1.2.4 第1课时 求二面角的方法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

1.2.4 二面角 求二面角的方法 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．能用几何法求二面角． 2．理解平面的法向量的夹角与两平面所成的角的关系．会用平面的法向量求两个平面的夹角． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)二面角及其度量 1．二面角及其平面角 半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分，_______________都称为一个半平面 二面角 从__________________________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，_____________称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B 其中的每一部分 一条直线出发的两个半平面 这两个半平面 续表 平面角 在二面角α-l-β的棱上__________O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作_____于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 任取一点 垂直 2．二面角的度量 二面角的大小用它的_______大小来度量，即二面角大小等于它的平面角_____．特别地，平面角是直角的二面角称为_________． 3．两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，_________________________角的大小． 平面角 大小 直二面角 不小于0°且不大于90°的 基点训练 1．[多选]如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系可能是(　 ) A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定 解析：由二面角的概念知，这两个二面角大小相等或互补． √ √ √ (二)用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，如图(1)(2)所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝_____________， 特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉，|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝________. π－〈n1，n2〉 基点训练 1．[多选]已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小可能为(　 ) A．45° B．135° C．180° D．90° √ √ 2．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_____． 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A-VB-C的余弦值． 题型(一)　定义法求二面角的大小 解：取VB的中点为E，连接AE，CE，如图． ∵VA＝VB＝VC＝AB， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角． 设AB＝a，连接AC，在△AEC中， 用定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角． 方法技巧 1．如图，已知AB是圆的直径，且AB＝4，PA垂直于圆所在的平面，且PA＝3，M是圆周上一点，且∠ABM＝30°，求二面角A-BM-P的大小． 针对训练 解：因为AB是圆的直径，所以AM⊥BM. 因为PA⊥平面ABM，BM，AM⊂平面ABM， 所以PA⊥BM，PA⊥AM. 因为AM∩PA＝A，AM，PA⊂平面PAM， 所以BM⊥平面PAM. 因为PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM， 所以∠PMA是二面角A-BM-P的平面角． AB＝4，∠ABM＝30°，所以AM＝2. [例2]　已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B-PA-C的余弦值． 题型(二)　二面角与面积之间的联系 解：法一：一般法　如图，过点B作BE⊥AC于点E， 则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF. 因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC. 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC， 所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA. 由三垂线定理有BF⊥PA， 所以∠BFE是二面角B-PA-C的一个平面角． 设PC＝1，由E是AC的中点， 法二：利用射影面积公式　 如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE. 因为PC⊥平面ABC，PC∥平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC， 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC， 所以BE⊥平面PAC， 所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影． 方法技巧 (1)来源：三垂线定理． (2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出． (3)优势：不需要作出二面角的平面角． 2．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为___________． 针对训练 解析：△MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2， 设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ， [例3]　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所 有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1， 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)求证：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 题型(三)　向量法求二面角的大小 解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1， 所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O， 所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°， 设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2， 变式拓展 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 由图形可知二面角B-A1C-D的大小为钝角， 方法技巧 2．利用法向量求二面角的大小的一般步骤 针对训练 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 同理PA⊥AB.所以△PAB为直角三角形． 得PB2＋BC2＝PC2， 所以△PBC为直角三角形． 故BC⊥PB. 又因为BC⊥PA，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. (2)以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的 直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(1,0,0)， 设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 令x1＝1，则y1＝－1，所以m＝(1，－1,0)． 设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 令x2＝1，则z2＝1，所以n＝(1,0,1)． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 二面角D′-AB-D的大小是(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，则AB⊥AD，AB⊥AD′，所以∠D′AD为二面角D′-AB-D的一个平面角，四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，即二面角D′-AB-D的大小是45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是____________． 60°或120° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是______． 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE所成角的余弦值． 解：因为DA，DC，DE两两垂直， 所以建立空间直角坐标系，如图所示． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AC＝AD＝1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由PA2＋AB2＝PB2，可得PA⊥AB. 同理，PA⊥AD， 又AB∩AD＝A， 所以PA⊥平面ABCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)作EG∥PA交AD于点G， 由PA⊥平面ABCD. 则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角E-AC-D的一个平面角． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 13．如图，P是二面角α-AB-β棱上的一点， 分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM ＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角 α-AB-β的大小为(　 ) A．60° B．70° C．80° D．90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB-β的大小为90°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE. 依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β. 不妨设等边△ABC的边长为2， 则PH＝2，AH＝BH＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以F是AC的中点． 又E是AP的中点， 所以EF∥PC， 同理可得OD∥PC， 所以EF∥OD. 又OD⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以AD2＝AO2＋OD2，所以AO⊥OD. 由于EF∥OD，所以AO⊥EF， 又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， 所以AO⊥平面BEF. 又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：易知∠A1BA为二面角A1 -BC-A的平面角，cos∠A1BA＝＝. 微点助解 (1)若求两相交平面的所成的角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角 解析：由题得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 由知 令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝＝＝. AE＝EC＝a，AC＝a， 由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－， ∴所求二面角A-VB-C的余弦值为－. 因为PA＝3，所以tan∠PMA＝， 所以∠PMA＝arctan. 所以二面角B-PA-C的余弦值为. 得BE＝，EF＝sin 45°＝， 所以BF＝， 所以cos ∠BFE＝＝. 设二面角B-PA-C的大小为θ， 由射影面积公式有cos θ＝＝. 所以二面角B-PA-C的余弦值为. 设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1， 所以在△PAB中，AB边上的高h＝，所以S△PAB＝. 又S△PAE＝S△PAC＝. 对射影面积公式的理解 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝. 或 ∴cos θ＝＝， 则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或. 当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝， ∴cos θ＝＝； 当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝， 所以OB＝，OC＝1， 所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)， 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角， 所以二面角C1-OB1-D的余弦值为. 则由得 取z＝－，则x＝2，y＝2， 所以m＝(2,2，－)， 则A1(0，－1,2)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D. 所以＝，＝(0,2，－2)，＝(－，－1,0)． 则即 则即 取x1＝，则y1＝z1＝3，故n1＝(，3,3)． 设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 取x2＝，则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－. 所以二面角B -A1C-D的余弦值为－. 1．确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系的方法 (1)观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于. (2)在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等． 3．(2023·北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中， PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝. (1)求证：BC⊥平面PAB； (2)求二面角A-PC-B的大小． 又因为PB＝＝，BC＝1，PC＝， 所以＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)， ＝(1,1，－1)． 则即 则即 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 又因为二面角A-PC-B为锐二面角， 所以二面角A-PC-B的大小为. A级——综合提能 1．已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α-l-β的大小为(　 ) A．120° B．150° C．30°或150° D．60°或120° 解析：设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°. 3．如图，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　 ) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝. 4．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E， F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面 ABEF的面积为(　 ) A． B． C． D． 解析：截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，∴cos 30°＝，∴＝，∴SABEF＝. 5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0，0,3)，D(3,3,0)，E(0，2,1)，∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)． 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则 取z＝1，则y＝－，x＝，∴n＝. 易知平面ABE的一个法向量为m＝(1,0,0)， ∴cos〈n，m〉＝＝. ∴平面ABE与平面BED所成角的余弦值为.故选B. 解析：设二面角大小为θ，由题意可知|cos θ|＝＝＝，所以θ＝60°或120°. 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝－1， ∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1,1)， 则cos〈m，n〉＝＝. 由图知二面角A1-BD-C1为锐角， 所以二面角A1-BD-C1的余弦值为. 8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P-BC-A的大小为________． 解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°. 因为BE与平面ABCD所成角为60°， 即∠DBE＝60°，所以＝. 由AD＝3可知DE＝3，AF＝， 则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0，0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)． 所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)． 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝，则n＝(4,2，)． 由题意知AC⊥平面BDE， 所以＝(3，－3,0)为平面BDE的法向量． 所以cos〈n，〉＝＝＝. 故由题意知平面BEF与平面BDE所成角的余弦值为. 10．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝，点E在PD上，且＝2. (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求二面角E-AC-D的正弦值． 在△PAB中，PA＝1，PB＝， 又＝2，所以EG＝PA＝，AG＝AD＝，GH＝AGsin 60°＝， 从而EH＝＝， 所以sin∠EHG＝＝. 即二面角E-AC-D的正弦值为. B级——应用创新 11．[多选]正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是(　 ) A．AD与BC所成的角为30° B．AC与BD所成的角为90° C．BC与平面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD夹角的正切值是 解析：取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD.∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设OC＝1，则A(0,0,1)，B(0，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴＝(0,1,1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,2,0)．∵cos〈，〉＝＝＝，又0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉＝60°.∴异面直线AD与BC所成的角为60°.故A错误． ∵·＝0，∴AC⊥BD.故B正确． 设平面ACD的法向量为t＝(x，y，z)，则取z＝1，得x＝1，y＝1.∴t＝(1,1，1)．设BC与平面ACD所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，t〉|＝＝＝，故C错误． 易知平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设平面ABC的法向量为m＝(x′，y′，z′)，则取x′＝1，得y′＝－1，z′＝1.∴m＝(1，－1,1)．设两个平面的夹角为α(α为锐角)，则cos α＝|cos〈m，n〉|＝＝，故sin α＝，故tan α＝.∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是.故D正确．故选BD. 12．[多选]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1A上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的二面角可以是(　 ) A． B． C． D． 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1.此时，平面EFB与底面ABCD所成二面角最大为.当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角最小为.所以平面EFB与底面ABCD所成的二面角的范围是，故选ACD. 解析：不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB交AB于点E，NF⊥AB交AB于点F(图略)，因为∠EPM＝∠FPN＝45°，故PE＝，PF＝，于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0. 14．在三棱锥P-ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是(　 ) A． B． C．－ D．－ ∴HE＝，HF＝， 则tan α＝tan β＝＝， 故tan(α＋β)＝＝＝－. 15.(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)求证：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D-AO-C的正弦值． 解：(1)证明：设AF＝tAC， 则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋. 因为BF⊥AO， 所以·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝. (2)证明：易得AO＝＝，OD＝PC＝， 又AD＝OD＝， 则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)， ＝(－2，，0)． 因为PB＝PC，BC＝2， 所以设P(x，，z)，z>0， 则＝＋＝＋＝(2,0,0)＋(x－2，，z)＝， 由(2)知AO⊥BE， 所以·＝(－2，，0)·＝0， 所以x＝－1， 又PB＝，＝(x，，z)， 所以x2＋2＋z2＝6，所以z＝，即P(－1，，)． 由D为BP的中点，得D， 则＝. 设平面DAO的法向量为n1＝(a，b，c)， 则即 取a＝1，则n1＝(1，，)． 易知平面CAO的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 设二面角D-AO-C的大小为θ， 则|cos θ|＝|cosn1，n2|＝＝＝， 所以sin θ＝＝，故二面角D-AO-C的正弦值为. $$