5.2.2 导数的四则运算法则(强基课 梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

5.2.2 导数的四则运算法则(强基课——梯度进阶式教学) 课时目标 理解和、差、积、商的求导法则,能利用导数的四则运算法则, 求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 　　设两个函数f(x),g(x)可导,则 (1)和(或差)的导数 符号表示:[f(x)±g(x)]'=_______________. (2)积的导数 符号表示:[f(x)g(x)]'=____________________. 特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]'=________. (3)商的导数 符号表示:'=(g(x)≠0). f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x) 微点助解 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). 2.结构特征 积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”. 基点训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)'=ex. (　 ) (2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). (　 ) (3)当g(x)≠0时,'=. (　 ) × √ √ 2.设y=-2exsin x,则y'等于 (　 ) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 解析:∵y=-2exsin x, ∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x). √ 3.函数y=的导数是(　 ) A.- B.-sin x C.- D.- 解析:y'='===-. √ 4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a=　　　　.  解析:∵f'(x)=3ax2+6x, ∴f'(-1)=3a-6=4, ∴a=. 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　求下列函数的导数: (1)y=+; (2)y=x3·10x; (3)y=cos x·ln x. 题型(一)　利用导数四则运算法则求导数 解:(1)y=+=2x-2+3x-3, y'=-4x-3-9x-4. (2)y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10. (3)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+. 　　[思维建模] 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为_____. 解析: ∵f(x)=, ∴f(a)=, 又∵f'(x)='=, ∴f'(a)=. 针对训练 由题意知f(a)+f'(a)=0, ∴+=0, ∴2a-1=0, ∴a=. 2.求下列函数的导数: (1)y=x5+x3; (2)y=3x+lg x; (3)y=3x2+xcos x; (4)y=; (5)y=xtan x. 解:(1)y'='='+'=x4+4x2. (2)y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+. (3)y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x. (4)y'='===. (5)因为y=xtan x=, 所以y'=' = ==. [例2]　已知f(x)=ln x+x2. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程; (2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 题型(二)　导数四则运算法则在切线问题中的应用 解:(1)∵f(x)=ln x+x2, ∴f'(x)=+x, 当x=1时, f'(1)=,f(1)=, ∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1), 即10x-8y-9=0. (2)由题意x>0,f(x)=ln x+x2, ∴f'(x)=+x≥2=1, 当且仅当=x, 即x=2时, 等号成立, ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1, ∴tan α≥1, 又0≤α<π, ∴≤α<, 即倾斜角α的取值范围为. 　　[思维建模] 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 3.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　 ) A. B. C. D. 针对训练 √ 解析:f'(x)=, 则f'(0)==3, 即该切线方程为y-1=3x, 即y=3x+1. 令x=0, 则y=1, 令y=0, 则x=-, 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 4.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为　　　　.  解析:f'(x)=4x-(x>0), 令f'(x)=4x-=1, 解得x=1, 又f(1)=2, 可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1,2), 所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100). 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%;(2)98%. 题型(三)　导数四则运算法则在实际问题中的应用 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)=' = ==. (1)因为c'(90)==52.84, 所以净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/t. (2)因为c'(98)==1 321, 所以净化到纯净度为98%时, 净化费用的瞬时变化率是1 321元/t. [思维建模] 明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫. 5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. (1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率; (2)求L'(2)并解释它的实际意义. 针对训练 解:(1)收入R=qp=q=25q-q2, 利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0<q<200). ===20.5. 所以q从1变到3时, 利润L关于产量q的平均变化率为20.5. (2)L'=-q+21,L'(2)=21-=20.5. L'(2)表示产量为2时, 产量每增加一个单位,利润增加20.5元. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1.[多选]下列求导运算错误的是(　 ) A.'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x √ √ 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时, 该质点的瞬时速度为(　 ) A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s 解析:因为s'=60-gt, 所以当t=5 s时, s'=60-5g=10 m/s.故选C. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　 ) A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x 解析:因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3), 所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]', 所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6, 所以切线方程为y=-6x. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b=(　 ) A.2 B.e C.3 D.2e 解析:根据导数的运算公式y'==, 当x=0时, y'=2-a, ∴2-a=1, 即a=1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵(0,1)在切线y=x+b上, 即b=1, ∴a+b=2.故选A. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知f(x)=ax2+ln x,且=6.若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直,则a+b=(　 ) A. B. C. D.0 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:依题意,=2×=2f'(1)=6,f'(1)=3, 则-×3=-1,a=3b. 又f(x)=ax2+ln x,f'(x)=2ax+,f'(1)=2a+1=3,a=1, 所以b=, 所以a+b=.故选A. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)=　　　　.  解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99), 可得f'(x)=2x-197, 所以f'(99)=2×99-197=1. 5 1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'= 　 .  解析:∵f(x)=f'cos x+2x, ∴f'(x)=-f'sin x+2, ∴f'=-f'sin +2, ∴f'=1. 5 1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为　　　　.  解析:由题意得,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0), 则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0, 因为切线过原点, 所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1, 解得x0=e, 所以f'(x0)=f'(e)=+1. 5 +1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.求下列函数的导数: (1)y=-ln x; (2)y=(x2+1)(x-1); (3)y=; (4)y=. 解:(1)y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-. (2)y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1. (3)y'==. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)y'= =. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程. 解:(1)由f(x)=ln x+ax2+x, 得f'(x)=+2ax+1, 又f'(1)=4, 所以1+2a+1=4, 解得a=1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 (2)由a=1, 得f(x)=ln x+x2+x, 所以f(2)=ln 2+6, 即切点为(2,ln 2+6), 又切线的斜率为k=f'(2)=, 所以函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2), 即11x-2y+2ln 2-10=0. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 B级——应用创新 11.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时, 的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在, 为此,洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母 分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:== =ex=e0=1,则=(　 ) A. B. C.1 D.2 √ 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 解析:由题意得====,故选B. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 解析:函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线, 即f'(x)=2在(0,+∞)上有解. 所以f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解, 则a=2-. 因为x>0, 所以2-<2, 所以a的取值范围是(-∞,2). 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　　.  解析:由y=ex+x得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2, 故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'=, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a), 5 ln 2 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由两曲线有公切线得y'==2, 解得x0=-, 则切点为, 切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2, 根据两切线重合, 所以a-ln 2=0, 解得a=ln 2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为　　　　m/s.  解析:设注入水后水面高度为h,水面所在圆的半径为r,=, 即r=. 因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt, 即h=4,h'(t)=4×, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以当t=1时, h'(1)=. 即水面上升的速度为 m/s. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题: (1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标; (2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6, ∴令f″(x)=6x-6=0, 得x=1. 有f(1)=1-3+2-2=-2, ∴“拐点”A为(1,-2). 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 (2)证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点, 则y0=-3+2x0-2. P(x0,y0)关于“拐点”A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0). 把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2, ∴左边=右边, ∴点P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)关于“拐点”A对称. $$