6.2.1 排列（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

6.2.1 排列 (概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.通过实例理解排列的概念； 2.能应用排列知识解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　排列的概念 逐点清(二)　画树状图列举排列 逐点清(三)　排列的简单应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　排列的概念 01 多维度理解 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照___________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素__________，且元素的__________也相同. (3)解决排列问题时，可用__________、_________列举. 一定的顺序 完全相同 排列顺序 树状图法 列表法 微点助解 (1)排列问题中的元素特征： ①无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题. ②有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列. (2)判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑： ①“取”，检验取出的m个元素是否重复； ②“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 细微点练明 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化. (　　) (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现. (　　) (3)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列. (　　) (4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. (　　) ×　 √　 ×　 √ 2.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有 (　　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.故共有2种，故选B. √ 3.判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)； 解：中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)选2个小组分别去植树和种菜； 解：植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)选2个小组去种菜； 解：不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员. 解：中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 逐点清(二)　画树状图列举排列 02 多维度理解 利用“树状图”法解决简单排列问题 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 细微点练明 1.A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有 (　　) A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 解析：所有的排法有A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种. √ 2.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有 (　　) A.9个 B.12个 C.15个 D.18个 解析：首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 √ 由此可知共有12个.故选B. 3.从甲、乙等5人中选3人排成一列，则甲不在排头的排法种数有 (　　) A.12 B.24 C.36 D.48 √ 解析：记另外3人为丙、丁、戊，则甲不在排头的排法有： (1)不选甲： (2)选甲： 所以共有48种不同的排法.故选D. 逐点清(三)　排列的简单应用 03 [典例]　(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? 解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60. (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5=125. [思维建模] (1)利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题. (2)利用树状图或计数原理求出排列总数. 针对训练 1.有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数为______.  解析：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2=120(个)分配方案. 120 2.用具体数字表示下列问题. (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； 解：从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个). (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数. 解：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.[多选]下列问题是排列问题的是 (　　) A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成点的坐标 解析：选项A、D与顺序有关，是排列问题；选项B、C只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，不是排列问题. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (　　) A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙，丙乙，丙甲 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D.甲乙，甲丙，乙丙 解析：甲、乙、丙三人中选两人站成一排有排列顺序，所以有6种站法. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.现有3名学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 (　　) A.3 B.24 C.34 D.43 解析：3名学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2=24. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“4”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为 (　　) A.6 B.9 C.12 D.24 解析：组成的四位数列举如下：2 024，2 042，2 204，2 240，2 402，2 420，4 022，4 202，4 220，共9个. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 (　　) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 解析：先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1=6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1=12(种)不同的排法. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 (　　) A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：法一　设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行. 用树状图表示，如图. 共有9种不同的分配方式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 法二　让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法.由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1=9(种)不同的分配方式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为 (　　) A.12 B.10 C.8 D.6 解析：因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人.然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1=6(种)，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为_____.  解析：由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3=60(种). 60 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有____种.  解析：从原来的4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4=20(种)添加方法. 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有_____种不同的试种方案.  解析：画出树状图，如图所示， 11 由树状图可知，共有11种不同的试种方案. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数为____.  解析：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选.满足a1>a2的树状图是 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 其次满足a3>a2的树状图是 再满足a3>a4的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，共有多少种不同的传球方式? 解：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传 乙，则不同的传球方式有其中经过5次传球后， 球仍回到甲手中的有5种，同理：若甲第一次 把球传给丙也有5种不同的传球方式，所以共 有10种传球方式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数， (1)求各位数字互不相同的三位数有多少个? 解：三位数的每位上的数字均为1，2，3，4，5，6其中之一. 第1步，得首位数字，有6种不同结果； 第2步，得十位数字，有5种不同结果； 第3步，得个位数字，有4种不同结果. 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求可以排出多少个不同的三位数? 解：三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6=216(个). $$