5.1.1 变化率问题(概念课 逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 (概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,初步体会极限思想. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　平均速度 逐点清(二)　瞬时速度 逐点清(三)　抛物线在某点处的割线、 切线斜率 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　平均速度 01 多维度理解 定义 我们把位移s看成关于时间t的函数s=s(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均速度=_______________ 物理意义 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的______ 快慢 　　微点助解 　　把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=. 细微点练明 √ 1.某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为(　 ) A.5 m/s B.6 m/s C.8 m/s D.10 m/s 解析:当t=2时, 位移为×22+2×2=6, 当t=4时, 位移为×42+2×4=16, 所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5 m/s. √ 2.一质点按运动方程s(t)=作直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为(　 ) A.-1 B.- C.- D.- 解析:从t1=1到t2=2的平均速度为=-=-. 3.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是(　 ) A. B. C. D. √ 解析:设路程y与时间t的函数关系为y=f(t), 则=, 即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,由图可知,k3最小,即最小. 4.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度; (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义. 解:(1)物体在区间上的平均速度为===, 物体在区间上的平均速度为===. (2)由(1)可知-=>0, 所以<. 作出函数s(t)=sin t在上的图象, 如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢. 逐点清(二)　瞬时速度 02 多维度理解 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度. (2)从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. (3)设物体运动的位移与时间的函数关系为s=s(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为v=________________________. 某一时刻 微点助解 (1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即|Δt|要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δt始终不能为零. (2)当Δt→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在t=t0时的瞬时速度. (3)“lim”意为极限,=l表示当Δt→0时,以常数l为极限. 细微点练明 √ 1.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则=(　 ) A. B. C. D. 解析:根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1===7. 在t=3时的瞬时速度为 v2= =(8+Δt)=8. 所以=. 2.物体位移s和时间t满足函数关系s=100t-5t2(0<t<20),则当t=2时, 物体的瞬时速度为　　　　.  解析:因为==100-10t-5Δt. 所以该物体在t=2时的瞬时速度为=(100-10t-5Δt)=80. 80 3.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5× 105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 解:枪弹在枪筒中的运动方程为s=at2, 因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2, 所以=at0+aΔt, 所以=at0. 由题意知,a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s, 所以at0=8×102=800(m/s), 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 逐点清(三)　抛物线在某点处 的割线、切线斜率 03 1.曲线的切线 设P0是曲线上的一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. 2.曲线切线的斜率 设P0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一点,则曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率k0=______________________ . 3.切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. [典例]　求抛物线f(x)=x2-x在点(2,2)处的切线方程. 解:因为 ==3+Δx. 所以切线的斜率k==(3+Δx)=3. 则切线方程为y-2=3(x-2), 即3x-y-4=0. 　　[变式拓展] 　求抛物线f(x)=x2-x在x=1处切线的倾斜角. 解:因为==Δx+1, 所以切线斜率k=(Δx+1)=1. 故抛物线在x=1处切线的倾斜角为45°. 　　[思维建模] 　　解答此类问题,一般是根据曲线的割线与切线的关系,先求出割线的斜率,再令Δx→0,求得曲线在该点处的切线的斜率. 针对训练 1.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的切线斜率为-8,则点M的坐标为　　　　.  解析:由题意知=(4x0+2Δx)=4x0=-8, 则x0=-2, 故点M的坐标为(-2,9). (-2,9) 2.求曲线y=在点A处的切线的斜率,并写出切线方程. 解:设y=f(x)=, ∵Δy=f-f=-2=, ∴=, ∴切线的斜率k==-4, ∴切线方程为y-2=-4, 即4x+y-4=0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.已知某质点运动的方程是s=2+,当t由1变到2时,其位移的增量Δs等于 (　 ) A. B.- C.1 D.-1 解析:Δs=-(2+1)=-. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为(　 ) A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 解析:令y=f(x)=3x-x2. ∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11, ∴==-1.1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时, 无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是(　 ) A.物体在0~1 s这一段时间内的速度 B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度 C.物体在1 s这一时刻的速度 D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,其极限值即=9.8 m/s,表示在t=1 s这一时刻的瞬时速度. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 (　 ) A.3 m/s B.6 m/s C.12 m/s D.16 m/s 解析:因为Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27= -(Δt)2+3Δt, 所以==-Δt+3, 所以=3. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 (　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1, 因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s, 所以===18+m=20 m/s, 解得m=2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 (　 ) A.4 B.16 C.8 D.2 解析:k==8. √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 (　 ) √ 5 A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5 解析:在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A、B错误; 在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为, 因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0, 所以>, 则在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 (　 ) A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时 D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s √ 5 √ √ 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5 解析对于A,==(3+Δt)=3, 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误; 对于B,==(1+Δt)=1, 即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确; 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5 对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s, 则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9, 所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确; 对于D,==2(m/s),D正确. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知一列火车在启动后做匀加速直线运动,火车行驶的距离s(单位:km)与经过的时间t(单位:s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)=(1.5t-1),则火车在1≤t≤2这段时间中的平均速度是　　　　km/s.  解析:在1≤t≤2这段时间,火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)=0.075(km), 火车在这段时间中的平均速度==0.075(km/s). 5 0.075 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s): s(t)=则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为　 　　,　　　　.  5 6 m/s 0 m/s 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5 解析:∵物体在t=1附近的平均速度为=== 6+3Δt, ∴当Δt趋近于0时,趋近于6, ∴物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s. ∵物体在t=3附近的平均速度为==3Δt, ∴当Δt趋近于0时,趋近于0, ∴物体在t=3时的瞬时速度为0 m/s. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.若抛物线f(x)=4x2在点(x0,f(x0))处切线的斜率为8,则x0=　　　　.  解析:k= = (4Δx+8x0)=8x0=8, 解得x0=1. 5 1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为　　　　,在点(2,-2)处的切线斜率为　　　.  解析:割线的斜率k====2=. ====1,故切线斜率为1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s) s=f(t)= 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度v0; (3)物体在t=1时的瞬时速度. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴===24(m/s), ∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵ = =3Δt-18, ∴物体的初速度v0= (3Δt-18)=-18(m/s). 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)∵ = =3Δt-12, ∴物体在t=1时的瞬时速度为 (3Δt-12)=-12(m/s). 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.曲线f(x)=x2上哪一点处的切线满足下列条件? (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)倾斜角为135°. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:设P(x0,y0)是满足条件的点,曲线f(x)=x2在点P(x0,y0)处切线的斜率为 k== (2x0+Δx)=2x0. (1)∵切线与直线y=4x-5平行, ∴2x0=4, 得x0=2,y0=4, 即P(2,4)是满足条件的点. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直, ∴2x0×=-1, 得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)∵切线的倾斜角为135°, ∴其斜率为-1, 即2x0=-1, 得x0=-,y0=, 即P是满足条件的点. 5 $$