6.2.2 第1课时 排列数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

6.2.2 排列数 排列数 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式. 2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材· 自主落实主干基础 1.排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 排列数公式 乘积式 =______________________ 阶乘式 =_____________ 备注 n，m∈N*，m≤n 不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 2.全排列 (1)把n个不同的元素____________的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. (2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用____表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定：0!=____. 全部取出 n! 1 微点助解 (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n-m+1. 3.排列数的计算与化简技巧 (1)n!=n(n-1)!；(2)=n；(3)n·n!=(n+1)!-n!；(4)=-. 基点训练 1.-的值是(　　) A.480 B.520 C.600 D.1 320 解析：=12×11×10=1 320，=10×9×8=720，故-=1 320-720=600. √ 2.若=，则m=(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：由=，得m(m-1)=m(m-1)·(m-2)，m≥3，解得m=3. √ 3.对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×…×n= (　　) A. B. C. D. 解析：易得4×5×…×n=. √ 4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有 (　　) A.4种 B.12种 C.18种 D.24种 解析：由题意可得不同的采访顺序有=24种. √ 课堂环节/题点研究· 迁移应用融会贯通 题型(一)　排列数的计算 [例1]　(1)计算：； 解： = ===. (2)解方程：=140. 解：因为 所以x≥3，x∈N*. 由=140得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得4x2-35x+69=0， 解得x1=3，x2=(舍去). 所以原方程的解为x=3. [思维建模] (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行. (2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积，其中n是最大的数，n-m+1是最小的数，要会根据排列数公式的特征逆用. 针对训练 1.若=12，则n=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由排列数公式可得=n(n-1)=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*，故n=4. √ 2.计算：=_______.  解析：===-=-. - 题型(二)　排列数公式的应用 [例2]　(1)化简+++…+(n≥2且n∈N*)； 解：∵=-， ∴+++…+=+++…+=1-. (2)解不等式：<6. 解：原不等式可转化为<6×，化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12.因为即3≤x≤8，且x∈N*，所以x=8. [思维建模] 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 针对训练 3.不等式3≤2+6的解集为(　　) A.{3，4，5} B.{3，4，5，6} C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6} 解析：易知x≥3，x∈N.因为=x(x-1)·(x-2)，=(x+1)x，=x(x-1)，所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}. √ 4.求证：(1)-=n2； 证明：左边=-=n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边， ∴结论成立，即-=n2. (2)-=(k≤n). 证明：当k≤n时，左边=-=- ===右边， ∴结论成立，即-=(k≤n). 题型(三)　排列数的简单应用 [例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号? 解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种；第2类，用2面旗表示的信号有种；第3类，用3面旗表示的信号有种，由分类加法计数原理知，所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15，即一共可以表示15种不同的信号. [思维建模] 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.若情况较多，可以分类后进行计算. 针对训练 5.已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 (　　) A.种　 B.种　 C.种　 D.2种 解析：司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法. √ 6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 _____种.(用数字作答)  解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法. 36 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——综合提能 1.×3!=(　　) A.30 B.60 C.90 D.120 解析：×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知=132，则n=(　　) A.11 B.12 C.13 D.14　 解析：因为=132，所以n(n-1)=132，整理得n2-n-132=0，解得n=12或n=-11(不合题意，舍去). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为 (　　) A.120 B.86 C.72 D.60 解析：依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为=60. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.[多选]下列各式，等于n!的是 (　　) A.m! B. C. D.n 解析：m!=≠n!，故A错误.==(n+1)!≠n!，故B错误.==n!，故C正确.n=n·(n-1)!=n!，故D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 (　　) A.36 B.72 C.144 D.240 解析：分步完成：甲不担任四辩，共有3种选择，又因为乙也不担任四辩，共有2种选择，从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有=12种，所以一共有3×2×12=72种. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如果=15×14×13×12×11×10，那么n=____，m=____.  解析：15×14×13×12×11×10=，故n=15，m=6. 15 6 7.-6+5=______.  解析：由-6+5=-+==5×4×3×2×1=120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 120 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 _____种不同的招聘方案.(用数字作答)  解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种). 60 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.求证：(1)+4=； 证明：+4=+===. (2)+m=. 证明：+m=+===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B). (1)该铁路的客运车票有多少种? 解：铁路的客运车票有=8×7=56(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值. 解：在新增了n个车站后，共有(n+8)个车站，因为客运车票增加了54种，则-56=54， 所以=(n+8)(n+7)=110，解得n=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.[多选]下列等式正确的是(　　) A.(n+1)= B.=(n-2)! C.= D.= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，(n+1)=(n+1)·===，故A正确；对于B，==(n-2)!，故B正确；对于C，=m!，=，显然≠，故C错误；对于D，=· ==，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 (　　) A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知，可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有个；第二类，十位数字取6，有个；第三类，十位数字取5，有个；第四类，十位数字取4，有个.所以“伞数”的个数为+++=40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：法一　画出树状图： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为=，故选B. 法二　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24(种)排法.丙不在排头，甲或乙在排尾，则丙在中间两个位置中选一个，有2种选法，甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法，余下2人全排列，有=2(种)排法，故共有2×2×2=8(种)排法，所以所求概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数. (1)若x=9，则其中能被3整除的共有_____个；  解析：因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成， 所以共有2×=12(个). 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=____.  解析：显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次， 所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··， 即(1+2+4+x)··=252， 所以7+x=14，解得x=7. 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站?现在有多少个车站? 解：由题意可知，原有车票的种数是种， 现有车票的种数是种， 所以-=62， 则(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以m(2n+m-1)=62=2×31， 因为m<2n+m-1，且n≥2，m，n∈N*， 所以解得m=2，n=15， 故原有15个车站，现有17个车站. $$