2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

2.2.3 两条直线的位置关系 两条直线的相交、平行与重合 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2．能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行、重合． 3．能应用两直线平行、重合求参数或直线方程． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．利用直线的斜截式方程判断两直线相交、平行与重合 若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 (1)l1与l2相交⇔________； (2)l1与l2平行⇔_______且_______； (3)l1与l2重合⇔_______且_______. k1≠k2 k1＝k2 b1≠b2 k1＝k2 b1＝b2 交点的坐标 2．用向量来表示两直线的位置关系 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量， (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即____________； (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即____________. A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 微点助解 (1)利用直线的一般式方程判断两直线相交、平行与重合，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1，l2相交⇔A1B2≠A2B1， l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)， l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1)． (2)与已知直线平行直线的设法：Ax＋By＋C0＝0. (3)过点(x0，y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 基点训练 1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　 ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,1) D．(2,2) 解析：直线x＝1与直线y＝2是互相垂直的直线，交点坐标是(1,2)．故选A. √ 2．直线2x－y＋k＝0和直线4x－2y＋1＝0的位置关系是(　 ) A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 √ 3．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2只有一个公共点，则(　 ) A．A1B1＝A2B2 B．A1B2≠A2B1 C．B1C1≠B2C1 D．A1C2≠A2C1 √ 4．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝_____. 0 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋3y－1＝0，l2：2x＋6y－2＝0； (3)l1：6x－2y＋3＝0，l2：3x－y＋2＝0. 题型(一)　两条直线位置关系的判断 两直线斜率存在时位置关系的判断方法 若两直线斜率都存在，则把直线方程化成斜截式．根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断． (1)若两直线斜率不相等，则两直线相交． (2)若两直线斜率相等，在y轴上的截距不等，则两直线平行． (3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等，则两直线重合． 方法技巧 针对训练 √ 2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0； (2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0； (3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0. 解：(1)l1，l2分别化为斜截式可知， 因为l1，l2的斜率不相等，所以相交． 所以交点坐标为(2,1)． (2)l1，l2分别化为斜截式可知 因为l1，l2的斜率、截距都相等，所以它们重合． (3)l1，l2分别化为斜截式可知， 因为l1，l2的斜率相等，但截距不相等，所以l1∥l2. [例2]　已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0. (1)若l1∥l3，求实数m的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数m的值． 题型(二)　由两条直线平行、相交求参数 解：(1)因为l1：3x－4y＋11＝0，l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0且l1∥l3， 所以3×[－(m＋1)]＝－4×(2m－3)．解得m＝3. 经检验，m＝3时，l1∥l3. 即l1与l2的交点为(－1,2)， 因为三条直线相交于一点， 所以点(－1,2)在l3上， 所以(2m－3)(－1)－(m＋1)2－2m＋3＝0. 利用两直线平行关系求字母参数取值时，提倡直接根据两直线平行的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解；若用比例式求解，一定要对特殊情况单独讨论． 方法技巧 针对训练 √ 4．直线l1：(a＋2)x＋y－1＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋a－1＝0平行，则a＝(　 ) A．－1或－4 B．－1 C．2 D．－4 √ [例3]　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 题型(三)　平行直线系方程 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 即15x＋5y＋16＝0. 法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，λ为常数， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， (1)求与直线y＝kx＋b平行直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行直线的方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可． 方法技巧 5．(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程． 针对训练 即2x＋3y＋10＝0. 法二　设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)． ∵所求直线经过点A(1，－4)， ∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线的方程为2x＋3y＋10＝0. ∴所求直线的斜率为1. 又∵所求直线经过点P(3,2)， ∴所求直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若两条直线平行，则它们斜率相等 B．若两直线斜率相等，则它们互相平行 C．若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：由两直线位置关系：平行，重合，相交可知，B不正确． 而A中可能斜率不存在，故A不正确，故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　 ) A．(－4，－3) B．(4,3) C．(－4,3) D．(3,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于(　 ) A．1或－3 B．－1或3 C．1或3 D．－1或－3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．过点(1，－3)且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程是(　 ) A．x－2y－7＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：设与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程是x－2y＋λ＝0(λ≠1)，代入点(1，－3)，得1＋6＋λ＝0，解得λ＝－7，所以所求的直线方程是x－2y－7＝0.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．直线(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过的定点坐标是______． (2,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．已知两直线a1x＋b1y＋3＝0和a2x＋b2y＋3＝0的交点是(2,3)，则过两点P(a1，b1)，Q(a2，b2)的直线方程是_____________. 2x＋3y＋3＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为_______________. 15x－10y－6＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使 (1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2. 解：(1)∵直线l1与l2相交于点P(m，－1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4， 即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知两点A(－2,1)，B(4,3)，两直线l1：2x－3y－1＝0，l2：x－y－1＝0. 求：(1)过点A且与直线l1平行的直线方程； (2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程． 解：(1)设与l1：2x－3y－1＝0平行的直线方程为2x－3y＋c＝0， 将A(－2,1)代入，得－4－3＋c＝0，解得c＝7， 故所求直线方程是2x－3y＋7＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为A(－2,1)，B(4,3)，所以线段AB的中点是M(1，2)， 故所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ B级——应用创新 11．“a＝4”是“直线l1：(a＋2)x＋ay＋2＝0和直线l2：(a－1)x＋(a－2)y－1＝0平行”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．如果直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－1,2) B．(－1，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知直线l1：3x－y＋1＝0，l2：x＋y－5＝0，l3：x－ay－3＝0，则l1与l2的交点坐标为_____；若直线l1，l2，l3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值___________________________________________． (1,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以l1与l2的交点坐标为(1,4)； 由x－ay－3＝0得，直线l3恒过定点(3,0)； 若直线l1，l2，l3不能围成三角形， 只需l3经过(1,4)，或l1与l3平行，或l2与l3平行． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：∵A(2,5)，B(－2,1)，∴kAB＝1. 又l∥AB，∴kl＝kAB＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ①若点N在点M右上方，则N(t＋2，t＋2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②若点N在点M左下方，则N(t－2，t－2)，同①的方法可得t＝1，M(1,1)，N(－1，－1)，C(0，－3)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4与l2：2x＋a2y＝2a2＋4和x轴的正半轴、y轴的正半轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小？并求出这个最小值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 其中，当l1与l2相交时，方程组的解就是___________． 解析：当k＝时，两直线重合，当k≠时，两直线平行． 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0. 解：(1)由解得 所以交点坐标为(－1，－1)，故l1与l2相交． (2)由显然＝＝， 即方程无解，故l1与l2重合． (3)由显然＝≠， 即方程无解，故l1与l2平行． 1．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　 ) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2，或l1与l2重合．故选A. l1：y＝－x＋，l2：y＝5x－9. 解方程组得 l1：y＝x＋，l2：y＝x＋. l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x＋， (2)由解得 解得m＝. 3．已知经过点A(3，n)，B(5，m)的直线l1与经过点P(－m,0)，Q(0，n2)(mn≠0)的直线l2平行，则的值为(　 ) A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 解析：由题意得kl1＝，kl2＝，因为l1∥l2，所以kl1＝kl2，即＝，化简得m2－mn－2n2＝0，所以m＝－n或m＝2n，又由mn≠0得＝－1或＝2. 解析：由直线l1：(a＋2)x＋y－1＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋a－1＝0平行，知直线l1的斜率存在，则直线l2的斜率也存在，故直线l1的方程可化为y＝－(a＋2)x＋1，直线l2的方程可化为y＝－x＋，∴－(a＋2)＝－，且≠1，解得a＝－4. 解：法一　解方程组得 所以两直线的交点坐标为. 故所求直线方程为y＋＝－3， 所以有得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0. 解：(1)法一　已知直线的斜率为－， ∵所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为－. 由点斜式方程，得所求直线的方程为y＋4＝－(x－1)， (2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线的斜率为＝1， 解析：由方程组得故选C. 3．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与方向向量为a＝(－5,5)的直线平行，则实数m的值是(　 ) A． B．－ C．2 D．－2 解析：由a＝(－5,5)得直线的斜率为＝－1，因此直线PQ的斜率为＝－1，解得m＝－.经检验，m＝－符合题意．故选B. 解析：因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以a＋2≠0，直线3x－(a＋2)y＋1＝0可化为y＝x＋.因为两条直线平行，所以＝a且≠－2，解得a＝1或a＝－3. 解析：直线方程可化为m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0.因为对任意m∈R，方程恒成立，所以解得故直线恒过定点(2,3)． 解析：因为直线a1x＋b1y＋3＝0和a2x＋b2y＋3＝0的交点是(2,3)，所以即点P，Q在直线2x＋3y＋3＝0上．故过P(a1，b1)，Q(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋3＝0. 解析：由题意知直线l的斜率k＝，设直线l的方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－，∴－－b＝1，解得b＝－.∴直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0. ∴∴m＝1，n＝7. 由8×(－1)－n·m≠0，得n≠－， 设两直线的交点为N，联立 解得交点N(2,1)，则kMN＝＝－1， 解析：当a＝4时，l1：3x＋2y＋1＝0，l2：3x＋2y－1＝0，两直线斜率都为－且不重合，所以两直线平行；当两直线平行时，由(a＋2)(a－2)－a(a－1)＝0，解得a＝4，经检验a＝4时，两直线平行，故a＝4.综上可知，“a＝4”是“直线l1：(a＋2)x＋ay＋2＝0和直线l2：(a－1)x＋(a－2)y－1＝0平行”的充要条件． 解析：法一　将直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的方程联立解得(a＋1)x＝6，要使交点在第一象限，则应使a＋1>0，所以a>－1，再由(a＋1)y＋2a－4＝0，即y＝>0，解得－1<a<2，所以－1<a<2. 法二　如图，由y－4＝－ax可知：直线ax＋y－4＝0表示经过定点(0,4)，且斜率k＝－a的直线，当直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0在第一象限相交时，即过点(0,4)的直线，从直线l1的位置(过点(2,0))，沿逆时针旋转到直线l2的位置(平行于x－y－2＝0)．此时直线的斜率k的取值范围是－2<k<1，又k＝－a，所以－2<－a<1，即－1<a<2. －1 解析：解方程组得 当l3经过(1,4)时，如图1所示，1－4a－3＝0，∴a＝－； 当l1与l3平行时，如图2所示，－3a＝－1，∴a＝； 当l2与l3平行时，如图3所示，－a＝1，∴a＝－1. 14．已知两定点A(2,5)，B(－2,1)，M和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|＝2，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求M，N及C点的坐标． ∴l：y＝x.M，N在直线l上，且|MN|＝2，设M(t，t)． lAM：y－5＝(x－2)，令x＝0⇒C； lBN：y－1＝(x＋2)，令x＝0⇒C， ∵＝⇒t＝－1， ∴M(－1，－1)，N(1,1)，C(0，1)． 解：由题意l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，l2：2(x－2)＋a2(y－2)＝0知，l1，l2都过定点(2,2)，且l1的纵截距为2－a，l2的横截距为a2＋2，画出大致图象如图所示． 连接OA，由0<a<2，得四边形OBAC的面积S＝S△OCA＋S△OBA＝×(a2＋2)×2＋×(2－a)×2＝2＋， 故当a＝时，四边形OBAC的面积最小，且最小值为. $$