5.2.1 基本初等函数的导数(强基课 梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

5.2.1 基本初等函数的导数(强基课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1.几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=___ f(x)=x f'(x)=___ f(x)=x2 f'(x)=____ f(x)=x3 f'(x)=3x2 f(x)= f'(x)=_____ f(x)= f'(x)= 0 1 2x - 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=______ f(x)=sin x f'(x)=______ f(x)=cos x f'(x)=______ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=________(a>0,且a≠1) αxα-1 cos x -sin x ax ln a f(x)=ex f'(x)=____ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=(a>0,且a≠1) f(x)=ln x f'(x)= ex 续表 　　微点助解 　　关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 基点训练 1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 (　 ) A.- B. C.- D.0 解析:∵f(x)=cos 30°=, 因此,f'(x)=0. √ 2.若f(x)=,则f'(1)等于(　 ) A.0 B.- C.3 D. 解析:因为f(x)=, 则f'(x)=, 所以f'(1)=. √ 3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= (　 ) A.2 B.-2 C.±2 D.± 解析:依题意f'(x)=3x2, 故3=12, 解得x0=±2. √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　 求下列函数的导数: (1)y=x-3; (2)y=3x; (3)y= ; (4)y=lox; (5)y=cos; (6)y=sin; (7)y=ln x; (8)y=ex. 题型(一)　求基本初等函数的导数 解:(1)y'=-3x-4. (2)y'=3xln 3. (3)y= = =, ∴y'== . (4)y'==-. (5)y=sin x,y'=cos x. (6)y'=0. (7)y'=. (8)y'=ex. [思维建模] 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. 1.求下列函数的导数: (1)y=6x; (2)y=x2; (3)y=cos2-sin2. 解:(1)y'=(6x)'=6xln 6. (2)y'=(x2)'=()'==. (3)∵y=cos2-sin2=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 针对训练 2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值. 解:f'(x)=(logax)'=,由题得f'(2)==, 所以ln a=ln 2, 得a=2. [例2]　已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程. 解:因为y'=, 所以当x=e时, y'=, 即切线斜率为, 所以切线方程为y-1=(x-e), 即x-ey=0. 题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值. 解:设切点坐标为(x0,y0), 由题意得y'==k, 又 解得 ∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程. 解:因为点O(0,0)不在曲线上, 所以设切点为Q(a,b), 则切线斜率k=, 又因为k=, 且b=ln a, 所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围. 解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件. 另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件. 因为y=mx的图象过(0,0), 设切点为Q(a,b), 则切线斜率m=, 又因为m=, 且b=ln a, 所以a=e,b=1,m=, 即m的取值范围为(-∞,0]∪. [思维建模] 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 (　 ) A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析:y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2), 截距分别为-e2,1, 故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 针对训练 √ 4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1, 即-2=-1, ∴x0= . 代入曲线方程得y0=, ∴点P的坐标为. [例3]　 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为　　　　,质点运动的加速度为　　　　.  解析:v(t)=s'(t)=cos t, ∴v=cos =, 即质点在t=时的速度为. 题型(三)　导数公式的实际应用 ∵v(t)=cos t, ∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t. a=-sin=-. 　　[思维建模] 　　由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. 5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　mm/min.  解析:因为y=f(t)==, 所以f'(t)='=, 所以f'(4)=×=, 故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1.[多选]下列运算错误的是(　 ) A.(2x)'=2xlog2e B.()'= C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'= √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:对于A,(2x)'=2xln 2,A错误; 对于B,()'=()'==,B正确; 对于C,(sin 1)'=0,C错误; 对于D,(log3x)'=,D正确. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知函数f(x)=,则f' (-2) =(　 ) A.4 B. C.-4 D.- 解析:∵f'(x)=-, ∴f'(-2)=-=-.故选D. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= (　 ) A. B.1 C.2 D. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 解析:函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2. 由f(x)=x2, 得f'(x)=2x, 所以f'(m)=2m. 因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率, 所以2=2m, 解得m=1. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) (　 ) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 解析:因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值, 所以f(x)为常函数, 故f'(x)=0. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析:∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,), ∴3=1, 解得x0=±, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴在点和点处有斜率等于1的切线, ∴满足题意的切线有2条.故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=ln x,则=　　　　.  解析:∵f(x)=ln x, ∴f'(x)=, ∴=f'(2)=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为　　　　.  解析:设切点为(x0,), 由y=x2, 求导得y'=2x, 可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0, 由切线倾斜角为, 则斜率是1, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即2x0=1, 解得x0=, 故切点的坐标为. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c=　　　　.  解析:设切点为(x0,ln x0), 由y=ln x得y'=. 因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1. 所以y'==1, 即x0=1, 所以切点为(1,0). 所以1-0+c=0, 解得c=-1. 5 -1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解:s(t)=, 故s'(t)=, s'(8)=×=, 故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由. (1)y=ln x;(2)y=. 解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞), 则对任意的x>0,y'=>0, 所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)函数y=的定义域为{x|x≠0}, 令y'=-=-1, 解得x=±1, 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1), 则-1+b=1, 解得b=2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1), 则1+b=-1, 解得b=-2. 综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ B级——应用创新 11.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是(　 ) A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=2x 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,f'(x)=2x, 由x2=2x解得x=0或x=2, 所以f(x)存在“巧值点”; 对于B,f'(x)=(x>0), 作函数f(x)与f'(x)的图象, 由图可知f(x)存在“巧值点”; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C,f'(x)=cos x, 由sin x=cos x得tan x=1, 解得x=+kπ,k∈Z, 所以f(x)存在“巧值点”; 对于D,f'(x)=2xln 2, 因为2x>0, 所以2x=2xln 2无实数解, 所以f(x)不存在“巧值点”. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 (　 ) A.1 B. C. D.2 解析:点A(a,a)在直线y=x上, 点B(b,eb)在y=ex上. 由y=ex, 得y'=ex. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设y=ex的切线的切点为(x0,y0), 令y'=1⇒=1⇒x0=0 , 所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1, 此时切线y=x+1与直线y=x平行, 直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为　　　　.  5 e-1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=, 令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”, 则==, 解得x0=e-1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为　　　　.  解析:因为y=x2, 所以y'=2x, 令y'=2x=1, 得x=, 所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 切线方程为y-=x-, 即x-y-=0, 由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点, 且点P处的切线即为l, 很明显y0=,y'=-, 则y'=-. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-, 所以切线l方程为y-y0=-(x-x0), 即y-=-(x-x0). 当x=0时, y=; 当y=0时, x=2x0, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2. 很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关. 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 5 $$