1.2.3 直线与平面的夹角（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

1.2.3 直线与平面的夹角 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念． 2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角． 3．会用向量法求线面角． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线与平面的夹角 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是__________的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的___，称为这条斜线与平面所成的角． 唯一确定 角 2．直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条 斜线，B为_____，A′B是直线AB在平面α内的_____， 则_______就是直线AB与平面α所成的角． (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是_____________. ①当θ＝0°，AB ___α或AB____α； ②当θ＝90°，AB___α. 斜足 射影 ∠ABA′ 0°≤θ≤90° ∥ ⊂ ⊥ 3．最小角定理 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段， O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM 是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′ ＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则θ，θ1， θ2之间的关系为_________________. cos θ＝cos θ1cos θ2 微点助解 (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式． (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 基点训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．(　 ) (2)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为________． (二)用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量． θ＝____________或θ＝_____________， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝______________. |cos〈v，n〉| 基点训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　 ) (2)当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时，这条直线不一定在平面内．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　 ) A．120°　　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. 题型(一)　定义法求直线与平面的夹角 (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 又∠BCA＝90°， 所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. (2)取PC的中点E，连接AE，DE，如图． 因为D为PB的中点， 所以DE∥BC， 所以DE⊥平面PAC， 所以AE是AD在平面PAC内的射影， 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角． 设PA＝AB＝a，在Rt△ABC中， 因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°， 若本例(2)条件不变，求AD与平面PBC夹角的正弦值，结果如何？ 解：由例题(1)知BC⊥平面PAC， 所以平面PAC⊥平面PBC. 过A作AE⊥PC，所以AE⊥平面PBC. 连接ED，如图，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角． 变式拓展 在△APC中，AP＝2a， 用定义法(几何法)求直线和平面所成的角的步骤 (1)作：即作(或找)出直线和平面所成的角； (2)证：即证明所作的角为直线与平面所成的角； (3)算：即解三角形求出直线与平面所成的角． 方法技巧 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角． 针对训练 解：易知A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 又BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1. 又易知BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 可得BC1⊥平面A1DCB1. 因此A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影， 即∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角， 所以∠BA1O＝30°. 即直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 题型(二)　最小角定理cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 解：法一　连接AB，AC， ∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴△ABC为等腰直角三角形． 同理△BOC也为等腰直角三角形． 取BC中点为H，连接AH，OH，如图． 又AO＝a，则AH2＋OH2＝AO2. ∴△AHO为等腰直角三角形． ∴AH⊥OH. 又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H， ∴AH⊥平面α. ∴OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角． ∴∠AOH＝45°. ∴OA与平面α所成的角为45°. 法二　∵∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H. 故∠BOH＝45°， 由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2， 方法技巧 斜线与平面所成角的性质的应用策略 (1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦； (2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果． 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线 PB与平面ABCD所成角． 解：连接BD，由题意得∠CBD＝45°， ∠PBD即为直线PB与平面所成角θ. ∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°. 即cos 60°＝cos θ·cos 45°， 针对训练 题型(三)　向量法求直线与平面所成的角 [例3]　如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 设CF＝h(h>0)，则F(1,2，h)． 因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE. 方法技巧 针对训练 解：(1)证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO， 则OB＝DC＝1. 又DC∥OB， 所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形， 所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形， 所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP， 所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP， 所以BD⊥PA. (2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°， 所以三角形ADO为正三角形． 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)． 设直线PD与平面PAB所成的角为α， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．直线l的方向向量是v1，平面α的法向量为v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l与平面α所成的角为φ，则(　 ) A．φ＝θ B．φ＝π－θ C．cos θ＝|cos φ| D．sin φ＝|cos θ| 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，设A在平面BPC内的射影为O， ∵∠APB＝∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上， ∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC， 即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若直线l的一个方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为_______． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为______． 45° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD； (3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH. 又由BG＝PG，故GH∥PD. 又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以GH∥平面PAD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)证明：取棱PC的中点N，连接DN. 依题意，得DN⊥PC. 又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC， 所以DN⊥平面PAC. 又PA⊂平面PAC，所以DN⊥PA. 又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D， 所以PA⊥平面PCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角． 因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂 直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC； (2)求直线AB与平面EBC所成角的大小． 解：∵四边形ACDE是正方形， ∴EA⊥AC，AM⊥EC. ∵平面ACDE⊥平面ABC， ∴EA⊥平面ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 以点A为原点，过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设EA＝AC＝BC＝2， 则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)． ∵M是正方形ACDE的对角线的交点， ∴M(0,1,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴AM⊥EC，AM⊥CB. 又∵EC∩CB＝C， ∴AM⊥平面EBC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11．设E，F是正方体AC1的棱AB，D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的条数是(　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为______． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)， B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设AP与平面BDD1B1所成的角为θ， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.   (1)求证：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)证明：如图1，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴A1C⊥BC. 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D. 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形， 又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点． 又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)如图2，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2， ∴A1F＝2. 又A1D＝1且A1C＝AC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1,0,1)． 设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝. －〈v，n〉 〈v，n〉－ 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°. 所以BC＝，DE＝， 在Rt△ABP中，AD＝a， 所以sin∠DAE＝＝＝. 即AD与平面PAC夹角的正弦值为. 设PA＝AB＝2a，所以PB＝2a. 故AD＝a. 所以sin∠ADE＝＝＝. 即AD与平面PBC夹角的正弦值为. AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a， 所以PC＝＝a， 设∠ACP＝θ， 则AE＝AC·sin θ＝AC×＝a×＝a＝a， 在Rt△A1BO中，∠BOA1＝90°，A1B＝a，BO＝a， 可得BO＝A1B. [例2]　∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． ∴AB＝AC＝a. 又∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2. ∴AH＝a，OH＝a， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝. 又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°. 得cos∠AOH＝＝， ∴OA与平面α所成的角为45°. ∴cos θ＝，θ＝45°. 解：依题意，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)． (1)证明：依题意知，＝(1,0,0)是平面ADE的法向量， 又＝(0,2，h)，可得·＝0， 因此有cos〈，n〉＝＝－. 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. (2)依题意，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1，－2,2)． 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则即 不妨令z＝1，可得n＝(2,2,1)． 向量法求直线与平面所成角的步骤 用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算与n所成的角的余弦值，则直线与平面所成的角等于. 3.(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 则A，B，P(0,0，)，D(0，0,0)． 则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)． 则⇒ 则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. A级——综合提能 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°. 解析：φ＝θ－或φ＝－θ，且φ∈， 因而sin φ＝|cos θ|. 3．已知E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF与平面BDD1B1所成的角的正弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则点D1(0,0,0)，F(1,0,2)，E(2,2,1)，A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，则＝(－1，－2,1)．显然＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量，设EF与平面BDD1B1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝. 4．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60° ，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． ∴cos∠APO＝. 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　 ) A． B． C． D． 解析：设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,0)，E(1,2，0)，F(1,0，2)，＝(1,2,0)，＝(1,0,2)．设平面A1ECF的一个法向量n＝(x，y，z)，则 即令x＝－2，得y＝1，z＝1，所以平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)．又A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，所以tan θ＝. 解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 解析：如图，过C作CO⊥平面α，O为垂足，连接OA，OM，则∠OMC为CM与平面α所成的角，∠CAO＝30°.设AC＝BC＝1，则AB＝，OC＝，CM＝AB＝，∴sin∠OMC＝，∴∠OMC＝45°，即CM与平面α所成角的大小为45°. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)． ∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)， ＝(0,2，－3)． 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则令y＝3，则z＝2，x＝， ∴n＝(，3,2)．设AB与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 所以DN＝. 又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝. 所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为. (1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， ∴·＝0，·＝0. (2)∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量． ∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)， ∴cos〈，〉＝＝. ∴〈，〉＝60°. ∴直线AB与平面EBC所成的角为30°. 解析：如图，以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，由题意知A1(1,0,1) ，E，C(0,1,0)， 则＝，＝. 设平面A1ECF的法向量为n＝(x，y，z)，由 可得令x＝1，则y＝2，z＝1，则n＝(1,2,1)为平面A1ECF的一个法向量．＝＝(0,1,1)，＝＝(1,1,0)，而且通过计算可得到这4个向量与向量n所成的角均为30°，于是这4个向量与平面A1ECF所成的角均为60°，而其他的面对角线所在直线的方向向量均不满足条件． 12．[多选]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB，则(　 ) A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 解析：取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB＝2，则AA1＝2.∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1，2)，B1(，0,0)．∴＝(0,2，－2)．∵底面ABC的其中一个法向量为m＝(0,0,2)， ∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝.∴A错，B对． ∵A1B1的中点K的坐标为，∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝.∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.∴C对，D错．故选BC. 解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1， 则A，B，C，D，所以＝，＝，＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则 所以取x＝1，则y＝－，z＝1， 所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈n，＝＝， 因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为. 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3. 所以＝(－1，－1,0)，＝(0,0，1)， ＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)， 又由·＝0，·＝0，知为平面BDD1B1的一个法向量． 则sin θ＝＝＝. cos θ＝＝， 依题意＝3，解得m＝， 故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3. ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 建立空间直角坐标系如图2所示，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)， 则即 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. $$