1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．了解空间直角坐标系的建系方式，能在空间直角坐标系中求出点的坐标． 2．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式，并能掌握空间向量坐标的简单应用． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系_____，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴___轴．这样建立的空间直角坐标系记作______. xOy Oxyz z (1)x轴、y轴、z轴是两两互相_____的，它们都称为_______． (2)通过每两个坐标轴的平面都称为_________，分别记为_________、_________、_________． (3)画空间直角坐标系Oxyz时，一般把__________画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为_____________，z轴与y轴(或x轴)______． 垂直 坐标轴 坐标平面 xOy平面 yOz平面 zOx平面 x轴、y轴 135°(或45°) 垂直 2．空间点的坐标 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的_______(或x坐标)，y称为点M的_______(或y坐标)，z称为点M的_______(或z坐标)． 横坐标 纵坐标 竖坐标 3．卦限及各卦限内的符号 在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成八个部分，每一部分都称为一个卦限．各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－)． 微点助解 (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)在水平面xOy中，x轴逆时针旋转90°为y轴． (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性． (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果． 基点训练 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴上的点的坐标一定可以写成(0，y，z)的形式．(　 ) (2)在空间直角坐标系Oxyz中，yOz平面内的点的坐标一定可以写成(0，y，z)的形式．(　 ) (3)在空间直角坐标系Oxyz中，z轴上的点的坐标可以写成(0,0，z)的形式．(　 ) (4)在空间直角坐标系Oxyz中，zOx平面内的点的坐标一定可以写成(x,0，z)的形式．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ (二)空间直角坐标系中的坐标公式 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)． (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 基点训练 √ √ √ 解析：因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确； 同理B、C都不正确； 2．已知M(－1,0,2)为空间直角坐标系中的一点，O为坐标原点，则OM的长等于_____． 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 题型(一)　确定空间任一点的坐标 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1， 可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， 1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N，其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标． 方法技巧 1．[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论正确的是(　 ) A．点B1的坐标为(3,5,4) B．点C1关于点B对称的点为(8,5，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 针对训练 √ √ √ 解析：易知点B1的坐标为(4,5,3)，故A错误； 因为CB⊥平面ABB1A1，故点C(0，5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0＋2×4,5,0)，即(8,5,0)，故D正确． 题型(二)　利用空间向量坐标公式解决距离与夹角问题 计算空间两点间的距离 (1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式； (2)若点的坐标未知，则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系)，利用平面图形及空间图形的性质，结合坐标系表示出相关点的坐标，最后代入空间两点间的距离公式． 方法技巧 针对训练 解：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD. 题型(三)　利用空间向量的坐标解决空间位置关系问题 建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1(0,0,2)，C1(4,0,2)，D(0，2,1)，E(2,0,2)，F(2,1,0)． 因此A1F⊥DE. 用坐标表示空间向量的步骤 方法技巧 针对训练 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 所以3(a－1,a－1,0)＝(－a,－a,0)， 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(x，y,2 024)(x∈R，y∈R)构成的集合是(　 ) A．一条直线 B．平行于平面Oxy的平面 C．两条直线 D．平行于平面Ozx的平面 解析：由题意知，点M在平面Oxy的上方，且距平面Oxy的距离始终为2 024，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知点A(1,1，－3)，B(3，1，－1)，则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(　 ) A．(－2,1，－2) B．(2,1，－2) C．(2，－1，－2) D．(2,1,2) 解析：∵点A(1,1，－3)，B(3,1，－1)，∴线段AB的中点M(2,1，－2)，∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(－2,1，－2)．故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1,0,3)，N(0,2,0)，点P在xOz平面内，且|PM|＝|PN|，请写出一个满足条件的点P的坐标：_____________________________________________. (0,0,1)(答案不唯一，符合(x,0，z)，x＋3z＝3即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点．点 D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为 ______________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线，与CC1相交于点D，如图所示，AB⊥平面BB1C1C，BD⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C， ∴AB⊥BD，AB⊥BB1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又∵BB1⊥BD， ∴BD，BB1，BA两两垂直，以B为原点，分别以BD，BB1，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)∵AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4， ∴C(2,0,2)，E(2,2,0)，F(1,4,0)，G(0,2,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　 ) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为______，若D1E⊥EC，则AE＝________. 90° 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，m,0)，0≤m≤2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求B，F两点间的距离； (2)求证：EF∥平面PAB； (3)求证：平面PAD⊥平面PDC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直 线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又AP∩AD＝A，且AP，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD. 又DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC. (1)＝______________________. (2)两点之间的距离公式：AB＝|| ＝_____________________________. (3)中点坐标公式：M为线段AB的中点，则M的坐标为 ______________________. 1．[多选]在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法不正确的是(　 ) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 由于＝－，所以D正确． 解析：OM＝||＝＝. ∴A1，C1. ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴A，B，C. ∴B1， 即该三棱柱各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 由C1(0,5,3)，B(4,5,0)，设点C1关于点B对称的点为P(x，y，z)，则＝4，＝5，＝0，解得x＝8，y＝5，z＝－3，故P(8,5，－3)，故B正确； 在长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，故C正确； [例2]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分 别是B1C1，A1A的中点． (1)求M，N的距离； (2)求cos〈，〉的值． ∴M，N的距离为. 解：(1)如图，建立空间直角坐标系，依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)．M， ∴＝， ∴||＝＝. (2)由(1)得＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 2.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)．求： (1)MN的长； (2)当a为何值时，MN的长最小． ∴AB，BC，BE两两垂直． ∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则M，N. 即a＝时，MN的长最小． ∴|MN|＝ ＝ ＝ (0<a<)． (2)∵|MN|＝ ， ∴当a＝时，|MN|min＝. [例3]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，线段BB1，A1C1，BC的中点分别为D，E，F.已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2. (1)求证：A1F⊥DE； (2)求sin〈，〉． 解：(1)证明：由题意易知AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向， 因为＝(2,1，－2)，＝(2，－2,1)， 所以·＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0， 所以sin〈，〉＝＝. (2)由(1)知＝(2，－2,1)，＝(－2,1，－2)， 则||＝＝3，||＝＝3， 可得cos〈，〉＝＝＝－， 则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 因为3＝， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以点P的坐标为. 所以点Q的坐标为. 因为·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0，解得b＝， 因为＝λ， 所以(－1，－1,0)＝λ. 所以＝－1，故λ＝－4. 2.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||＝(　 ) A．2 B． C． D．2 解析：由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则＝(－2,1,1)，||＝. 解析：因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而||＝，||＝5，所以△ABC是直角三角形． 5．已知＝(1,2,3)，＝(a，b，b－2)，若点A，B，C共线，则||＝(　 ) A． B．2 C．3 D．9 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以＝＝，解得a＝－2，b＝－4，故＝(－2，－4，－6)，＝－＝(－3，－6，－9)，||＝＝3. 6．已知点M(1,0,2)，N(－1,1,0)，＝2，则点P的坐标为___________． 解析：点M(1,0,2)，N(－1,1,0)，则＝(－2,1，－2)，设点P(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－2)，由＝2，得解得所以点P的坐标为. 解析：设P(x,0，z)，由|PM|＝|PN|， 得 ＝， 化简得x＋3z＝3. 解析：过点D作DE⊥BC，垂足为E(图略)，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2, 得|BD|＝1，|CD|＝，所以|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝.所以点D的坐标为. 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标． AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝， 则CD＝，BD＝， ∴A(0,0，)，B(0,0,0)，C，0，A1(0,2，)，B1(0,2,0)，C1，E为棱CC1的中点，则有E. (1)求·的值； (2)求证：C，E，F，G四点共面． ∴＝(－2,2,2)，＝(－1,2,0)， ∴·＝－2×(－1)＋2×2＋0＝6. (2)证明：由(1)得＝(0,2，－2)， 令＝m＋n，即解得 ∴＝－＋2. 故C，E，F，G四点共面． B级——应用创新 11．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　 ) A． B． C． D． 解析：因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，所以＝(1＋t,2t－1,0)，所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2，易知当t＝时，||2取得最小值，即A，B两点的距离的最小值为. 解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)．设＝(a，b，c)，则取＝(1,1，－1)．∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1. 13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　 ) A．7 B．7 C． D． 解析：因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以||＝，||＝，所以cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝××sin 60°＝7. 则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)， ∴·＝－1＋0＋1＝0， ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC， ∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0， 解得m＝1，∴AE＝1. 所以E，F，＝，||＝， 即B，F两点间的距离为. (2)证明：由(1)知，＝，＝(1,0,0)， 所以＝－，即∥，即EF∥AB， (3)证明：由(1)知，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)， 所以·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 则⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC， $$