7.1.1 第1课时 条件概率（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

第七章 随机变量及其分布 7.1.1 条件概率 条件概率 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 结合古典概型，了解条件概率的定义；利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材· 自主落实主干基础 条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=_________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 微点助解 (1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率. (2)P(B|A)与P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)与P(B)不一定相等. 基点训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)P(B|A)<P(AB). (　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生. (　　) (3)P(A|A)=0. (　　) (4)P(B|A)=P(A|B). (　　) ×　 √　 ×　 × 2.已知P(AB)=，P(A)=，则P(B|A)为(　　) A. B. C. D. √ 3.夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为，且两地同时下雨的概率为，则在夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为(　　) A.B. C. D. 解析：记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，则P(A)=，P(B)=，P(AB)=，所以P(A|B)===.故选C. √ 4.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，设事件A为“第一次出现正面”，事件B为“第二次出现正面”，求P(A|B)与P(B|A). 解：由题意可知，事件A包含的样本点为(正，正)，(正，反)，事件B包含的样本点为(正，正)，(反，正)，事件AB所包含的样本点为(正，正)，所以P(A|B)==，P(B|A)==. 课堂环节/题点研究· 迁移应用融会贯通 题型(一)　条件概率的概念 [例1]　下列命题是条件概率的为 (　　) A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 √ 解析：由条件概率的定义：某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率.选项A，甲、乙各投篮一次都投中的概率，不是条件概率；选项B，抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C，甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D，一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率. [思维建模] 判断是不是条件概率，主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件下进行的. 针对训练 1.[多选]下列命题是条件概率的为 (　　) A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获得冠军的概率 B.掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率 C.在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，求抽到的是梅花5的概率 D.商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率 √ √ 2.若P()=，P(B|A)=，则P(AB)=(　　) A. B. C. D. 解析：∵P()=，∴P(A)=1-=，又P(B|A)=， 则P(AB)=P(B|A)P(A)=×=. √ 题型(二)　求条件概率 方法1　利用定义求条件概率 　 [例2]　(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 √ 解析：法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比 例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好 滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑 冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6+0.5-B=0.7，所以B=0.4，C=0.5-0.4=0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为==0.8，故选A. 法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4，所以P(C)=P(A|B)===0.8，故选A. (2)现有4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为　　　　.  解析：设事件A表示“男生甲被选中”，事件B表示“女生乙被选中”，则由题意可得P(A)==，P(AB)==，∴P(B|A)==.故在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为. [思维建模] 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)代入公式得P(B|A)=.这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 针对训练 3.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C，D，E，F4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率P(B|A)= (　　) A.B. C. D. √ 解析：由题意知两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有4×4=16种，其中事件A的情况有4×4-3×3=7种，事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6种，所以P(A)=，P(AB)==，所以P(B|A)===. 4.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”，事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”，则P(A)==，P(AB)==，则P(B|A)==. 方法2　缩小样本空间求条件概率 　 [例3]　集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从集合A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记为(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15种情况.在这15种情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P==. 变式拓展 1.本例条件不变，求乙抽到偶数的概率. 解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1，2)，(1，4)， (1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P==. 2.本例条件“若甲先取(不放回)，乙后取”变为“若甲先取(放回)，乙后取”.事件A为“甲抽到的数大于4”，事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 解：甲抽到的数大于4的情形有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12种情况，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5，2)，(6，1)，共2种情况.所以P(B|A)==. [思维建模] 利用缩小样本空间法求条件概率的步骤 (1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点数. (3)算：利用P(B|A)=求得结果. 针对训练 5.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，进行不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A). 解：将3个一等品编号为1，2，3，二等品编号为4，以(i，j)表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品，则试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9个样本点，事件AB有6个样本点，P(B|A)===. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=，P(A)=，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 解析：P(B|A)===. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为 (　　) A.B. C. D. 解析：张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周一至周五还剩余4天，张老师周三也参加课后延时服务的概率P=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为 (　　) A.B. C. D. 解析：设“第一次取得次品”为事件A，“第二次取得正品”为事件B，则P(AB)==，P(A)==，所以P(B|A)==×=.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]下列说法不正确的是 (　　) A.P(B|A)<P(AB) B.P(B|A)=是可能的 C.P(B|A)=P(A|B) D.P(A|A)=1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由条件概率公式P(B|A)=及0<P(A)≤1，知P(B|A)≥P(AB)，故A错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)=P(B)，此时P(B|A)=，故B正确；因为P(B|A)=，P(A|B)=，P(A)与P(B)不一定相等，所以P(B|A)=P(A|B)不一定成立，故C错误；显然，P(A|A)=1，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则P(B|A)= (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：不超过30的自然数有31个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，共4组.所以P(A)==，P(AB)==，所以P(B|A)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为，则事件B发生的概率为　　　　.  解析：因为P(A|B)=， 而P(AB)=，P(A|B)=， 所以P(B)===. 7.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为　　　　.  解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)==，P(AB)==，故P(B|A)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是第一组学生的概率； 解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”. 由题意，得P(A)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率. 解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”. 法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A|B).不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择.因此，P(A|B)=. 法二　P(B)==，P(AB)==， 所以P(A|B)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.袋子中装有标号为1，2，3，4，5，6，7的7个大小、颜色完全相同的小球，从中不放回地摸两次球，每次一个，求第一次摸出奇数号球，第二次摸出偶数号球的概率是多少? 解：设“第一次摸出奇数号球”为事件B，“第二次摸出偶数号球”为事件A，“第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶数号球”为事件AB， 从7个球中不放回地摸两次球，样本点总数为=7×6=42， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 事件B含有的样本点数为=4×6=24，于是P(B)==， 事件AB含有的样本点数为=4×3=12，于是P(AB)==， 由条件概率公式，得P(A|B)===， 所以第一次摸出奇数号球，第二次摸出偶数号球的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 10.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：用A表示事件“代表队中既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为P(B|A).∵n(A)=--=30，n(AB)=+=8+6=14，∴P(B|A)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知桌上放有3本语文书和3本数学书.小明现从这6本书中任意抽取3本书，事件A表示“至少抽到1本数学书”，事件B表示“抽到语文书和数学书”，则P(B|A)等于 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得n(A)=-=20-1=19，n(AB)=+=18，由条件概率的公式得P(B|A)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得P(A)=，事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”，若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有2×2+3×3 =13(个)样本点，则P(AB)==，由条件概率的定义，得P(B|A) ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为　　　　；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意知甲选到A的概率P==.记“乙选择A活动”为事件M，“乙选择B活动”为事件N，则P(M)==，P(MN)==，所以P(N|M)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在[20，70]内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段类型 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 单次购物金 额满188元 8 15 23 15 9 单次购物 金额不满 188元 2 3 5 9 11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋? 解：由题表可知，单次购物金额满188元的有8+15+23+15+9=70人， 所以单次购物金额满188元的频率为=，所以 5 000人中，单次购物金额满188元的大约有5 000×=3 500人，故需准备3 500个环保购物袋. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率. 解：记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”， 所以P(A)==，P(AB)=×=，所以P(B|A)===， 故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为. $$