3.1.3 第2课时 组合数的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

组合数的应用(深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列,能应用组合数公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　简单的组合问题 题型(二)　有限制条件的组合问题 题型(三)　分组、分配问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　简单的组合问题 [例1]　在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法? (1)有3名内科医生和2名外科医生; 解:先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故有=120(种)选派方法. (2)既有内科医生,又有外科医生. 解:既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人、2人、3人、4人,有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑,则有-=246(种)选派方法. [思维建模] (1)“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数. (2)“至多”“至少”问题,常有两种解决思路:一是直接分类法,注意分类不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. 针对训练 1.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种? 解:从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种,有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种? 解:选取2种假货有种,选取3种假货有种,共有选取方法+=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种. (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种? 解:选取3种商品的种数为,选取3种假货的种数为,因此有选取方法-=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 题型(二)　有限制条件的组合问题 [例2]　从6名男生,5名女生中选举3人分别担任班长、学习委员和体育委员. (1)若担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生,则不同的情况有多少种? 解:由题意知担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生, 可从11人中选3人,减去全是选男生的情况,再分配担任不同的职务, 故不同的情况有(-)=870种. (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有多少种? 解:若担任班长和学习委员的学生性别不同, 则不同的情况有=540种. [思维建模] 有限制条件的排列组合问题的解题策略 (1)元素分析法:首先满足特殊的元素,然后安排其他元素. (2)位置分析法:首先满足特殊的位置,即把元素安排在特殊的位置,然后安排其他元素. 针对训练 2.从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作. (1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法? 解:依题意,先从剩下的7人中选出2人,有种选法,再将5人安排到5种不同的工作,则有=2 520种选法. (2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法? 解:依题意,直接从除甲、乙、丙三人外的7人种选出5人安排到5种不同的工作,则有=2 520种选法. 题型(三)　分组、分配问题 题点1　不同元素的分组、分配问题 [例3]　有6本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法. (1)甲得1本,乙得2本,丙得3本; 解:分三步完成:甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本,共有=60种. (2)甲、乙、丙各得2本; 解:分两步完成:先均匀分组,再分给甲、乙、丙三名同学,有种, 故共有=90种. (3)一人得4本,另两人各得1本. 解:部分均匀分组问题,先部分均匀分组,再分给甲、乙、丙三名同学,有种,故共有·=90种. [思维建模] “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等,均匀分成n组,最后必须除以n!; ②部分均匀分组,若有n组均匀,最后必须除以n!; ③完全非均匀分组,无重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配. 题点2　相同元素的分组、分配问题 [例4]　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列放法的种数. (1)每个盒子都不空; 解:先把6个相同的小球排成一行,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,故共有=10(种)放法. (2)恰有一个空盒子. 解:恰有一个空盒子,第一步先选出一个盒子,有种选法,第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,由分步乘法计数原理得,共有·=40(种)放法. [思维建模] 相同元素分配问题的处理策略 如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有种方法,可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板. 针对训练 3.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行,比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目.若将3男、3女6名志愿者分成3组,每组1男1女,分别分配到3个自选项目比赛场馆服务,则不同的分配方案共有 (　 ) A.540种 B.36种 C.108种 D.90种 √ 解析:由题意,将3男、3女6人分成3组,每组1男1女,分组方法有=6种,将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有种,故不同的分配方案共有6=36(种). 4.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名,每位同学只能选一所大学,每所大学至少有一名同学报名,且甲同学不报南京大学,则不同的报名方法共有 (　 ) A.16种 B.20种 C.24种 D.28种 √ 解析:由甲不报考南京大学,可分为2类:第1类:甲单独报名一所学校,则不同的报名方法有=12种;第2类,甲和其中一名同学报名一所学校,则不同的报名方法有=12种,由分类加法计数原理,可得共有12+12=24种不同的报名方法. 5.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法共有多少种? 解:根据题意,可分为两步进行: ①先将票分为符合条件的4份,4人分6张票,且每人至少一张,至多两张, 则有2个人各一张,2个人各2张,且分得的票必须是连号, 相当于将1,2,3,4,5,6这六个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号, 其中在5个空隙中插入3个板子,共有=10种情况,其中出现三连号有:123,4,5,6、1,234,5,6、1,2,345,6、1,2,3,456, 共4种情况,不满足题意, 所以有10-4=6种情况符合题意. ②再将分好的4份全排列,对应到4个人,有=24种情况,由分步乘法计数原理可得,共有6×24=144种不同的分法. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛,并且至少1位女生入选,则不同的选法的种数为(　 ) A.12 B.18 C.21 D.24 解析:可分两种情况:第一种情况,只有一位女生入选,不同的选法有=12种,第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有=6种,根据分类加法计数原理知,至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.体育课上,罗老师让8名身高各不相同的同学排队,要求排成前后两排,每排4人,且每排同学从左到右身高依次递增,则不同排法的种数为 (　 ) A.60 B.70 C.80 D.90 解析:选B　从8人中任选4人放在第一排,有=70种选法,且仅有一种排法,其余4人放在第二排只有一种排法,所以不同排法的种数为70. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞、唱歌表演,则不同的选法种数为 (　 ) A.6 B.12 C.8 D.5 解析:男女各选一人出来跳舞和唱歌,有区别,产生顺序,先选人,后排序.先分步,后排列,所有可能为=3×2×2=12种,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知书架上有4本不同的数学书,3本不同的化学书,从中任取3本书.若数学书、化学书每种都取出至少一本,则不同的取法种数为 (　 ) A.60 B.180 C.30 D.90 解析:由题意知,可分为两类:若取1本数学书,2本化学书,有=4×3 =12种;若取2本数学书,1本化学书,有=6×3=18种,所以不同的取法种数为12+18=30. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N+)种不同口味的冰淇淋,才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋,则不同的选择方法有 (　 ) A.110种 B.115种 C.120种 D.125种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:从n(n∈N+)种不同口味的冰淇淋中任选两种不同口味的冰淇淋的组合数为=,令>100,得n≥15,因此m=15.若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋,则不同的选择方法共有+=15+105=120(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在4月举行的高中学校篮球联赛中,8个篮球队中有2个强队,先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分在一个组内的分法有　　　种.  解析:两个强队被分在一个组内,则该组的另两个球队是从除强队外的6个队中任取两个,余下4个队为一组,所以不同的分法有=15种. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.饺子是我国的传统美食,不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个,韭菜馅饺子5个,这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀 取4个饺子,则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为　　　　.  解析:由题意,每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有++=20+60+40=120种,9个饺子任意舀取4个饺子的情况有=126种,所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动,准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目,现要排出一个节目单,若前2个节目中必须要有语言类节目,则不同的排法有　　　种.  解析:若前2个节目都是语言类节目,此时后3个为歌唱类节目,有=12种情况;若前2个节目中恰有1个是语言类节目,有1个是歌唱类节目,则有=12种情况,剩余的3个节目进行全排列,则有=6种情况,则共有12×6=72种情况.综上,有12+72=84种不同的排法. 84 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同,且1和2相邻.问:有多少个这样的六位数? 解:先排3,5,有种方法,再将4,6插空排列,有2种方法,最后将1,2捆绑放到3,4,5,6形成的5个空中,且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同,共有种方法,综上,一共有=40个这样的六位数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.从4名女生,3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛. (1)选出3名学生中,恰有1名男生的选法有多少种? 解:从3名男生中选出1名的选法有=3种, 从4名女生中选出2名的选法有=6种, 所以选出的3名学生中,恰有1名男生的选法有3×6=18种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)选出3名学生中,既有女生又有男生的选法有多少种? 解:选出的3名学生中,有1名女生2名男生的选法有=12种, 有2名女生1名男生的选法有=18种, 所以选出的3名学生中,既有女生又有男生的选法有12+18=30种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)选出3名学生中,女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种? 解:选出的3名学生中,女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有=10种; 女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有=10种; 女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有=5种, 所以选出的3名学生中,女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10+10+5=25种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.从1,3,5中取两个数,从2,4中取一个数,可以组成没有重复数字的三位数,则在这些三位数中,奇数的个数为(　 ) A.12 B.18 C.24 D.36 解析:从1,3,5中取两个数有种方法,从2,4中取一个数有种方法,而奇数只能从1,3,5取出的两个数之一作为个位数,另外两个数全排列即可,故奇数的个数为=3×2×2×2×1=24. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表,要求数学排在上午(前4节),体育课排在下午(后2节),不同排法种数是 (　 ) A.720 B.192 C.180 D.144 解析:由题意可得,要求数学课排在上午(前4节),体育课排在下午(后2节),有=8种,再排其余4节,有=24种,再根据分步乘法计数原理,共有8×24=192种方法. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆),则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 (　 ) A.144种 B.108种 C.72种 D.36种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据题意,分3步进行分析:①从4种不同品牌的小车中任取2个品牌的小车,有种取法,②将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中,有种情况,③剩余的4辆车放进剩下的2个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,有1种情况,则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有×1=72种,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某学校举行男子乒乓球团体赛,决赛比赛规则采用积分制,两支决赛的队伍依次进行三场比赛,其中前两场为男子单打比赛,第三场为男子双打的比赛,每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有5名队员,现在需要提交该球队决赛的出场阵容,即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容? 解:出场阵容可以分2步确定: 第1步,从5名运动员中选择2人,分别参加前两场男单比赛,共有种;第2步,从剩下的3名运动员中选出2人参加男双比赛,共有种,根据分步乘法计数原理,得不同的出场阵容种数为N=×=60. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛,则一共有多少种不同的出场阵容? 解:队员A不能参加男子双打比赛,有2类方案: 第1类方案是队员A不参加任何比赛,即除了队员A之外的4人参加本次比赛,只需从4人中选出2人,分别去参加前两场单打比赛,共有种,剩余人员参加双打比赛; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 第2类方案是队员A参加单打比赛,可以分3个步骤完成: 第1步,确定队员A参加的是哪一场单打比赛,共2种; 第2步,从剩下4名队员中选择1人参加另一场单打比赛,共4种; 第3步,从剩下的3名队员中,选出2人参加男双比赛,共有种, 根据分步乘法计数原理,得队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×种. 根据分类加法计数原理,得队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为N=+2×4×=36. $$