4.1 第1课时 数列的概念与表示(概念课 逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

第四章 数 列 4.1 数列的概念 数列的概念与表示 (概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　数列的概念与分类 逐点清(二) 空间向量的加减运算 逐点清(三) 空间向量的数乘运算 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　数列的概念与分类 01 多维度理解 1.数列的概念 (1)一般地,我们把按照____________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的____.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第____项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第____项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用____表示.其中第1项也叫做______. (2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为_____. 确定的顺序 项 1 2 an 首项 {an} 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起,有些项______它的前一项,有些项______它的前一项 有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于 微点助解 (1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项. (2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. 细微点练明 1.下列各项表示数列的是 (　 ) A.a,b,c,…,x,y,z B.2 019,2 020,2 021,…,2 025 C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,2a 解析:数列必须由数组成,A、C、D中均不是数. √ √ 2.下列有关数列的说法正确的是 (　 ) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列 C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8} D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析:常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确; 数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确; {2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确; 根据数列的定义知,数列中的每一项与它 的序号是有关的,所以D正确.故选D. 3.已知下列数列: ①2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024;②1,,,…,,…; ③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有穷数列是　　　,无穷数列是　　 　,递增数列是　　　,递减数列是　　　,常数列是　　　,摆动数列是　　　.(填序号)  ①⑥　 ②③④⑤　 ③④ ①⑤ ② ⑥ 逐点清(二)　数列的通项公式 02 多维度理解 　　如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 序号n 微点助解 (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项. (2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等. (4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. 细微点练明 1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次 为(　 ) A.1,0,1, B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 解析:当n分别等于1,2,3,4时, a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. √ 2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 (　 ) A.380 B.392 C.321 D.232 解析:n=19时, n(n+1)=380. √ √ 3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 (　 ) A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析:因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3, 因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1). 由37(n-1)=398 解得n=15, 所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　.  解析:由an=2 021-3n>0, 解得n<=673+, 因为n∈N*, 所以正整数n的最大值为673. 673 5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1)a,b,a,b,…; (2),,,,…; (3)1,-3,5,-7,9,…; (4)-,,-,,…; (5),2,,8,,…; (6)-3,33,-333,3 333,…. 解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b, 因此通项公式可用分段形式来表示,记为an= 也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N*. (2)这个数列的前4项为,,,, 其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1, 故an=,n∈N*. (3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…, 是连续的奇数, 且奇数项为正, 偶数项为负, 故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*. (4)这个数列的前4项为-,,-,, 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数, 且奇数项为负, 偶数项为正, 故an=,n∈N*. (5)数列的项有的是分数, 有的是整数, 可将各项都统一成分数再观察, 该数列为,,,,,…, 其分母都是2, 分子都是序号的平方, 故an=,n∈N*. (6)因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),-333=(-1)3××(1 000-1), 所以an=,n∈N*. 逐点清(三)　数列的函数特性 03 [典例]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 解:法一　an+1-an=(n+2)-(n+1)·=, 当n<9时, an+1-an>0, 即an+1>an; 当n=9时, an+1-an=0, 即an+1=an; 当n>9时, an+1-an<0, 即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10, 且a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项, 为第9项和第10项, 且a9=a10=10×. 法二　根据题意,令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*, 则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. [变式拓展] 若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解. 解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,…. ∵当n≥3时, =×==<1, ∴an+1<an, 即n≥3时, {an}是递减数列. 又∵a1<a2<a3, ∴an≤a3=. ∴当n=3时, a3=为这个数列的最大项. [思维建模] 数列单调性的判断方法和应用思路 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法. (2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系: 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*); 数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*). 转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围. 针对训练 已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是 　　　.  解析:法一　由数列{an}为递增数列, 则an+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成立, 即t>-(2n+1)恒成立. 而n∈N*, 所以t>-3, 故t的取值范围是(-3,+∞). (-3,+∞) 法二　an=n2+tn=-, 由于n∈N*, 且数列{an}为递增数列, 结合二次函数的图象可得-<, 解得t>-3, 故t的取值范围是(-3,+∞). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.下列说法正确的是 (　 ) A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列 C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:对A,{1,3,5,7}表示集合, 不是数列; 对B,两个数列中包含的数虽然相同, 但排列顺序不同, 不是相同的数列; 对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么 (　 ) A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:分别令2n2-n的值为30,45,66,90, 可知只有当2n2-n=45时, n=5或n=-(舍去); 当2n2-n=66时, n=6或n=-(舍去), 故45,66是数列{an}的一项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是 (　 ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0, ∴an+1>an, 即{an}是递增数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于(　 ) A.70 B.28 C.20 D.8 解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10, 所以a2a3=20. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.数列1,,,,…的第8项是(　 ) A. B. C. D. 解析:观察1,,,,…可看为,,,,…,分母是2n-1,分子为n2,故第8项为,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 (　 ) A.an= B.an=2n-1 C.an=2n2-5n D.an=2n-1 解析:对于A,a1=2,a2=1, 故不是递增数列,A不符合; 对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0, 故是递增数列,B符合; √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0, 故为递增数列,C符合; 对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0, 故为递增数列,D符合.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 (　 ) A.107 B.108 C.108 D.109 解析:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+, 当n=7时, an最大且等于108. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 (　 ) A.648 B.722 C.800 D.882 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…, 可得偶数项的通项公式为a2n=2n2. 则此数列第40项为2×202=800. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 (　 ) A.an=sin B.an=|n-3|-1 C.an= D.an=(n-3)2-1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:an=sin时, a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0,a5=sin=1,满足题意,故A正确; an=|n-3|-1时, a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 an=时, a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确; an=(n-3)2-1时, a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第　　　项.  解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=. 令3n-2=22, 则n=8. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为　　 　.  解析:1,1,2,3,5,8,13,…, 则从第三项起,每一项均为前2项的数字之和, 13+21=34, 21+34=55, 故该数列的第10项为55. 55 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是 第　　　　项.  解析:an==, 当n≥6且n∈N*时, an>0,且单调递减; 当n≤5且n∈N*时, an<0,且单调递减. ∴当n=6时,an最大. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)=　　　　;若bn=,则bn的最大值为　　　　.  4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题设φ(2)=1, 则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数, 故φ(8)=4. 在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n-1个, 即φ(2n)=2n-1, 所以bn==, 则bn+1-bn=-=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当n≤2时 bn+1-bn>0, 当n≥3时 bn+1-bn<0, 即b1<b2<b3>b4>b5>…, 所以bn的最大值为b3==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题: (1)这个数列共有几项为负? (2)这个数列从第几项开始递增? (3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由. 解:(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0, 解得1≤n<10,n∈N*, 所以数列{an}前9项为负数, 即共有9项为负数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7, 当an+1-an=2n-7>0,n>,n∈N*, 即从第4项开始数列{an}开始递增. (3)an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知, 当n=4时, an取得最小值-36, 即数列中有最小值, 最小值为-36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 解:an+1-an=-=, 当1≤n≤3时, an+1-an>0, 即a1<a2<a3<a4, 当n=4时, an+1-an=0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即a5=a4, 当n≥5时, an+1-an<0, 即a5>a6>a7>…, 所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时单调递增, 在n≥5(n∈N*)时单调递减, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=, 又a1<a2<0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当n≥3(n∈N*)时, an=≥0, 所以数列{an}的最小项为a1=-1. $$