4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和(强基课 梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

数列的递推公式与前n项和 (强基课 梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 3.理解数列的前n项和,会由数列的前n项和公式求数列的通项公式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1.数列的递推公式 如果一个数列的__________或______之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 相邻两项 多项 微点助解 (1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值. (2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项, ②递推关系,这两个条件缺一不可. 2.数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=______________. (2)数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与__________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)an与Sn的关系:_________________________. a1+a2+…+an 它的序号n an= 微点助解 (1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4. (2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项. 基点训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法. (　 ) (2)所有数列都有递推公式. (　 ) (3)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列.(　 ) √ × × 2.在数列{an}中,a1=-1,=an-3,则a3等于(　 ) A.-7 B.-4 C.-1 D.2 解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7. √ 3.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.6 解析:∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 且S2=3, ∴S1=0,S3=8, ∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5. √ 4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则an=　　　　.  解析:当n=1时, a1=S1=-2; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-4n+2. 显然n=1时符合, 故an=-4n+2. -4n+2 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. 题型(一)　数列的递推公式及应用 (2)∵bn=, 且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, ∴b1==,b2==,b3==,b4==. 故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=. [思维建模] 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项. 解:∵a1=1,an+1=, ∴a2==,a3===, a4===,a5===. 故该数列的前5项为1,,,,. 针对训练 方法1　累加法求通项公式 [例2]　在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(　 ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 题型(二)　由递推公式求数列的通项公式 √ 解析:法一:归纳法　由题意得数列的前5项分别为a1=2,a2=2+ln= 2+ln 2,a3=(2+ln 2)+ln=2+ln 3,a4=(2+ln 3)+ln=2+ln 4,a5= (2+ln 4)+ln=2+ln 5,…,由此猜想数列的一个通项公式为an=2+ln n.经检验符合题意. 法二:迭代法　由题意得an=an-1+ln=an-1+ln (n≥2), 则an=an-1+ln=an-2+ln+ln=…=a1+ln+ln+ln+…+ln= a1+ln=2+ln n(n≥2). 又a1=2=2+ln 1,符合上式, 所以an=2+ln n. 法三:累加法　由题意得an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-ln n, 因此,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3, …, an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2), 以上各式两边分别相加, 得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln n-ln(n-1)](n≥2). 所以an=2+ln n(n≥2). 因为a1=2也适合上式, 所以an=2+ln n. [思维建模] 累加法求数列通项公式 　　形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式. 方法2　累乘法求通项公式 [例3]　设数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求通项公式. 解:∵a1=1,an=an-1(n≥2), ∴=,an=···…···a1=···…···1=. 又a1=1也符合上式, ∴an=. [思维建模] 累乘法求数列通项公式 形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·= an(n≥2,n∈N*)求通项公式.以上方法叫做累乘法. 2.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则a2 020的值为(　 ) A. B. C. D. 解析:∵an+1=an, 即=, ∴an=···…···a1=···…···2=, ∴a2 020==. 针对训练 √ 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an=　　　　.  解析:由题意得,an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2, 又a1=1适合上式, ∴an=2n-1,n∈N*. 2n-1 4.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2n-1,n∈N*,求数列{an}的通项公式. 解:因为an+1-an=2n-1,n∈N*, 所以当n>1, n∈N*时, 有an-an-1=2n-3, 因此有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1, 即an=(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+…+1+1=+1=n2-2n+2, 当n=1时, 适合上式, 所以an=n2-2n+2,n∈N*. [例4]　设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an. 解:因为Sn=2n2-30n, 所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28, 当n≥2时, an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时上式成立, 所以an=4n-32,n∈N*. 题型(三)　数列的前n项和公式及应用 [变式拓展] 将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”,其他条件不变,求an. 解:因为Sn=2n2-30n+1, 所以当n=1时, a1=S1=2×12-30×1+1=-27, 当n≥2时, an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时不符合上式. 所以an= [思维建模] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则下列说法正确的是 (　 ) A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) 解析:因为Sn=2n+1-1, 所以当n=1时, a1=S1=21+1-1=3; 当n≥2时, 针对训练 √ √ an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n. 当n=1时, 不符合上式, 故an= 6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4<ak<7,则k=　　　　.  解析:a1=S1=-7, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9, 由4<ak<7得4<2k-9<7, 得<k<8, 因为k为正整数, 所以k=7. 7 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3=(　 ) A. B. C. D. 解析:因为a1=2, 所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2,则a5= (　 ) A.16 B.18 C.20 D.25 解析:依题意,a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则a6=(　 ) A.1 B.5 C.7 D.9 解析:因为Sn为数列{an}的前n项和, 且Sn= 则a6=S6-S5=(5×6-4)-52=1.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是(　 ) A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析法一　由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…, ∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024=(　 ) A.-1 B. C.2 D.1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…, 故{an}为周期数列, 周期为3, 故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知数列{an}的通项公式为an=k∈N*,则a1·a2= 　　　　.  解析:由题意知,当n为奇数时, an=2n; 当n为偶数时, an=2n+1, 所以a1·a2=(2×1)×(2×2+1)=10. 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an=　　　.  解析:当n≥2时, 有Sn=nan,Sn-1=(n-1)an-1, 两式作差可得,Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, 整理可得an=an-1. 又a1=1, 所以an=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024=　　　　.  解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*), 所以(n+1)an=nan+1, 所以=, 所以是常数列, 又==, 所以a2 024=2 025. 2 025 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知数列{an}的前n项和Sn=-(n∈N*).求数列{an}的通项公式. 解:因为Sn=-(n∈N*), 当n=1时, a1=S1=-=4, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-===4n, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为a1=4也满足an=4n. 综上,an=4n(n∈N*). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0. (1)写出数列的前5项; (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式; (3)实数是否为这个数列中的一项?若是,应为第几项? 解:(1)由已知可得a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…, 所以它的一个通项公式为an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)令=, 解得n=50, 故是这个数列的第50项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10=(　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵an+1=, 则==+n, ∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+ 3+…+9=45, ∴a10=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店饮半斗.注:古代一斗是10升.大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出),再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则,若李白酒壶中原来有酒6升,则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 (　 ) A.37升 B.21升 C.26升 D.32升 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an}, 则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5, 即an+1=2an-5, ∵a1=6×2-5=7, ∴a2=2a1-5=2×7-5=9,a3=2a2-5=2×9-5=13,a4=2a3-5=2×13-5=21, a5=2a4-5=2×21-5=37. 故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an=　 　　　.  解析:当n=1时, a1=1; 当n≥2时, 由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 两式作商可得an=, 又a1=12不符合上式, 所以an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),则a6=　　　　.  解析:因为a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*), 所以当n=2时, S2-a2=0, 即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0, 所以a2=2, 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当n≥3时, Sn-1-an-1=0, 由 可得an=-an-1, 所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的最大项. 解:(1)Sn=2n+3中, 令n=1得a1=2+3=5, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 其中21-1=1≠5, 故an= (2)当n=1时, b1==, 当n≥2时, bn=>0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则=·==, 当n=2时, =>1, 当n≥3时, +1≤,≤×<1, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故<1, 故n≥2时, {bn}的最大项为b3=, 又b3>b1, 故数列{bn}的最大项为b3=. $$