1.2.4 二面角课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.4　二面角 　 学习目标　 1.了解二面角的有关概念,理解二面角及二面角的平面角的定义.(数学抽象) 2.掌握求二面角大小的基本方法及步骤.(直观想象、逻辑推理) 3.能结合图形,灵活选择方法解决与二面角有关的问题.(逻辑推理) 教材认知·内化必备知识 二面角 1.二面角的定义及相关概念 (1)半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,________________都称为一个 半平面. (2)二面角:从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角,这条直线 叫做二面角的____,____________叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二 面角,记作______,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记作______,二面角的范围为 _____. 其中的每一部分 两个半平面 棱 每个半平面 α-l-β A-l-B [0,π] (3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上___________,以O为垂足,分别在两半平 面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则________叫做二面角α-l-β的平面角.特别地,二面 角是直角的二面角称为直二面角. (4)两个相交平面所成的角:两个相交平面所形成的四个二面角中, ____________________的角. 2.用向量的夹角度量二面角 设平面α与β所成角的大小为θ,n1,n2为两个非零向量. (1)当n1∥α,n2∥β,n1⊥l,n2⊥l,且n1,n2的方向分别与半平面α,β的延伸方向相同, 则θ=<n1,n2>. (2)当n1⊥α,n2⊥β,则θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>. 任取一点O ∠AOB 不小于0°且不大于90° 点睛　 (1)当两个半平面重合时,二面角的大小为0;当两个半平面在同一平面内,且延伸方向相反时,二面角的大小为π. (2)二面角的平面角必须具备三个条件:一是“棱上”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上;二是“面内”,即角的两边必须分别在两个平面内;三是“垂直”,即角的两边必须都与棱垂直.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,顶点在棱上的不同位置所作的平面角是相等的. (3)二面角的大小θ与两个面的法向量n1,n2的夹角相等或互补, 则有sin θ=sin<n1,n2>或者cos θ=±cos<n1,n2>. 【质疑辨析】 (1)二面角是指两个平面相交的图形.(　 　) 提示:二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直.(　 　) 提示:根据二面角的平面角的定义可得. (3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.(　 　) 提示:二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角或补角的大小. × √ × 合作探究·形成关键能力 类型一　用定义法求二面角(数学抽象、直观想象、数学运算) [例1](1)正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的平面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.连接AB1,B1C,AC,取AC中点O连接B1O,BO. 由AB=BC,得BO⊥AC且AB1=B1C ,则B1O⊥AC, 故∠BOB1即为二面角B-AC-B1的平面角. 不妨设正方体的棱长为1,则在△ABC中BO=AC=, 在△AB1C中AB1=B1C=AC=,则B1O=.又B1B=1, 可得:cos∠B1OB===. (2)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AD,E为侧棱DD1上一点, 若直线BD1∥平面AEC,则二面角E-AC-B的正切值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.连接BD交AC于点F,连接EF, 由题意可知,BD1∥EF, 因为F为BD的中点,所以E为DD1的中点, 又AC⊥平面BDD1B1,则∠EFD为二面角E-AC-D的平面角, 设AD=a,则ED=a,DF=a,在Rt△EFD中,tan∠EFD==, 又二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补, 所以二面角E-AC-B的正切值为-. 【总结升华】 1.找二面角的平面角的方法 (1)定义法:由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识. (2)垂面法:作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角. (3)垂线法:三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致. 2.用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理); (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角; (3)解三角形求角. 【即学即练】 1.在边长为a的正△ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=a, 这时二面角B-AD-C的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选C.在边长为a的正△ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C, 由定义知,∠BDC为所求二面角的平面角,又BC=BD=DC=a, 所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=60°. 2.(2024·聊城高二检测)如图,在四面体ABCD中,AB⊥BD,CD⊥BD, 若AB=3,BD=2,CD=2,AC=,则平面ABD与平面CBD的夹角为 (　　) A. B. C. D. 【补偿训练】 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (1)求证:PC⊥AB; (2)求二面角B-AP-C的正弦值. 【解析】(1)取AB中点D,连接PD,CD, 因为AP=BP,所以PD⊥AB. 因为AC=BC,所以CD⊥AB, 又PD∩CD=D,故AB⊥平面PCD, 又PC⊂平面PCD,所以PC⊥AB. (2)因为AC=BC,AP=BP,PC=PC,所以△APC≌△BPC, 又PC⊥AC,所以PC⊥BC,又∠ACB=90°,故AC⊥BC. 又AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC. 取AP的中点E,连接BE,CE,由AB=BP,得BE⊥AP. 因为EC是BE在平面PAC内的射影, 所以CE⊥AP,∠BEC是二面角B-AP-C的平面角, 在△BCE中,∠BCE=90°,AC=BC=2. 所以AB=2,BE=·AB=,故sin∠BEC==, 即二面角B-AP-C的正弦值为. 类型二　利用三垂线定理求二面角(直观想象、数学运算) [例2](教材提升·例2) (2023·株洲高二检测)已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,PA=3,AB=2,BC=, 则二面角P-BD-A的正切值为__________.  【思路导引】过A作AH⊥BD于H,连接PH,结合三垂线定理得∠PHA为二面角 P-BD-A的平面角,在Rt△ABD中,可得BD==,AH=, 再由tan ∠PHA=计算即可. 【解析】如图所示:过A作AH⊥BD于H,连接PH, 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD, 又因为AH⊥BD,AH∩PA=A,AH,PA⊂平面 APH, 所以BD⊥平面APH,PH⊂平面APH,所以BD⊥PH, 所以∠PHA为二面角P-BD-A的平面角,在Rt△ABD中, 因为AB=2,AD=BC=,所以BD==,AH===, 在Rt△PAH中,tan ∠PHA===. 答案: 【总结升华】 用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法 (1)在其中一个面内找一特殊点A,过A作另一个平面的垂线,垂足为B; (2)过A作棱的垂线,垂足为C(或过B作棱的垂线,垂足为C),连接BC(或连接AC); (3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角∠ACB. 【即学即练】 1.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.如图,取AC的中点D,连接OD,PD, 因为PO⊥底面,所以PO⊥AC, 因为OA=OC,D为AC的中点,所以OD⊥AC,又PO∩OD=O, 所以AC⊥平面POD,则AC⊥PD, 所以∠PDO为二面角P-AC-B的平面角. 因为△PAB是边长为2的正三角形,所以PO=,OA=OC=1,OD=, 则PD==,所以sin∠PDO===. 2.三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,求二面角P-AC-B的大小. 【解析】如图在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6, 因为AC2+BC2=AB2,所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形, 所以P在底面△ABC的射影D是△ABC的外心, 即斜边AB的中点D是P在底面△ABC的射影, 作DE⊥AC,交AC于点E,连接PE, 则∠PED是所求的二面角的平面角, 由题意得DE=4,PE=8,cos∠PED==, 所以∠PED=60°,所以二面角P-AC-B的大小为60°. 类型三　用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算) 角度1　利用棱的垂线的方向向量求二面角 [例3](教材提升·例1) (2023·大连高二检测)在二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB,若AB=2,AC=3,BD=4,CD=,则此二面角的大小为 (　　) A. B. C. D. 【总结升华】 利用坐标法求二面角的步骤 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小, 如图,用坐标法的解题步骤如下: (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2. (3)计算:求n1与n2所成锐角θ,cos θ=. (4)定值:若二面角为锐角,则为θ;若二面角为钝角,则为π-θ. 注意:确定平面的法向量是关键,注意法向量的方向:一进一出, 二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 【教材拓展】 面积法求二面角射影面积公式 已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S',平面α和平面β所成的角的大小为θ,则cos θ=. [例5]已知在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC.求二面角B-AP-C的余弦值. 【思路导引】可利用三垂线定理作出二面角的平面角,再求解;还可用射影面积公式求解. 【解析】方法一:如图,过点B作BE⊥AC于点E,则E为AC的中点, 过点E作EF⊥PA于点F,连接BF. 因为PC⊥平面ABC,PC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC. 又因为BE⊥AC,BE⊂平面ABC, 平面ABC∩平面PAC=AC,所以BE⊥平面PAC. 由三垂线定理有BF⊥PA,所以∠BFE是二面角B-PA-C的平面角. 设PC=1,由E是AC中点,得BE=,EF=×sin 45°=, 所以BF=,所以cos∠BFE==. 方法二:(利用射影面积公式)如图,过点B作BE⊥AC于点E,连接PE. 因为PC⊥平面ABC,AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC. 所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影. 设PC=1,则PA=PB=,AB=1, 所以△PAB中AB边上的高h=. 所以S△PAB=,又S△PAE=S△PAC=. 设二面角B-PA-C的大小为θ, 由射影面积公式有cos θ==. 名师点睛 对射影面积公式的理解 (1)来源:三垂线定理. (2)适用范围:当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者已求出. (3)优势:不需要作出二面角的平面角. 注意:利用射影面积与图形面积比求二面角时,θ为二面角的大小,S为在二面角的一个面内的图形F的面积,S'为图形F在另一个面内的射影F'的面积,当θ为锐角时,cos θ=;当θ为钝角时,cos(π-θ)=. 【补偿训练】 △ABC是正三角形,P是△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,若S△PAB∶S△ABC=, 则二面角P-AB-C的大小为________.  【解析】设二面角P-AB-C的大小为θ,PA=PB=PC, P在平面ABC上的射影O为△ABC的中心, 所以S△OAB=S△ABC,又S△PAB=S△ABC. 所以cos θ==.所以θ=60°. 答案:60° 【解析】选C.平面ABD与平面CBD的夹角为θ∈[0,],由题意可得: ·=0,·=0,·=||||cos <,>=3×2cos (π-θ)=-6cos θ, 因为=++, 则==+++2·+2·+2·, 即19=9+12+4-12cos θ,解得cos θ=, 由θ∈,可得θ=,故平面ABD与平面CBD的夹角为. 【思路导引】方法一:将向量转化成=++,然后等式两边同时平方表示出向量的模,再根据向量的数量积求出向量与的夹角,而向量与的夹角就是二面角的补角.方法二:作出二面角的平面角,再利用解三角形知识进行求解. 【解析】选C.方法一:如图,由题知·=0,·=0,=++. 所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·= 32+22+42+2×3×4cos <,>==41, 所以cos <,>=,即<,>=60°,<,>=120°,所以二面角的大小为120°,即. 方法二: 过B作BE∥AC,且BE=AC,连接CE,DE,由二面角的平面角的定义知∠DBE即为 所求二面角的平面角.在Rt△CED中,DE==,在△BDE中,由余弦定 理得cos ∠DBE==-,所以二面角的大小为120°,即. 【总结升华】 利用向量法求二面角的两种方法 方法一:分别在二面角α-l-β的面α,β内,沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l,n2⊥l, 则可用<n1,n2>度量这个二面角的大小. 方法二:通过法向量求解 设m1⊥α,m2⊥β,则<m1,m2>与该二面角相等或互补. 角度2　利用半平面的法向量求二面角 [例4]如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等, AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 【思路导引】(1)充分利用图形中的垂直关系,用传统的方法(综合法)可证. (2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用法向量求二面角的余弦值. 【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形, 所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD, 因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD, 又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点, OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1, 所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2), 平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0), 设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),则由m⊥,m⊥, 所以x+2z=0,y+2z=0,取z=-,则x=2,y=2, 所以m=(2,2,-),所以cos<m,n>===. 由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角, 所以二面角C1-OB1-D的余弦值为. 【一题多变】 1.(变问法)本例(2)问条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值. 【解析】如图建立空间直角坐标系. 设棱长为2,则A1(0,-1,2),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0). 所以=(-,1,0),=(0,2,-2),=(-,-1,0). 设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则即取x1=,则y1=z1=3,故n1=(,3,3). 设平面A1CD的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即 取x2=,则y2=z2=-3,故n2=(,-3,-3). 所以cos<n1,n2>==-=-. 由图形可知二面角B-A1C-D的大小为钝角, 所以二面角B-A1C-D的余弦值为-. 2.(变条件,变结论)本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值. 【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设此棱柱的棱长为1, 则A(0,0,0),B1(1,0,1),E(1,,0),D1(0,1,1),F(,1,0), =(1,,0),=(1,0,1), =(,1,0),=(0,1,1). 设平面AB1E的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即 令y1=2,则x1=-1,z1=1,所以n1=(-1,2,1). 设平面AD1F的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即令x2=2,则y2=-1,z2=1.所以n2=(2,-1,1). 所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为 ===. 【即学即练】 1.已知矩形ABCD,AB=,AD=1,将△ACD沿AC折起到△ACP的位置,若PB=,则二面角P-AC-B平面角的余弦值的大小为 (　　) A. B. C.- D.- 【解析】选C.作PE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F, 过点E作ME∥BF交AB于点M,则ME⊥AC, 所以∠PEM即为二面角P-AC-B的平面角, 由题意,可得PE=BF==,则EA=FC=,所以EF=1, 因为=++=-++, 所以=++-2·-2·+2·, 即3=+1+-0-2××cos<,>+0, 所以cos<,>=-, 因为ME∥BF,所以cos∠PEM=-.所以二面角P-AC-B平面角的余弦值的大小为-. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为________.   【解析】以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),=(-1,0,1),=(1,2,0). 设平面EFC1B的一个法向量n=(x,y,z), 则⇒取x=2,得n=(2,-1,2). 同理平面BCC1B1的一个法向量m=(0,1,0), 设平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角为θ,则|cos θ|==,所以sin θ==, 所以平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为. 答案: 3.(2021·新高考II卷)在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形, AD=2,QD=QA=,QC=3. (1)求证:平面QAD⊥平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值. 【解析】(1)取AD的中点为O,连接QO,CO. 因为QA=QD,OA=OD,则QO⊥AD, 而AD=2,QA=,故QO==2. 在正方形ABCD中,因为AD=2,故DO=1,故CO=, 因为QC=3,故QC2=QO2+OC2,故△QOC为直角三角形且QO⊥OC, 因为OC∩AD=O,故QO⊥平面ABCD, 因为QO⊂平面QAD,故平面QAD⊥平面ABCD. (2)在平面ABCD内,过O作OT∥CD,交BC于T,则OT⊥AD, 结合(1)中的QO⊥平面ABCD,故可建如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),故=(-2,1,2),=(-2,2,0). 设平面QBD的法向量n=(x,y,z). 则即 取x=1,则y=1,z=,故n=.易得平面QAD的一个法向量为m=(1,0,0), 故cos<m,n>==.二面角B-QD-A的平面角为锐角,故其余弦值为. $$