专题01 指数重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题01 指数重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 指数与指数幂的运算 题型二 根式的化简求值 题型三 指数幂的运算 题型四 分数指数幂与根式的互化 题型五 指数幂的化简、求值 题型六 指数式的给条件求值问题 题型七 指数幂等式及幂的方程问题 题型八 指数幂等式的证明 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 知识点2　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点3　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 指数与指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 3．（23-24高一下·全国·单元测试）计算：． 【经典例题二 根式的化简求值】 【例2】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高一下·全国·课前预习）根式的性质 （1） （2）当n为奇数时， ；当n为偶数时， . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题三 指数幂的运算】 【例3】（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2). 【经典例题四 分数指数幂与根式的互化】 【例4】（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）等于（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·北京大兴·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）根式的定义 (1)的次方根的定义:一般地，如果，那么叫作的次方根，其中，且. (2)的次方根的表示： ①当是奇数时，的次方根表示为 . ②当是偶数时，的次方根表示为 ，其中表示的 ，. (3)根式:式子叫作根式，这里叫作根指数，叫作被开方数. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 【经典例题五 指数幂的化简、求值】 【例5】（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习） . 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【经典例题六 指数式的给条件求值问题】 【例6】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. 求的值( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1.（23-24高一上·四川乐山·期中）若，求的值（ ） A．24 B．32 C．47 D．52 2. （23-24高一上·全国·课后作业）若，则= 3.（23-24高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 【经典例题七 指数幂等式及幂的方程问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一·江苏·课后作业）方程的解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. （23-24高一上·浙江台州·开学考试）若，，且满足，，则的值为 3.（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是 【经典例题八 指数幂等式的证明】 【例8】（2024高一·全国·专题练习）已知且，，求( ) A. B ． C．2n D．3m 1.（2024高一·全国·专题练习）已知，求3k2+2的值( ) A.m B C．2k D．3 2. （23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算= 3.（23-24高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）化简（a＜0）的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·全国·期中）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课前预习）a的n次方根的定义 若一个（实）数x的n次方（，）等于a，即 ，则称x是a的n次方根． 12．（23-24高一下·全国·课前预习）实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 14．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 15．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 18．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 19．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 指数与指数幂的运算 题型二 根式的化简求值 题型三 指数幂的运算 题型四 分数指数幂与根式的互化 题型五 指数幂的化简、求值 题型六 指数式的给条件求值问题 题型七 指数幂等式及幂的方程问题 题型八 指数幂等式的证明 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 知识点2　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点3　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 指数与指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 1．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】12 【分析】根据指数幂的运算，即可得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：12 3．（23-24高一下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可得解. 【详解】原式 ． 【经典例题二 根式的化简求值】 【例2】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式和指数幂的运算求解, 【详解】解：， 故选：A 1．（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 2．（23-24高一下·全国·课前预习）根式的性质 （1） （2）当n为奇数时， ；当n为偶数时， . 【答案】 a a 【分析】略 【详解】略 3．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 【经典例题三 指数幂的运算】 【例3】（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将集合化简，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】, 又 所以 故选：C 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的性质计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 2．（23-24高一下·全国·课前预习）实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 【答案】 / / / 【分析】略 【详解】答案为：，， 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)8 【分析】根据有理数幂的运算性质计算即可. 【详解】（1）. （2）. 【经典例题四 分数指数幂与根式的互化】 【例4】（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由根式化为指数，再结合指数幂的运算性质可求出答案. 【详解】由题意，可知， ∴·. 故选：A. 1．（21-22高一上·北京大兴·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可求解. 【详解】解：因为，所以， 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）根式的定义 (1)的次方根的定义:一般地，如果，那么叫作的次方根，其中，且. (2)的次方根的表示： ①当是奇数时，的次方根表示为 . ②当是偶数时，的次方根表示为 ，其中表示的 ，. (3)根式:式子叫作根式，这里叫作根指数，叫作被开方数. 【答案】 负的次方根 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用分数指数幂与根式的互化公式及有理数指数幂的运算性质求解. 【详解】（1）（） ； （2）（） . 【经典例题五 指数幂的化简、求值】 【例5】（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，当时成立，故D错误； 故选：C. 1．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，确定定义域为，则可得，利用指数与分式运算法则对变形即可确定与的关系. 【详解】解：已知函数，其中 所以则有. 故选：A. 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据幂的运算化简求值. 【详解】原式. 故答案为： 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【经典例题六 指数式的给条件求值问题】 【例6】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. 求的值( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将两边平方得. 【详解】将两边平方得， 所以. 故选C 1.（23-24高一上·四川乐山·期中）若，求的值（ ） A．24 B．32 C．47 D．52 【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算即可. 【详解】由，得，即， 则有，得，即， 所以． 故选C 2. （23-24高一上·全国·课后作业）若，则= 【答案】 【分析】由，结合隐含的条件即可求解. 【详解】，由题意知，所以. 3.（23-24高一上·浙江·课后作业）（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 【答案】（1） （2）8 【分析】（1）由已知得，结合指数运算法则化简； （2）令，，结合因式分解可得，，则，结合已知即可求值. 【详解】（1）由，得， ∴. （2）令，，则 ，， ， . ∴. 【经典例题七 指数幂等式及幂的方程问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 1.（23-24高一·江苏·课后作业）方程的解为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，转化为求一元二次方程的正实数根，先求出的值，进而得出方程的解． 【详解】设，即转化为求方程的正实数根由得或 (舍)所以，则 故选：B. 2. （23-24高一上·浙江台州·开学考试）若，，且满足，，则的值为 【答案】 【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值. 【详解】由，，得，即，解得， 把代入，得，即，两边平方得，由得， 则. 3.（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是 【答案】 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 【经典例题八 指数幂等式的证明】 【例8】（2024高一·全国·专题练习）已知且，，求( ) A. B ． C．2n D．3m 【答案】A 【分析】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【详解】∵且，， ∴，∴， ∴．∴． 故选：A 1.（2024高一·全国·专题练习）已知，求3k2+2的值( ) A.m B C．2k D．3 【答案】B 【分析】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【详解】∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 故选：B 2. （23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算= 【答案】41 【分析】由指数幂的运算规则化简计算 【详解】； 3.（23-24高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【分析】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【详解】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 2．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 3．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】， 故选：． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）化简（a＜0）的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用指数幂性质公式化简即可. 【详解】. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案； 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 7．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案. 【详解】因为，又， 所以， 故， 又， 所以或， 故选：BD 8．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 10．（22-23高一上·全国·期中）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11．（25-26高一上·全国·课前预习）a的n次方根的定义 若一个（实）数x的n次方（，）等于a，即 ，则称x是a的n次方根． 【答案】 【分析】略 【详解】略 12．（23-24高一下·全国·课前预习）实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 【答案】 【分析】略 【详解】略 13．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 【答案】1 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：1 14．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1或 【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以， 则或. 故答案为：1或. 15．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【答案】 【分析】利用5次方根的定义求解即可. 【详解】的5次方根为 . 18．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用根式计算即可得出结果； （2）利用分数指数幂以及绝对值和三角函数值计算可得结果. 【详解】（1）易知， 所以 （2）显然， 所以. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂与根式的互化公式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 20．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【答案】（1）2；（2）①；②7；③ 【分析】（1）直接利用根式和指数运算即可； （2）①②③根据完全平方式直接的转化即可. 【详解】（1）. （2）①因为，所以， 又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$