2.2.1 直线的倾斜角与斜率（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　直线的方向向量与法向量 4 5 课时跟踪检测 逐点清(四)　直线的倾斜角与斜率的 综合应用 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维度理解 定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点_________方向旋转到与直线重合时所转的_________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． 范围 ___________，如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为____. 按逆时针 最小正角 0°～180° 0° 微点助解 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角．(　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－30°.(　 ) (3)倾斜角为0°的直线有无数条．(　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° √ 解析：根据题意，画出图象，如图所示．   因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为_______． 135° 解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 4．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为____________． 解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 60°或120° ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维度理解 1．斜率定义及公式 定义 一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当_______时，称k＝______为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率_______． 公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时， 直线l的斜率为k＝_________，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在. θ≠90° tan θ 不存在 2．倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 微点助解 (1)斜率公式中k的值与A，B两点在该直线上的位置无关． (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在． 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率．(　 ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　 ) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　 ) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× √ √ 4．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 (　 ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 √ 5．已知直线l1经过点M(－4,3)，N(8，－2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为_____． 5 逐点清(三)　直线的方向向量与 法向量 03 多维度理解 1．直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ___________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)a＝______是所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量，b＝______是所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量，c＝(1,1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量． 平行或重合 (1,0) (0,1) (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定______． 共线 2．直线的方向向量与斜率的关系 (1)如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量． 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量． (2)如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u＝0时，直线l的斜率_______，倾斜角为90°； 不存在 微点助解 (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)； (2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)； (3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)． 3．直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l_____，则称向量v为直线l的一个法向量，记作_____. (1)一条直线的方向向量与法向量_________． (2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的一个方向向量，则v＝___________为直线l的一个法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的一个法向量，则a＝__________为直线l的一个方向向量． 垂直 v⊥l 互相垂直 (y0，－x0) (y0，－x0) 微点助解 (1)任意直线都有方向向量和法向量． (2)直线的方向向量和法向量都不唯一． (3)直线的方向向量和法向量都是非零向量． 细微点练明 √ 1．直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为(　 ) A．(－1,4) B．(2,5) C．(5，－2) D．(－1，－4) √ 3．直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为(　 ) A．k1>k2 B．k1＝k2 C．k1<k2 D．不确定 √ √ 5．已知直线l经过点A(1,4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为_________________． (1,2)(答案不唯一) 逐点清(四)　 直线的倾斜角与斜率的综合应用 04 √ 若将例2中“P(1,0)”改为“P(－1,0)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． 变式拓展 方法技巧 1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 ) A．k1>k2>k3 B．k3>k1>k2 C．k2>k1>k3 D．k2>k3>k1 针对训练 √ 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 2．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．如图，直线l的倾斜角为(　 )   A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　 ) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 解析：对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于(　 ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．若斜率为2的直线经过点A(－2,3)，B(2m＋1,1)，则实数m＝______. －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是___________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为____________． (3,0)或(0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)． (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v， ∴2a－3(1－b)＝0， 即2a＋3b＝3， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2．已知经过点P(3，m)和Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D． 解析：由k＝＝2，得m＝. 3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　 ) A．(5,8) B．(5，＋∞) C． D． 解析：由题意得>1，即(m－5)<0，解得5<m<. 解析：因为3≠1，所以直线AB斜率存在．又A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即＝，解得m＝3. 解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－，由于α∈[0，π)，所以sin α＝，cos α＝－，所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5. (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． 当u≠0时，直线l的斜率是存在的，且k＝tan θ＝. 解析：由题意得＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v＝(－1，－4)． 2．已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ＝(　 ) A．0 B． C． D． 解析：由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k＝＝.又k＝tan θ，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π)，所以θ＝. 解析：∵v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)， ∴斜率k1＝＝. ∵v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)， ∴斜率k2＝＝3，∴k2>k1. 4．若直线l的倾斜角为，方向向量为e＝(－1，a)，则实数a的值是(　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：∵直线l的方向向量为e＝(－1，a)，∴直线l的斜率为k＝＝－a.又直线的倾斜角α＝，∴斜率k＝tan＝－＝－a，解得a＝. 解析：不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k＝，所以可以取x＝1，则y＝2，此时直线l的一个方向向量为(1,2)(答案不唯一)． [例1]　若直线l过定点P(1,0)，且与以A(－1,2)，B(2，)为端点的线段相交(包括端点)，则其倾斜角的取值范围是(　 ) A．∪ B．∪ C． D． 解析：如图所示，因为直线l过定点P(1,0)，且与以A(－1，2)，B(2，)为端点的线段相交，可得kPB＝＝，kPA＝＝－1，所以直线l的斜率不存在或满足k≤－1或k≥，所以直线l的倾斜角的取值范围是. [例2]　已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________________． (－∞，－ ]∪[1，＋∞) 解析：如图，∵kAP＝＝1， kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)， ∴kAP＝＝，kBP＝＝. 如图可知，直线l斜率的取值范围为. 数形结合法解决范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由k＝求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. 所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. 3．已知倾斜角为的直线过A(1,0)，B(0，m)，则m＝(　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：由题意得＝tan，解得m＝－，故选C. 4．过A(0,4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　 ) A．－60° B．60° C．120° D．150° 解析：因为直线过点A(0,4)，B(，1)，所以kAB＝＝－.设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ＝－，解得θ＝120°，故选C. 5．在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C． D．2 解析：由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝＋(－)＝0. 解析：因为kAB＝kAC，又kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即b＝6. 7．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在的直线的方向向量为a＝(－，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C. D．2 解析：∵a＝(－，0)，∴BC所在直线的斜率为0. 又△ABC为等边三角形， ∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴kAB＋kAC＝tan 60°＋tan 120°＝0. 8．直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为(　 ) A． B． C． D． 解析：∵直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)， ∴直线l的方向向量a＝(a2＋1，－1)，k＝＝－. 又a2＋1≥1，∴0<≤1.∴k∈[－1,0)， ∴tan θ∈[－1,0)．∵θ∈[0，π)，∴θ∈. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝(　 ) A． B． C．1 D． 解析：设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以＝，解得a＝.故选B. 10．直线l过点M(－1,2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A． 　　　　 B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．[－2,1] 　　　　 D．∪[1，＋∞) 解析：∵直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，如图所示，∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM＝＝1，kMQ＝＝－，则k≥1或k≤－，∴k∈∪[1，＋∞)． 解析：kAB＝＝＝2，解得m＝－2. 解析：因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率<0，解得a<.所以实数a的取值范围是. 解析：由题意知，kPA＝－1.若点P在x轴上，则设P(m,0)(m≠1)，则＝－1，解得m＝3；若点P在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3)． ∴m＝1. 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0， (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故直线l的斜率k＝， 即＝，解得m＝. 即＝1，解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1， (5)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得－1<m<1， 故m的取值范围为(－1,1)． 15．已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量．求＋的最小值． ∴(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0. ∴＋＝·(2a＋3b)＝＝＋2 ≥＋2×2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． ∴＋的最小值为. $$