1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 空间向量的坐标及运算 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示． 2．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间中向量的坐标 逐点清(二)　空间向量的运算与坐标的关系 逐点清(三)　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　空间中向量的坐标 01 多维度理解 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是_________，而且这三个向量_________，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的_____________，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝_________，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 单位向量 两两垂直 单位正交分解 (x，y，z) 细微点练明 √ 1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　 ) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 2．设{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是___________________． (3,2,－1)，(－2,4,2) 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 逐点清(二)　空间向量的运算 与坐标的关系 02 多维度理解 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b ___________________________________________________________ 加法 a＋b __________________________________________________________ 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b _______________________________________ x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) x1x2＋y1y2＋z1z2 续表 细微点练明 √ 1．若向量a＝(4,0，－2)，向量a－b＝(0,1，－2)，则b＝(　 ) A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4) C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4) 解析：b＝a－(a－b)＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0)． 2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　 ) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 解析：易知由a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，可得4a＋2b＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． √ 3．已知向量a＝(2，－1,5)，2a－3b＝(－2,1,13)，则a·b＝(　 ) A．－2 B．0 C．2 D．10 解析：由题设3b＝2·(2，－1,5)－(－2,1,13)＝(6，－3，－3)，则b＝(2，－1，－1)，所以a·b＝(2，－1,5)·(2，－1，－1)＝4＋1－5＝0. √ √ 5．已知向量a＝(1,2,2)，b＝(2,3,2)，则|a＋b|＝________. 逐点清(三)　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 03 多维度理解 1．空间向量平行 (1)当a≠0时， a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)x2＝____，y2＝____，z2＝_____. (2)当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔___________. λx1 λy1 λz1 2．空间向量垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________. x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 微点助解 (1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0时，b，c不一定平行． (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0. 细微点练明 √ 解析：因为a⊥b，所以a·b＝1×2＋m－1×0＝2＋m＝0，解得m＝－2. √ 3．已知a＝(1,0,1)，b＝(0,1,0)，c＝(1,1,1)，则(　 ) A．|c|＝3 B．a⊥b C．b·c＝3 D．(b＋c)∥a √ 4．已知向量a＝(－1，m,0)，b＝(2，－1,1)，c＝(1，m，－1)．若a⊥b，则b与c的夹角为________． 解：(1)因为空间向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，a－2b＝(3,1，－4)． 因为ka＋b与a－2b互相垂直， 所以3(k－1)＋k－8＝0， 解得k＝2或k＝－1. 因为ka＋b与c互相平行， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 解析：由题意，得c＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 ) A．5 B．－5 C．7 D．－1 解析：∵a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，∴两式相加得2a＝(2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，∴b＝(－3,1,2)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由a⊥b，得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误． 若存在实数λ，使得a＝λb，则1＝－2λ，－1＝λ(m－1)，m＝2λ，显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确． 若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0.于是a＋b＝(－1，－2,2)，故D选项错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 解析：设同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量为e＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 a＋2b＝(－1，－1,2)，b＋c＝(1，－3,2)，则(a＋2b)·(b＋c)＝－1×1＋(－1)×(－3)＋2×2＝6，B错误． a＋5b＝(－4，－1，5)，则(a＋5b)·c＝－4×2＋(－1)×(－3)＋5×1＝0，故(a＋5b)⊥c，C正确． b－c＝(－3，3,0)，则b－c＝－3a，故a∥(b－c)，D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为____________． 解析：由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， (1,1,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知向量a＝(1,2，－1)，b＝(m，m2＋3m－6，n)，若向量a，b同向，则m＋n＝________. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当m＝－3，n＝3时，b＝(－3，－6,3)＝－3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；当m＝2，n＝－2时，b＝(2,4，－2)＝2a，向量a，b同向，符合题意．综上，m＝2，n＝－2，故m＋n＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________． (－∞，－2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)． (1)判断a，b的位置关系； (2)若a∥c，求|c|； (3)若(a＋2c)⊥(b＋c)，求x的值． 解：(1)因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)由已知得a＋2c＝(5,2＋2x，－10)，b＋c＝(0，x－4,0)． 因为(a＋2c)⊥(b＋c)， 所以(a＋2c)·(b＋c)＝0， 即(2＋2x)(x－4)＝0， 解得x＝－1或x＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知空间向量a＝(2，－1,3)，b＝(m,4，n)． (1)若c∥a，且a·c＝28，求c的坐标； (2)若a⊥b，且m>0，n>0，求mn的最大值． 解：(1)由题意c∥a，a＝(2，－1,3)≠0， 所以不妨设c＝λa. 又a·c＝28，从而a·c＝λa2＝λ|a|2＝λ×[22＋(－1)2＋32]＝28， 解得λ＝2，所以c＝λa＝2a＝(4，－2,6)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由题意a⊥b，所以a·b＝2m－4＋3n＝0， 即2m＋3n＝4. 又因为m>0，n>0， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)． ＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)． 3．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 设＝i，＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0). 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　 ) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 解析：因为a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，所以a·b＝6－λ，|a|＝，|b|＝＝3.由题知，3×＝6－λ，即55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝. 5 解析：因为a＝(1,2,2)，b＝(2,3,2)，所以a＋b＝(3,5,4)，所以|a＋b|＝＝5. ＝＝ 1．已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，m,0)，若a⊥b，则m＝(　 ) A．－2 B．2 C． D．0 2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2), 且(a＋b)∥(2a－b)，则(　 ) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 解析：由a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，得a＋b＝(x＋1,3,2－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，由(a＋b)∥(2a－b)，得＝＝，所以x＝，y＝－4. 因为b＋c＝(1,2,1)≠λ(1,0,1)，所以(b＋c)∥a不正确，故D错误． 解析：因为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,0)，c＝(1,1,1)，所以|c|＝＝，故A错误； 因为a·b＝1×0＋0×1＋1×0＝0，所以a⊥b，故B正确； 因为b·c＝1×0＋1×1＋1×0＝1，故C错误； 解析：∵a⊥b，∴a·b＝－2－m＝0，∴m＝－2.∴c＝(1，－2，－1)．又b＝(2，－1,1)，∴cos〈b，c〉＝＝＝，而〈b，c〉∈[0，π]，故b与c的夹角为. 5．已知空间向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝. (1)若ka＋b与a－2b互相垂直，求实数k的值； (2)若|ka＋b|＝3，且ka＋b与c互相平行，求实数k的值． 解得k＝， 故实数k的值为. (2)因为|ka＋b|＝3，所以＝3， 所以ka＋b＝λc⇒解得 综上所述，实数k的值为2. 1．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是(　 ) A．(2,0，－4) B．(3,6，－12) C．(1,1，－2) D． 2．已知向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝c－2a，则c＝(　 ) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 4．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝. 5．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，则向量b在向量a上的投影向量为(　 ) A． B． C．(0，－1，－1) D．(－1,0，－1) 解析：因为向量a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，所以a·b＝1，|a|＝，所以向量b在向量a上的投影向量为·＝a＝. 6．[多选]已知向量a＝(1，－1，m)，b＝(－2，m－1,2)，则下列结论正确的是(　 ) A．若|a|＝2，则m＝± B．若a⊥b，则m＝－1 C．不存在实数λ，使得a＝λb D．若a·b＝－1，则a＋b＝(－1，－2，－2) 解析：由|a|＝2，得＝2，解得m＝±，故A选项正确． 7．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由已知可得a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，且|a|＝.又(a＋b)·c＝7，所以－a·c＝7，即有－|a||c|cos〈a，c〉＝－14cos〈a，c〉＝7，所以cos〈a，c〉＝－.又0°≤〈a，c〉≤180°，所以〈a，c〉＝120°. 8．[多选]同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是(　 ) A． B． C． D． 则即 解得或 故e＝或e＝. 9．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　 ) A． B． C． D． 解析：由题意可得，2a－b＝2(1，n,2)－(－2，1,2)＝(4,2n－1,2)，因为2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝4×(－2)＋(2n－1)×1＋2×2＝0，解得n＝，即a＝，所以|a|＝＝，故选C. 10．[多选]已知向量a＝(1，－1,0)，b＝(－1,0,1)，c＝(2，－3,1)，则(　 ) A．向量a，b的夹角为 B．(a＋2b)·(b＋c)＝7 C．(a＋5b)⊥c D．a∥(b－c) 解析：|a|＝＝，|b|＝＝，a·b＝1×(－1)＋(－1)×0＋0×1＝－1，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，则θ＝，A错误． 又∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝－1. ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 解析：由题意可知a∥b，所以＝＝， 即解得或 解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)． 所以＝＝， 即b＝－2a.故a∥b. (2)因为a∥c，所以＝＝，所以x＝4. 此时c(2,4，－4)，故|c|＝＝6. 所以由均值不等式可得2m＋3n＝4≥2， 当且仅当m＝1，n＝时，等号成立，解得mn≤， 所以当且仅当m＝1，n＝时，mn取得最大值，最大值为. $$