4.3.1 第2课时 等比数列的性质及判定(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

等比数列的性质及判定 (深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1.掌握等比数列的判定及证明方法;灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 等比数列项的设法与求解 题型(二)　等比数列的性质 题型(三)　等比数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 题型(一) 等比数列项的设法与求解 01 [例1]　有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与 第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数. 解:法一　设前三个数分别为,a,aq(q≠0), 则第四个数为2aq-a. 由题意得 解得q=2或q=. 当q=2时, a=6,这四个数为3,6,12,18; 当q=时, a=,这四个数为,,,. 法二　设后三个数分别为a-d,a,a+d, 则第一个数为, 所以这四个数为,a-d,a,a+d. 由题意得 解得或 故这四个数为3,6,12,18或,,,. 　　[思维建模] 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq. (2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,,aq,aq3;若四个数成公比为负数的等比数列,可设为,-, aq,-aq3. 针对训练 1.已知四个数前三个成等差数列,后三个成等比数列,中间两数之积为16,首尾两数之积为-128,求这四个数. 解:设四个数为-a,,a,aq, 则由题意得 解得或 因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32. 题型(二)　等比数列的性质 02 1.等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系) an=________ (揭示任意两项之间的关系) amqn-m 2.等比数列项的运算性质 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=_____. (1)当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=. (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…. ap·aq 微点助解 　　等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列,则: ①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列; ②{|an|}是公比为|q|的等比数列; ③{}(m为常数,n∈N*)是公比为qm的等比数列. (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. [例2]　已知{an}为等比数列, (1)若a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解:(1)等比数列{an}中, ∵a2a4=, ∴=a1a5=a2a4=, ∴a1a5=. (2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25, 即(a3+a5)2=25, ∵an>0, ∴a3+a5=5. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值. 解:∵数列{an}为等比数列, ∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列, ∴a25+a26===12. 2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. 解:法一　因为数列{an}是等比数列, 所以a5a6a7==-27, 所以a6=-3, 所以a2=<0, 所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27, 当且仅当-3a2=-, 即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列, 所以a5a6a7==-27, 所以a6=-3, 所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27, 当且仅当a4=a8=-3时取等号. 　　[思维建模] 等比数列的运算常用的两条思路 (1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他; (2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*)⇔am·an=ak·al=. 针对训练 2.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (　 ) A.6 B.9 C.±6 D.±9 解析:因为a5a7a9a11= =36, 所以=6(负值舍去), 所以a2a14==6.故选A. √ 3.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为(　 ) A.20 B.10 C.5 D. 解析:在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2. 所以+++=+===10.故选B. √ 题型(三)　等比数列的判定与证明 03 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数). (1)当k=2时,求a2,a3的值; (2)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. 解:(1)由题意可得,a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9. (2)当n≥2时, an=kSn-1+1. 由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an. 当k=-1时, {an}不是等比数列; 当k≠-1时, 可得=k+1(n≥2), 当n=1时, a1=1,a2=k+1, 所以=k+1, 故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列. 综上,当k=-1时,{an}不是等比数列; 当k≠-1时,{an}是等比数列. 　　[思维建模]　判断数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或= q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列. 针对训练 4.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 解:(1)由条件可得an+1=an. 将n=1代入得, a2=4a1, 而a1=1, 所以a2=4. 将n=2代入得, a3=3a2, 所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下: 由条件可得=, 即bn+1=2bn, 又b1=1, 所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1, 所以an=n·2n-1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于(　 ) A. B. C. D. 解析:∵a2a6==a3a5, ∴a3a5=. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为 (　 ) A.{|an|} B.{an-} C. D.{kan} √ √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:当数列{an}为1,1,1,1,…时, 数列{an-an+1}不是等比数列; 当k=0时, 数列{kan}不是等比数列, 而{|an|}和一定是等比数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a7=3,a2a8=27,则a4a5= (　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:由等比数列{an}, 得a1a7=,a2a8=, 有=a1a7a2a8=3×27=81, 又因为各项均为正数, 所以a4a5=9.故选C. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为 (　 ) A.32 B.64 C.128 D.256 解析:设等比数列{an}的公比为q, 由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列, 且=2=q6, 故a36=a18q18=8×23=64. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则 (　 ) A.a5=4 B.当a1=1时,q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 √ √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,a1a5a9==64, 即a5=4,故A正确; 当a1=1时, a5=a1q4=4, 所以q=±,故B正确; 因为a1a9==16, 所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由+≥2a1a9=32, 当且仅当a1=a9=4时, 等号成立,故D正确.故选ABD. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则= 　　　　.  解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536. 1 536 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为　　　　.  解析:因为==a6, 又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32, 所以a6=2, 故=a6=2. 2 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在正项等比数列{an}中,a1=,a2·a4=9,记数列{an}的前n项的积为Tn,若Tn∈(1,1 000),请写出一个满足条件的n的值为　　 　　.  解析:因为{an}为正项等比数列且a2·a4==9, 所以a3=3. 又因为a1=, 所以q2==9. 又q>0, 4(答案不唯一) 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以q=3. 则an=×3n-1=3n-2, Tn=a1a2…an=3-1×30×…×3n-2=, 因为Tn∈(1,1 000), 所以当n=4时满足要求. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式. 解:∵a1a5=,a3a7=, ∴由题意,得-2a3a5+=36, 同理得+2a3a5+=100, ∴ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵an>0, ∴ 解得或 分别解得或 ∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*. (1)求证:是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:(1)证明:由已知,得an+1-=an-=, 即=, 因为a1=, 所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列, 所以an-=×, 所以an=×+. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ B级——应用创新 11.若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{log2an}是(　 ) A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为数列{an}是公比为4的等比数列, 且a1=2, 所以an=2×4n-1=22n-1,log2an=log222n-1=2n-1, 所以数列{log2an}是公差为2的等差数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 (　 ) A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 √ √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8, 所以a1+a6+a11=3a6=3π, 即a6=π,b1b5b9==8, 即b5=2. 对于A,S11==11a6=11π,故A正确; 对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4, 所以sin=sin=1,故B错误; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C,设等差数列{an}的公差为d, 则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确; 对于D,由b5=2, 得b3>0,b7>0, 故b3+b7≥2=2=4, 当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8=　　　　.  解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”, 则-=0, 可得=, 所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列, 32 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若正项数列为“梦想数列”, 则=, 所以=2, 即正项数列{bn}是公比为2的等比数列, 因为b1+b2+b3=1, 因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数. 解:法一　依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4q4, 解得q=±. 当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=; 当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为等比数列共有5项, 即a1,a2,a3,a4,a5. 又因为2×3=1+5, 所以=a1a5=4×=1, 即a3=±1. 又因为a3要与a1同号, 因此a3=1. 类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因此,当a2===2时, a4===; 当a2=-=-=-2时, a4=-=-=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数. (1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列; (2)试判断{bn}是否为等比数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:(1)证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ, ∴a2=λ-3,a3=λ-4. 假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3,即= λ, 即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)∵bn=(-1)n(an-3n+21), ∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1= -(-1)n(an-3n+21)=-bn. ∵b1=-(λ+18), ∴当λ=-18时,b1=0, 此时数列{bn}不是等比数列; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当λ≠-18时,b1≠0, 此时=-(n∈N*), 数列{bn}是等比数列. 综上,当λ=-18时, {bn}不是等比数列; 当λ≠-18时,{bn}是等比数列. 5 $$