3.1.2 第2课时 排列数的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

排列数的应用(深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 进一步加深对排列、排列数概念的理解,掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　组数问题 题型(二)　元素“在”与“不在”问题 题型(三)　元素“相邻”与“不相邻” 问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　组数问题 [例1]　用0,1,2,3,4五个数字, (1)可组成多少个五位数(各数位上的数字允许重复)? 解:各数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理知,可组成4×5×5×5×5=2 500(个)五位数. (2)可组成多少个无重复数字的五位数? 解:法一　考虑特殊位置“万位”,从1,2,3,4中任选一个填入万位,共有种填法,其余4个数字作全排列,有种排法,故共有=96(个)符合条件的五位数. 法二　先考虑特殊元素“0”,先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入,有种填法,然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列,有种排法,故共有=96(个)符合条件的五位数. (3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数? 解:构成3的倍数的三位数,各数位上数字之和是3的倍数,将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类,按照取0和不取0分类:取0,从1和4中任取一个数,再取2进行排列,先填百位有种填法,再填其余位有种排法,故有2个;不取0,则必取3,从1和4中任取一个数,再取2,然后进行全排列,故有2种排法.所以共有2+2=8+12=20(个)符合条件的三位数. (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数? 解:考虑特殊位置“个位”和“万位”,先填个位,从1,3中选一个填入个位,有种填法,然后从剩余3个非0数中选一个填入万位,有种填法,最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列,排列数为,故共有=36(个)符合条件的五位数. 变式拓展 1.本例条件不变,在没有重复数字的五位数中,比42 130小的数有几个?按从小到大排列,第61个数是多少? 解:按分类加法计数原理,当万位数字为1,2,3时均可以,共有个数.当万位数字为4,千位数字为0,1时均满足,共有个数.当万位数字为4,千位数字为2,百位数字为0,1时(除42 130外)均满足,共有(-1)个数,所以比42 130小的数有++-1=87(个).万位是1,2的各有个数,万位是3,千位是0,1的各有个数,所以共有2+2=60(个)数,故第61个数为32 014. 2.本例条件不变,可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数? 解:运用排除法,先将1,3在奇数位上排列,有种排法,再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列,有种排法,而其中1,3在个位和百位上,0在万位上的排法不符合题意,有种排法.所以符合条件的五位数共有-=32(个). [思维建模] 数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析,找出解题的思路.常见的附加条件:①首位不能为0;②有无重复数字;③奇偶数;④某数的倍数;⑤大于(或小于)某数. 针对训练 1.在下列情形中,用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成多少个无重复数字. (1)能被5整除的五位数; 解:由题意得,个位上的数字必须是0或5.个位上是0,有个;个位上是5,若不含0,则有个,若含0,但0不作首位,则0的位置有种排法,其余各位有种排法,故共有++=216(个)能被5整除的五位数. (2)能被3整除的五位数; 解:能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除,则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况,能够组成的五位数分别有个和个. 故能被3整除的五位数有+=216(个). (3)若所有的六位数按从小到大的顺序排列,则240 135是第几个数? 解:由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个,有3个数, 所以240 135是第+3+1=193(个)数. 题型(二)　元素“在”与“不在”问题 [例2]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种? 解:法一:把元素作为研究对象 第一类,不含甲,此时只需从甲以外的6名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法; 第二类,含有甲,甲不在首位,先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4×种排法. 由分类加法计数原理知,共有+4×=2 160(种)排法. 法二:把位置作为研究对象 第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种排法; 第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种排法. 由分步乘法计数原理知,共有=2 160(种)排法. 法三:间接法　先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种, 所以符合要求的排法有-=2 160(种). (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解:把位置作为研究对象,先考虑特殊位置. 第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有种排法; 第二步,从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种排法. 根据分步乘法计数原理,共有=1 800(种)排法. (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解:把位置作为研究对象. 第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种排法; 第二步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种排法. 根据分步乘法计数原理,共有=1 200(种)排法. (4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种? 解:总的可能情况有种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法. [思维建模] 解决排列应用题,常用的方法有直接法和间接法.排列问题的实质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”. 针对训练 2.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译),则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　 ) A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 解析:依题意可得,甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项,有3种选法,再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作,有=60种选法,所以满足条件的不同选法共有3=180种. √ 3.要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100 m接力赛,其中已确定1人跑第1棒或第4棒,另有2人只能跑第2,3棒,还有1人不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为 (　 ) A.56 B.60 C.84 D.120 √ 解析:由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒,乙、丙只能跑第2,3棒,丁不能跑第1棒,当甲跑第1棒时,乙、丙均不参与则有=6种,乙、丙至少有一人参与则有+2=6+24=30种;当甲跑第4棒时,乙、丙均不参与则有=4种,乙、丙至少有一人参与则有+2=4+16 =20种.故合适的选择方法种数为6+30+4+20=60. 题型(三)　元素“相邻”与“不相邻”问题 [例3]　现有4名男生和3名女生相约一起去观看电影,他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式,并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种? 解:根据题意,先将3个女生排在一起,有=6种排法,将排好的女生视为一个整体,与4个男生进行排列,共有=120种排法, 由分步乘法计数原理知,共有6×120=720种排法. (2)女生互不相邻的坐法有多少种? 解:根据题意,先将4个男生排好,有=24种排法,再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法, 故符合条件的排法共有24×60=1 440种. (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种? 解:根据题意,先排甲、乙、丙以外的其他4人,有=24种排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙排好,有=2种排法, 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法,故符合条件的排法共有24×2×20=960种. [思维建模] 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 针对训练 4.有8名同学站成一排照相,符合下列各题要求的不同排法共有多少种(用数字作答)? (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾; 解:中间6个位置任取1个让甲同学站,余下7个位置让另外7名同学站, 所以不同排法种数是=6×5 040=30 240. (2)甲、乙、丙三名同学两两不相邻; 解:把除去甲、乙、丙三名同学后的5名同学全排列,再在6个间隙中插入甲、乙、丙三名同学,所以不同排法种数是=120×120=14 400. (3)甲、乙两名同学相邻,且丙、丁两名同学也相邻; 解:分别视甲乙、丙丁为一个整体,与其余4名同学全排列,再分别对甲乙、丙丁进行排列,所以不同排法种数是=2×2×720=2 880. (4)甲、乙两名同学不相邻,且乙、丙两名同学也不相邻. 解:求出8个人的全排列,去掉甲、乙相邻、乙、丙相邻的排列,再补上乙在甲、丙中间的3人相邻的排列,所以不同排法种数是-2+ =40 320-2×2×5 040+2×720=21 600. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有(　 ) A.6种 B.9种 C.18种 D.24种 解析:先排体育有种,再排其他的三科有种,共有=18(种). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.4本相同的数学书和3本不同的语文书分给7个人,每人1本,共有不同分法种数为 (　 ) A.35 B.5 040 C.840 D.210 解析:分两步,第一步,先分3本不同的语文书,共有种分法;第二步,再分4本相同的数学书,剩下的4人一人一本,只有1种分法,所以共有×1=210种分法. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.6名同学排成一排,其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有 (　 ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 解析:将甲、乙两人视为1人与其余4人排列,有种排列方法,甲、乙两人可互换位置,所以总的排法有=240(种). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.3位老师和3名学生站成一排,要求任何学生都不相邻,则不同的排法种数为 (　 ) A.144 B.72 C.36 D.12 解析:先将老师排好,有种排法,形成4个空,将3名学生插入4个空中,有种排法,故共有=144(种)排法. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第6名的名次,已知甲不是第1名,乙既不是第1名也不是第6名,则这6人名次排列的不同情况种数为 (　 ) A.348 B.356 C.368 D.384 解析:第一步先排第1名,第1名可以是丙、丁、戊、己中的一位,共有种情况;第二步排乙,可以选择第2,3,4,5名,共有种情况;第三步排其他人,相当于4个人全排列,共有种情况,所以共有=384种情况.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.五位同学站成一排合影,张三站在最右边,李四、王五相邻,则不同的站法种数为　　　.  解析:由李四、王五相邻,将两人视为一个整体,可看作共四位同学,又张三站在最右边,只有1种情况,所以不同站法种数为1××=12. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.书架上某层有6本不同的书,新买了3本不同的书插进去,要保持原来6本书的原有顺序,则不同的插法共有　　　　种.  解析:把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置,将新买的3本书放入这9个位置中的3个,其余的6本书按着原来顺序依次放入,因此插法种数为=504. 504 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有　　　　个七位数符合条件.  解析:若1,3,5,7的顺序不定,则4个数字有=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×=210(个)七位数符合条件. 210 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列.问: (1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法? 解:奇数共有5个,奇数位置共有3个;偶数共有4个,偶数位置共有2个.第一步先在奇数位置上排上奇数共有种排法;第二步再排偶数位置,有4个偶数和余下的2个奇数可以排,排法为种,由分步乘法计数原理知,排法种数为·=1 800. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法? 解:因为偶数位置上不能排奇数,故先排偶数位,排法为种,余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上,排法为种,由分步乘法计数原理知,排法种数为=2 520. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? 解:先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法,故共有不同排法=14 400种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法? 解:先不考虑排列要求,有种排法,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有-=37 440种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色,学生们可以尽情地发挥自己的才能,某班的五个节目(甲、乙、丙、丁、戊)进入了初试环节,现对这五个节目的出场顺序进行排序,其中甲不能第一个出场,乙不能第三个出场,则不同的出场顺序有(　 ) A.72种 B.78种 C.96种 D.120种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:当甲在第三个出场时,乙、丙、丁、戊全排列,共有=4×3×2 ×1=24种;当甲不在第一、三个出场时,共有3×3×=54种,故共有54+24=78种不同的出场顺序. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.按照编码特点来分,条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”,“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成,其中两个为相同的宽条,三个为相同的窄条,如图就是一个数字的编码,则不同的编码种数为 (　 ) A.120 B.60 C.40 D.10 解析:由题意可得,该题等价于将5个元素(3个分别相同、2个分别相同)排成一列的所有排列数N==10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.生物中DNA转录为RNA时服从碱基互补配对原则,即A→U,C→G,G→C,T→A,但许多化学因子能修饰碱基,使其转录出不同的产物,比如X标记处理后的碱基互补配对原则变为AX→G,CX→G, GX→A,TX→A.现在小明将2个A,2个C,2个G,2个T,其中1个X标记组成一个DNA分子,则其转录出的RNA有 (　 ) A.8 400种 B.6 720种 C.5 880种 D.4 200种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可知,若标记的是A,转录出的结果为1个U,2个C,3个G,2个A,其转录出的RNA有=1 680种;若标记的是C或T,转录出的结果均为2个U,2个C,2个G,2个A,其转录出的RNA有=2 520种;若标记的是G,转录出的结果为2个U,1个C,2个G,3个A,其转录出的RNA有=1 680种,故转录出的RNA有1 680×2+2 520=5 880种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某校举办元旦晩会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.(结果用数字作答) (1)如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序? 解:先将4首歌曲捆绑,有种情况,再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序,有种情况,所以有=576(种)不同的出场顺序. (2)如果3个舞蹈不相邻,那么有多少种不同的出场顺序? 解:先将4首歌曲排好,有种情况,再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中,有种情况,所以有=1 440(种)不同的出场顺序. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)如果歌曲甲不在第一个出场,舞蹈乙不在最后一个出场,那么有多少种不同的出场顺序? 解:法一　7个节目全排列,有种情况,其中歌曲甲在第一个出场时,有种情况,舞蹈乙在最后一个出场时,有种情况,其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况,有种情况,故共有-2+=3 720(种)不同的出场顺序. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　歌曲甲在最后一个出场时,其他节目全排列,有种情况;歌曲甲不在最后一个出场时,可从余下的5个位置任选一个,有种情况,而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的5个位置中,有种情况,其余节目全排列,有种情况,共有+=3 720(种)不同的出场顺序. $$