与b的位置交换,则展开式形式变化; (4)an-kbk表示的是第k+1项; (5)二项式定理中只有a,b两项.若有多项,可合并化为两项后再解决问题. 1.若N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4,则N= (　 ) A.(x-1)4 B.(x+1)4 C.(x-3)4 D.(x+3)4 解析:N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4=(x-1)4+(x-1)3·2+(x-1)2·22+(x-1)·23+24=(x-1+2)4=(x+1)4. 基点训练 √ 2.二项式的展开式中,含x2项的系数是(　 ) A.-462 B.462 C.792 D.-792 解析:展开式的通项为x12-k(-1)kx-k=(-1)kx12-2k,k∈{0,1, 2,…,12},令12-2k=2,解得k=5,所以x2项的系数是(-1)5=-792. √ 3.用二项式定理展开(x+2)4=　　　　　　　 　.  解析:(x+2)4=x420+x321+x222+x123+x024 =x4+8x3+24x2+32x+16. x4+8x3+24x2+32x+16 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　二项式定理的正用和逆用 [例1]　设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于 (　 ) A.(x-1)3　 B.(x-2)3　 C.x3　 D.(x+1)3 解析:S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3×10+(x-1)2×1+(x-1)× 12+×13=[(x-1)+1]3=x3. √ [例2]　用二项式定理展开(2x+)4=　　 　　.  解析:(2x+)4=(2x)4()0+(2x)3·()1+(2x)2()2+(2x)1()3 +(2x)0·()4=16x4+32+24x3+8+x2. 16x4+32+24x3+8+x2 [思维建模]　二项式定理的正、逆用 正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开 逆用 逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数 针对训练 1.(1)求的展开式. 解:法一　=(3)4+(3)3·+(3)2+ (3)+=81x2+108x+54++. 法二　==(1+3x)4=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+ (3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. (2)化简:(x+1)n-(x+1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解:原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+… +(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 题型(二)　二项展开式项的系数 [例3]　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; 解:由已知得二项式通项为Tk+1=(2)6-k=26-k(-1)k, ∴T6=26-5(-1)5=-12. ∴第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为-12. (2)求的展开式中x3的系数. 解:设展开式中的第k+1项为含x3的项, 则Tk+1=x9-k=(-1)kx9-2k, 令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3, 其系数为(-1)3=-84. [思维建模] 二项式通项的应用的常见题型 (1)求第k项,Tk=an-k+1bk-1; (2)求含xk的项(或xpyq的项); (3)求项的系数或二项式系数. 针对训练 2.已知二项式. (1)求展开式的第4项的二项式系数; 解:的展开式的通项是Tk+1=(3)10-k =310-k·(k=0,1,2,…,10). (1)展开式的第4项(k=3)的二项式系数为=120. (2)求展开式的第4项的系数; 解:展开式的第4项的系数为37=-77 760. (3)求展开式的第4项. 解:展开式的第4项为T4=T3+1=-77 760. 题型(三)　与展开式中特定项有关的问题 [例4]　在二项式的展开式中,x的指数为整数的项的个数为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:展开式的通项为Tr+1==, r=0,1,2,3,4,5,6,7.当r=1,3,5,7时,x的指数为整数,共有4项. √ [例5]　若的展开式的常数项为60,则实数a的值为(　 ) A.4 B.2 C.8 D.6 解析:的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r. 令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2a=60,解得a=4. √ [思维建模] 求展开式中特定项的方法 求展开式中特定项的关键是抓住其通项,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数. 针对训练 3.在的展开式中,系数为有理数的项是(　 ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析:在的展开式中,根据通项Tk+1=(x2)7-k可知,k=4时系数为有理数,即第5项的系数为有理数. √ 4.二项式的展开式的中间项为　　　　.  解析:设的展开式的通项为Tr+1=(-1)r,总共11项,中间项为第6项,此时r=5, 所以T6=(-1)5=-252. -252 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——综合提能 1.已知S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S可化简为(　 ) A.x4 B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4 解析:S=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(1-2x)8展开式中第4项的二项式系数为 (　 ) A.-448 B.1 120 C.56 D.70 解析: (1-2x)8展开式中第4项的二项式系数为=56. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.的展开式中常数项为(　 ) A.-24 B.-4 C.4 D.24 解析:展开式的通项Tr+1=x4-r(-2)rx-r=(-2)rx4-2r,令4-2r=0,解得r=2,故T3=(-2)2=24,故常数项为24. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.的展开式中,的系数等于(　 ) A.-45 B.-10 C.10 D.45 解析:的展开式的通项为Tr+1=(x-1)10-r=(-1)r, 令r-10=,解得r=9,故T10=(-1)9=-10,所以的系数等于-10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.的展开式中所有有理项的系数和为(　 ) A.85 B.29 C.-27 D.-84 解析:展开式的通项为Tr+1=x8-r=(-1)r,其中r=0,1,2,3,4, 5,6,7,8,当r=0,3,6时为有理项,故有理项系数和为(-1)0+(-1)3+(-1)6 =1+(-56)+28=-27,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.展开=　　 　.  解析:=(2x)5-(2x)4+(2x)3-(2x)2+(2x)-=32x5-80x2+-+-. 32x5-80x2+-+- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知的展开式中的常数项为-160,则a=　　　.  解析:的常数项为(2x)3=23(-a)3, 因此23(-a)3=-160,解得a=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.二项式的展开式中x2y3的系数是　　　　.  解析:展开式的通项为Tk+1=(3x)5-k·=35-kx5-kyk,令k=3,则T4=32x2y3=-x2y3. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(1)求的展开式; 解:由二项式定理可得,=()4-()3+ ()2-()1+=x2-2x+-+. (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 解:原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知二项式的展开式中共有10项. (1)求展开式的第5项的二项式系数; 解:由题意可得n=9, 所以展开式的第5项的二项式系数为=126. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求展开式中的常数项. 解:展开式的通项为Tr+1=·=(-1)r, 其中r=0,1,2,…,9,令=0,得r=3,所以展开式中的常数项为(-1)3× ×=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.(x-y)7的展开式中x3y4的系数为-105,则实数m=(　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析: (x-y)7的展开式的通项为Tr+1=(-1)rx7-ryr,所以Tr+1=(-1)rx6-r·yr+1. 令解得r=3,mTr+1=m·(-1)rx7-ryr.令解得r=4.由题意,可知(-1)3+m·(-1)4=-+m=(m-1)=-105,所以m=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则b1,b2,b3,b4的值分别为 (　 ) A.0,0,0,0 B.-4,6,-3,0 C.4,-6,4,-1 D.-4,6,-4,1 解析:依题意,得x4=[(x+1)-1]4=·(x+1)4·(-1)0+·(x+1)3·(-1)+·(x+1)2· (-1)2+·(x+1)1·(-1)3+·(x+1)0·(-1)4=(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1,又x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,所以b1=-4,b2=6,b3=-4,b4=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.设常数a>0,展开式中x3的系数为,则a=　　　.  解析:设展开式的通项为Tr+1=(ax2)4-r =a4-r(-1)r,由题意可得,当r=2时,a2(-1)2=,解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知(1+x)m+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+aixi(m,n∈N+,i=max{m,n})对任意实数x都成立,若a1=12,则a2的最小值为　　　　.  解析:由题意得,a1=+=m+n=12. a2=+=+===-6=-6=-6=66-mn. 因为m+n=12≥2,所以mn≤36,当且仅当m=n=6时等号成立, 所以a2=66-mn≥30,即a2的最小值为30. 30 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知f(x)=的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比为5∶2. (1)求f(x)展开式中的常数项; 解:因为===,即n2-5n-24=0, 解得n=8或n=-3(舍去),所以f(x)展开式中的常数项为()4=1 120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若(1+ax)f(x)的展开式中含x3项的系数为20,求a的值. 解: (1+ax)f(x)=(1+ax)的展开式中含x3项的系数为(-2)+ a(-2)2=20,解得a=. $$