2.2.3 第2课时 两条直线的垂直（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

两条直线的垂直 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否垂直． 2．能应用两直线垂直参数或直线方程．能解与直线位置关系有关的应用问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．两条直线的垂直 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔___________. k1k2＝－1 2．两条直线垂直的一般形式 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝ (A2，B2)是直线l2的一个法向量，如图所示，l1与l2 垂直的充要条件是v1与v2垂直，即v1·v2＝0，因此A1A2＋B1B2＝0，即l1⊥l2⇔_______________. A1A2＋B1B2＝0 微点助解 (1)利用k1·k2＝－1仅能判断斜率存在且不为0时的直线垂直关系．一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也垂直． (2)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C0＝0，过(x0，y0)且与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 基点训练 √ √ √ 2．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　 ) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 √ 3．若原点在直线l上的射影是点P(－2,1)，则直线l的方程是____________． 2x－y＋5＝0 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； (2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10，40)，N(10,40)； 题型(一)　两条直线垂直的判定 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 方法技巧 1．已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则其位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 解析：由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，又k1，k2为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则k1·k2＝－1，所以l1⊥l2. 针对训练 √ 2．直线l的一个方向向量是e＝(－1,2)，则下列选项中的直线与直线l垂直的是(　 ) A．x－2y＋3＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0 √ 由2x－y＋3＝0，可得斜率为2，故C错误； 由2x＋y－3＝0，可得斜率为－2，故D错误． 题型(二)　两条直线垂直的应用 √ (2)直线(2－m)x＋my＋3＝0与直线x－my－3＝0垂直，则m的值为_________． －2或1 方法技巧 3．过点(1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为(　 ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 针对训练 √ 4．若直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为_________． 1或－3 解析：若两直线垂直，则满足a(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＋2a－3＝0，解得a＝1或a＝－3. [例3]　已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，D(4,2)．   (1)试判断四边形ABCD的形状，并给出证明； (2)求∠ABC的平分线所在直线的方程． 题型(三)　两条直线位置关系的综合应用 解：(1)由已知可判断四边形ABCD是直角梯形，证明如下： 因为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，D(4,2)． 所以kCD＝kAB，kBC≠kAD， 即AB∥CD且BC不平行AD， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为kBC·kCD＝－1，所以BC⊥CD， 综上，四边形ABCD是直角梯形． (2)根据题意，设∠ABC的平分线所在直线的斜率为k， 判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标． (2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况． (3)判断四边形形状，要紧扣四边形的特点，防止产生其他的情况． 方法技巧 5．已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上． (1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(结果写成直线的一般式方程) (2)求△ABC的面积． 针对训练 解：(1)由题意可知，E为AB的中点， 因为A(2,3)，B(4,1)， 所以CE所在直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. 所以C(4,3)，所以AC平行于x轴，CB平行于y轴， 即AC⊥BC，如图所示， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．[多选]设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是(　 ) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　 ) A．(－2，－3) B．(2,1) C．(2,3) D．(－2，－1) 解析：将A、B、C、D四个选项代入x－y＋1＝0否定A、B，又MN与x＋2y－3＝0垂直，否定D，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p＝(　 ) A．24 B．20 C．0 D．－4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝______，y＝_____. 　7 －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．当直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直时，a＝________. ±1 解析：由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为_________________． 5x－15y－18＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上的高AD所在直线的方程； (3)BC边上的中线AE所在直线的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又直线AD过点A(－3,0)， 故直线AD的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0. (3)BC边上的中点为E(0,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求四边形ABCD为直角梯形时，m和n的值． 解：若四边形ABCD是直角梯形，则有2种情形，如图所示： ①AB∥CD，AB⊥AD，此时A(2，－1)． ∴m＝2，n＝－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②AD∥BC，AD⊥AB， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．已知点A(－2,2)，B(6,4)，H(5,2)，H是△ABC的垂心．则点C的坐标为(　 ) A．(6,2) B．(－2,2) C．(－4，－2) D．(6，－2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，是否存在m∈R使得△ABC为直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：若A为直角，则AC⊥AB， ∴kAC·kAB＝－1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若B为直角，则BC⊥AB， 综上所述，存在m＝－7或m＝3或m＝±2，使△ABC为直角三角形． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，设三 角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)， 点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，设a， b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，若BE⊥AC，求证：CF⊥AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，) C．l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1,0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 解析：kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，故A不正确； kl2＝＝，kl1·kl2＝－×＝－1，故B正确； kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl2·kl2＝－1，故C正确； 因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确． (4)l1：y＝x＋1，l2：y＝－x＋3； (5)l1：x－y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0. k2＝＝0，则l2⊥y轴，所以l1⊥l2. 解：(1)k1＝＝2，k2＝＝， k1k2＝1，所以l1与l2不垂直． (2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． (4)直线l1：y＝x＋1的斜率为，直线l2：y＝－x＋3的斜率为－， 因为×＝－1，所以l1⊥l2. (5)直线l1：x－y－1＝0的斜率为，直线l2：x＋3y－1＝0的斜率为－， 因为×＝－1，所以l1⊥l2. 解析：因为直线l的一个方向向量是e＝(－1,2)，所以直线l的斜率k1＝＝－2， 所以与直线l垂直的直线的斜率为k2＝. 由x－2y＋3＝0，可得斜率为，故A正确； 由x＋2y－3＝0，可得斜率为－，故B错误； [例2]　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　 ) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 解析：(1)因为所求直线与直线y＝2x＋1垂直，所以设直线方程为y＝－x＋b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为y＝－x＋4. (2)当m＝0时，两直线分别为2x＋3＝0，x－3＝0，不垂直， 所以m≠0，所以两直线的斜率都存在． 由k1·k2＝－1，可得·＝－1， 解得m＝－2或m＝1. (1)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)． (2)与直线y＝kx＋m平行的直线方程可设为y＝kx＋b(b≠m)；与它垂直的直线方程可设为y＝－x＋n(k≠0)． 解析：由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，∴方程为y－3＝－2(x－1)，化为一般式可得2x＋y－5＝0.故选B. 由斜率公式得kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3， 即x－3y＋2＝0. 整理得3k2＋8k－3＝0，解得k＝－3或k＝， 又由∠ABC的平分线所在直线的斜率k应在BA，BC的斜率之间， 则有＝，即＝， 所以k＝，则∠ABC的平分线所在的直线方程为y－1＝(x－1)， 所以E(3,2)，kAB＝＝－1， 所以kCE＝－＝1， (2)由 解得 所以|AC|＝|BC|＝＝2， 所以S△ABC＝|AC|·|BC|＝2. A级——综合提能 1．过点P(1,1)和Q(a,2)的直线与直线ax－y＋3＝0互相垂直，则a等于(　 ) A．1 B．2 C． D．－1 解析：因为kPQ＝＝，直线ax－y＋3＝0的斜率为a，所以×a＝－1，a＝. 解析：由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故选ABD. 解析：因为两直线互相垂直，所以k1·k2＝－1，所以－·＝－1，所以m＝10.又因为垂足为(1，p)，所以代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，所以m－n＋p＝20. 5．[多选]已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(－1,2)，则下列结论正确的是(　 ) A．l的一个方向向量为u＝ B．l在x轴上的截距等于 C．l与直线x－3y＋2＝0垂直 D．l与直线x＋y＋2＝0平行 解析：由题意直线l的斜率为k＝tan 120°＝－，直线方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0，它与直线x＋y＋2＝0平行，D正确； 直线的一个法向量是(，1)，而(，1)·＝－＋＝0，因此是直线l的一个方向向量，A正确； 在直线方程中令y＝0得x＝＝－1，B错误； 由于×＋1×(－3)＝0，C正确． 解析：∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－， ∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7. 解析：由方程组得故交点为.又所求直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝.∴直线l的方程为y＋＝.即5x－15y－18＝0. 解：(1)直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0. (2)由(1)知kBC＝－，则kAD＝2. 故AE所在的直线方程为＋＝1， 即2x－3y＋6＝0. ∴即解得 综上，或 B级——应用创新 11．[多选]已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则＝－3 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D．当b<0时，l2不经过第一象限 当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3.故B正确． 解析：当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误． 在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±.故C正确． 由题知当b<0时，l2：y＝x＋的图象如图，故D正确． 解析：设C点坐标为(x，y)，直线AH斜率kAH＝＝0，∴BC⊥x轴，而点B的横坐标为6，则x＝6，直线BH的斜率kBH＝＝2，∴直线AC的斜率kAC＝＝－，∴y＝－2，∴点C的坐标为(6，－2)． 13．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n>0)互相垂直，则的取值范围为________. 解析：因为直线l1：mx＋y＋4＝0与直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n>0)互相垂直，所以－m·＝－1，即n＝m2＋2m.因为m>0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为. 即·＝－1，解得m＝－7； ∴kBC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝3； 若C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2. 证明：由点B(b,0)和点P(0，p)，知直线BP的斜率为－， 由点A(0，a)和点C(c，0)，知直线AC的斜率为－， 因为BE⊥AC，所以＝－1，即pa＝－bc. 由点C(c,0)和点P(0，p)，知直线CP的斜率为－， 由点A(0，a)和点B(b,0)，知直线AB的斜率为－， 则直线CF与AB的斜率之积为＝＝＝－1， 所以CF⊥AB. $$