6.3.2 第1课时 二项式系数的性质（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

6.3.2 二项式系数的性质 二项式系数的性质 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 理解二项式系数的性质并灵活运用；掌握“赋值法”并会灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材· 自主落实主干基础 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由____________得到.直线______将函数f(r)=的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.  = r= 2.增减性与最大值 (1)当k<时，随k的增加而______；由对称性知，当k>时，随k的增加而______. (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 增大 减小 3.各二项式系数的和 (1)+++…+=____. (2)+++…=+++…=_____. 2n 2n-1 微点助解 (1)从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的，因此=，故二项式系数有对称性. (2)二项式系数最大与n的奇偶有关系， ①n为偶数，展开式中有n+1项，最中间一项的二项式系数最大； ②n为奇数，展开式中的n+1项是偶数，最中间两项的二项式系数最大. 基点训练 1.(1-2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n= (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 解析：因为(1-2x)n展开式中，二项式系数最大的项只有第6项，根据二项式系数的性质，展开式中中间项的二项式系数最大，所以n+1=11，解得n=10. √ 2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn(n∈N*)，若a1=a5，则n的值为 (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 解析：由题知，a1=，a5=，因为a1=a5，所以=，所以n=1+5=6. √ 3.(1-x)20的展开式中，二项式系数最大的项是第 (　　) A.9项 B.10项 C.11项 D.12项 解析：由二项式定理知其展开式有21项，根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. √ 4.若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4-a3+a2-a1+a0= (　　) A.-1 B.16 C.15 D.1 解析：因为(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=(-2)4 =16. √ 课堂环节/题点研究· 迁移应用融会贯通 题型(一)　各二项式系数的和 [例1]　的展开式中所有二项式系数的和是______；展开式中所有偶数项的二项式系数的和是_____.(用数字作答)  解析：的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数的和是27=128. 256 128 [思维建模] (a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n . 针对训练 1.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数的和为(　　) A.512 B.210 C.211 D.212 解析：∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512. √ 2.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=____.  解析：由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项为x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2. 2 题型(二)　利用赋值法求解系数和问题 [例2]　已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值： (1)a0+a1+a2+…+a5； 解：令x=1，得a0+a1+a2+…+a5=1. (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|； 解：令x=-1，得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项 =(-1)r·25-r·x5-r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. (3)a1+a3+a5. 解：由a0+a1+a2+…+a5=1，-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5，得2(a1+a3+a5)=1-35，所以a1+a3+a5==-121. 变式拓展 本例条件不变，求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值. 解：因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，所以两边求导数，得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1，得5a0+4a1+3a2+2a3 +a4=10. [思维建模]　二项展开式中系数和的求法 (1)①二项式系数和为+++…+=2n，其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于2n-1. ②求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值计算可得. (2)一般地，对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)-f(-1)]，偶次项系数和为[f(1)+f(-1)]，a0=f(0). 针对训练 3.设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； 解：在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. (2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值； 解：令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，∴a1+a2+a3+…+a2 024=0. (3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值. 解：分别令x=-1，x=1，得 ②-①，得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023). ∴a1+a3+a5+…+a2 023=. 题型(三)　二项式系数的增减性与最值 [例3]　在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； 解：由二项式通项，得Tr+1=·()8-r·=(-1)r··2r·. 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=·24·=1 120x-6. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解：由二项式通项，得Tr+1=·()8-r·=(-1)r··2r·. 设第(r+1)项系数的绝对值最大，则即 整理得所以r=5或r=6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 变式拓展 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x-11=1 792x-11，系数最小的项为T6=(-1)5·25=-1 792. [思维建模] 二项式系数的最大项的求法 　　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 针对训练 4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，则展开式中的常数项为(　　) A.6 B.-6 C.- D. √ 解析：由题意可得=，所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=··=··.令=0，解得r=3，故展开式中的常数项为×=-. 5.(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为_____.  解析：由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r=8. 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 5 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 解析：展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.在(1+x)12展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 解析：因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= (　　) A.1 B.513 C.512 D.511 解析：令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2+…+(-1)nan= (　　) A.32 B.64 C.128 D.256 解析：由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+(-1)nan=256. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：的展开式的通项为Tk+1=()n-k·=·2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为Tn-1=·2n-2·x5-2n，其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4，则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11，则a1+a2+a3+…+a11的值为____.  解析：令x=1，得a0=-2.令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0. 所以a1+a2+a3+…+a11=2. 2 7.的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为________.  解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即+1=6，所以n=10，所以T4=()7·=120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 120 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若二项式(3-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为__________.  解析：令x=1，可得a=2n；令x=-1，可得b=4n，所以+=2n+.设t=2n(n∈N*)，则+=t+，t≥2.又函数y=s+在[2，+∞)上单调递增，所以ymin=2+=，即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知(2x-1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求该展开式中各项的系数之和； 解：由题可知，2n=64，解得n=6， 令x=1，得该展开式中各项的系数之和为(2-1)6=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求该展开式中所有偶数项的系数之和. 解：记(2x-1)6=a0x6+a1x5+…+a5x+a6. 由(1)知a0+a1+…+a5+a6=1， 令x=-1，可得a0-a1+…-a5+a6=(-3)6=729. 所以该展开式中所有偶数项的系数之和为=-364. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.已知(+3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； 解：令x=1，则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n， 所以22n-2n=992，解得n=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T3=()3(3x2)2=90x6， T4=()2(3x2)3=270. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求展开式中系数最大的项. 解：设展开式中第r+1项系数最大， 则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r， 所以⇒≤r≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又r∈N，所以r=4. 即展开式中第5项系数最大， T5=()(3x2)4=405. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.已知(mx-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意，令x=0，得a0=1，令x=1，得(m-1)8=a0+a1+a2+…+a8，所以a1+a2+…+a8=(m-1)8-1，由(m-1)8-1=255，解得m=3或m=-1，所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.[多选]已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025，则 (　　) A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025 B.展开式中所有奇数项系数的和为 C.展开式中所有偶数项系数的和为 D.+++…+=-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，展开式中所有项的二项式系数之和为22 025，故A正确； 对于B，令x=-1，得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025，① 令x=1，得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025，② ①+②，得32 025-1=2(a0+a2+…+a2 024)， ∴a0+a2+…+a2 024=，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于C，①-②，得32 025+1=-2(a1+a3+…+a2 025)， ∴a1+a3+…+a2 025=-，故C错误； 对于D，令x=0，得a0=1，令x=，得0=a0++++…+， ∴+++…+=-1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.已知(2x-1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=______.  解析：设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…， B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知可知，B-A=38. 255 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令x=-1， 得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n， 则B-A=(-3)n， ∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8. 由二项式系数的性质，得 +++…+=2n-=28-1=255. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. (1)求n和a的值； 解：由题意，得++=16， 即1+n+=16. 解得n=5或n=-6(舍去)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1， 所以(a-1)5=1，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)展开式中是否存在常数项?若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； 解：不存在.理由如下： 因为=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以Tk+1=(2x)5-k =(-1)k25-k. 令5-=0，解得k=∉N， 所以展开式中不存在常数项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求展开式中二项式系数最大的项. 解：由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=(-1)2·25-2x5-3=80x2， T4=(-1)3·25-3=-40. $$