2.2.4 点到直线的距离（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

2.2.4 点到直线的距离 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题． 2．掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)点到直线的距离公式 定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的________PQ的长度，其中Q是垂足 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d ＝______________ 垂线段 基点训练 √ －4 (二)两条平行直线之间的距离 定义 两条平行直线之间的距离是指夹在这两条平行直线之间的_________的长 求法 两条平行直线之间的距离转化为_________的距离 公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同 时为0)间的距离为d＝__________ 公垂线段 点到直线 微点助解 应用两条平行直线间的距离公式要注意以下三点 (1)把直线方程化为一般式方程； (2)两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式； (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①若两直线都与x轴垂直，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②若两条直线都与y轴垂直，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 基点训练 √ －3或1 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　(1)已知A(－2,0)，B(4，m)两点到直线l：x－y＋1＝0的距离相等，则m＝(　 ) A．－2 B．6 C．－2或4 D．4或6 题型(一)　点到直线的距离公式及应用 √ (2)已知过点P(1,2)的直线l，且点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　 ) A．4x－y－2＝0 B．4x－y＋2＝0 C．4x－y－2＝0或x＝1 D．4x－y＋2＝0或x＝1 √ 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 方法技巧 针对训练 √ √ 题型(二)　两条平行直线间的距离公式及应用 √ (2)已知两条平行线l1：3x－4y＋6＝0与l2：6x－8y＋c＝0之间的距离为1，则实数c的值为_______． 22或2 两条平行直线间距离的求法 (1)当直线的方程为一般式时，可利用两条平行直线间的距离公式，其步骤如下： 方法技巧 针对训练 √ √ 题型(三)　距离公式的综合应用 若k＝1，则d1＝(1,1)， ∴OA的方程为y＝x，即x－y＝0， (2)∵直线OA的方程为kx－y＝0， 本例条件不变，若P(2,1)，k＝3时，求△OMP的面积． 解：当k＝3时，直线OA的方程为3x－y＝0， 变式拓展 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． 方法技巧 (3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 针对训练 解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD， 解得m＝±4. 由C，D在第一象限知：m>0，所以m＝4， 故直线CD的方程为x＋2y－8＝0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．若点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　 ) A．(7，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D．(－3,7)∪(7，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知直线3x－4y＋6＝0与直线3x－4y＋m＝0间的距离为2，则m＝(　 ) A．－8或4 B．4 C．－4或6 D．－4或16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知直线l：kx＋y－3k－4＝0(k∈R)，点A(4,1)和B(6,15)到直线l的距离分别为d1，d2且d2＝2d1，则直线l的方程为(　 ) A．x＋y＋9＝0 B．2x＋y－18＝0 C．x－y＋1＝0或17x－y－47＝0 D．x＋4y－6＝0或3x＋y－12＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是___________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1,2)或(2，－1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．点A(1,1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知点B(1,4)，C(6,2)，点A在直线x－3y＋3＝0上，并且使△ABC的面积等于21，求点A的坐标． 解：由点A在直线x－3y＋3＝0上， 则可设点A(3y－3，y)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离； (2)求直线l3的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由l3与l2平行可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8<C<18)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15°或75° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由(1)知，折痕EF所在的直线方程为2x＋4y－5＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若点P满足条件③， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 由P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合题意． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 微点助解 应用点到直线的距离公式的注意事项 (1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用． (2)点到直线的距离公式对于直线方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝.②B＝0时，d＝. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式． 1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是(　 ) A． B． C． D． 2．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为______． 1．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　 ) A． B． C．5 D． 2．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________. 解析：由两平行直线间的距离公式得 d＝＝，即|a＋1|＝2， ∴a＝－3或a＝1. 解析：(1)点A到直线l的距离为＝，点B到直线l的距离为＝，因为点A到直线l的距离和点B到直线l的距离相等，所以|5－m|＝1，所以m＝4或m＝6. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意，当直线l的斜率存在时，设为k，则可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则＝，解得k＝4，故直线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，综上所述，直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1. 1．已知直线l的一个法向量为n＝(1，－2)，且经过点P(2，0)，则原点O到l的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：设点Q(x，y)为直线l上一点，则＝(x－2，y)，所以n·＝(x－2)－2y＝0，即直线l的方程为x－2y－2＝0，所以原点O到l的距离为＝. 2．已知点(m,1)(m>0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为(　 ) A． B．2－ C．－1 D．＋1 解析：由点(m,1) 到直线l：x－y＋2＝0 的距离为1， 可得d＝＝＝1，解得m＝－1±. 又因为m>0，所以m＝－1. [例2]　(1)若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　 ) A．－1 B．0 C．1 D． 解析：(1)因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与直线x－ny－3＝0平行， 所以＝≠，所以n＝－2，m≠－3， 又因为这两条平行线间的距离为， 所以＝⇒|m＋3|＝5⇒m＝2或m＝－8(舍去)， 所以m＋n＝0. (2)由题意可知直线l1：6x－8y＋12＝0，l2：6x－8y＋c＝0， 所以两平行线间的距离为＝1，解得c＝2或c＝22. 3．已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　 ) A．1 B．2 C． D．4 解析：由两条直线平行可得＝，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝1. 4．设点P，Q分别为直线3x＋4y－7＝0与直线6x＋8y＋3＝0上的任意一点，则|PQ|的最小值为(　 ) A．1 B．2 C． D． 解析：由直线3x＋4y－7＝0可得6x＋8y－14＝0，所以直线3x＋4y－7＝0与直线6x＋8y＋3＝0平行，所以|PQ|的最小值为直线6x＋8y－14＝0与直线6x＋8y＋3＝0之间的距离为d＝＝. [例3]　如图，射线OA所在直线的方向向量为d1＝(1，k)(k>0)，点P在∠AOx内，PM⊥OA于点M. (1)若k＝1，P，求|OM|的值； (2)若P(2,1)，△OMP的面积是，求k的值． 解：(1)∵P，∴|OP|＝. 则点P到直线OA的距离为＝， ∴|OM|＝＝. ∴点P(2,1)到直线OA的距离d＝， ∴|OM|＝， ∴△OMP的面积为××＝， 解得k＝或k＝2. 所以点P(2,1)到直线OA的距离d＝＝， 所以|OM|＝＝， 故△OMP的面积S＝× ×＝. 5．如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为(2，－1)，点C，D在第一象限． (1)求直线CD的方程； (2)若|BC|＝，求点D的横坐标． 故AB与CD之间的距离为. 则kCD＝kAB＝－. 设直线CD的方程为y＝－x＋m(m≠0)， 即x＋2y－2m＝0. 因为平行四边形ABCD的面积为8，|AB|＝， 由题意知直线AB的方程为x＋2y＝0，于是＝， (2)设点D的坐标为(a，b)，由|BC|＝，得|AD|＝. 所以解得或 故点D的横坐标为或2. A级——综合提能 1．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　 ) A．8 B．4 C． D． 解析：易得l1∥l2，所以直线l1与直线l2之间的距离d＝＝.故选D. 解析：根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.故选C. 解析：由题意可知，直线3x－4y＋6＝0与直线3x－4y＋m＝0平行，所以m≠6.因为直线3x－4y＋6＝0与直线3x－4y＋m＝0间的距离为2，所以＝2，解得m＝－4或m＝16.故选D. 4．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　 ) A．0 B．1 C．－2 D．－1 解析：因为l1∥l2，所以＝≠，解得n＝－4，m≠－3，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线间的距离d＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2. 解析：∵点A(4,1)到直线l的距离为d1＝＝，点B(6,15)到直线l的距离为d2＝＝，而d2＝2d1，∴＝，可得k2＋18k＋17＝0，解得k＝－1或k＝－17.故直线l的方程为x－y＋1＝0或17x－y－47＝0. －3或 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3或k＝. 7．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为_______________． 解析：设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意得＝，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 2＋ 解析：依题意得，点(1,1)到直线的距离 d＝＝|cos θ＋sin θ－2|＝. 当sin＝－1时，dmax＝|－－2|. 直线BC由两点式可得＝， 即2x＋5y－22＝0，|BC|＝＝， 则点A到BC的距离为d＝＝. ∴三角形面积S＝|BC|d＝××＝21， ∴y＝或y＝－， ∴点A的坐标为或. 解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2. 由题意知l3与l1之间的距离为， 所以有＝，解得C＝5或C＝31(舍去)． 所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0. B级——应用创新 11．[多选]已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　 ) A．直线l的倾斜角是 B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m C．点(，0)到直线l的距离是2 D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误． 对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，所以直线l与直线m不垂直．故B错误． 对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确． 对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．故选CD. 12．已知点P是直线l：3x－y－6＝0与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1与直线4x＋2y＋1＝0之间的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：由直线3x－y－6＝0，令y＝0，解得x＝2，即直线与x轴的交点为P(2,0)，设直线l的倾斜角为α，可得tan α＝3，则tan(α＋45°)＝＝＝－2，即直线l1的斜率为k＝－2，所以直线l1的方程为y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.直线4x＋2y＋1＝0的斜率为－2，则直线l1与直线4x＋2y＋1＝0平行．则直线l1与直线4x＋2y＋1＝0之间的距离为d＝＝. 13．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线倾斜角的大小为___________． 解析：由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕所在直线的斜率为－. (1)求折痕所在的直线方程； (2)若点P为BC的中点，求△PEF的面积． 解：(1)设折痕所在的直线方程为y＝－x＋b. 点A落在线段DC上的对称点为G(a,2)，其中0≤a≤3， 则AG的中点M的坐标为， ∴解得 ∴折痕所在的直线方程为y＝－x＋，即2x＋4y－5＝0. ∴E，F，∴|EF|＝＝， ∵P为BC的中点，∴点P(3,1)， ∴点P到折痕EF的距离为d＝＝， ∴△PEF的面积S＝|EF|·d＝××＝. 15．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2的距离d＝＝， ∴＝.∵a>0，∴a＝3. 则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝，即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 由点到直线的距离公式＝·， 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得x0＝－3，y0＝，应舍去． 由2x0－y0＋＝0与x0－2y0＋4＝0联立， 解得x0＝，y0＝. 所以P即为同时满足三个条件的点． $$