2.3 第2课时 距离公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

距离公式 (概念课—逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题． 2．经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程．掌握点到直线的距离公式． 3．理解两条平行线间距离公式的推导．会求两条平行直线的距离． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两点间的距离公式 逐点清(二) 点到直线的距离公式 逐点清(三)　两条平行直线间的 距离公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　两点间的距离公式 01 多维度理解 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b. (　 ) (2)点P1(a,0)，点P2(b,0)之间的距离为a－b. (　 ) (3)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|. (　 ) (4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用． (　 ) × × √ × √ 3．已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ √ 逐点清(二) 点到直线的距离公式 02 多维度理解 1．点到直线的距离 垂线段 微点助解 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 细微点练明 √ 2．已知点P(－1,2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C的值是(　 ) A．5或15 B．10 C．－5 D．15 √ √ 3．已知过点P(1,2)的直线l，且点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　 ) A．4x－y－2＝0 B．4x－y＋2＝0 C．4x－y－2＝0或x＝1 D．4x－y＋2＝0或x＝1 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，点A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意． 当直线l的斜率存在时， 设斜率为k， 则可设直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等， 解得k＝4， 故直线l的方程为4x－y－2＝0，综上所述， 直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1. 4．已知直线l平行于向量a＝(1,2)，并且与原点的距离为3，求直线l的方程. 解：因为直线l平行于向量a＝(1,2)， 所以直线l的斜率k＝2，不妨设直线l的方程y＝2x＋b， 即2x－y＋b＝0， 逐点清(三)　两条平行直线间的距离公式 03 多维度理解 两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的__________的长 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝___________ 公垂线段 微点助解 1．使用此公式的两个条件：直线方程都为一般式；x，y的系数对应相等． 2．(1)两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； (2)两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 细微点练明 √ √ 解析：依题意，由两条直线平行可知2a＝a2＋1， 解得a＝1， 所以两条直线分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0， √ 解析：依题意，设所求直线方程为x－y＋m＝0， 解得m＝0或m＝2， 所以所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y＝0. √ 解析：由题意两条直线平行， 而m>0， 所以m＝2. 所以m＋n＝0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得x＝4，y＝－5. 所以点M(4，－5)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行， 所以－2＋a＝0， 解得a＝2， 所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知直线l过原点，若A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　 ) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＋y＝0或x－y＝0 D．x＋y＋1＝0或x－y－1＝0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：依题意，直线l过原点，A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，易知斜率存在， 故直线l可设为y＝kx， 解得k＝±1， 即直线l的方程为x＋y＝0或x－y＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行， 故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 －3或1 即|a＋1|＝2， ∴a＝－3或a＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0,2)，则△ABC的面积为________. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由题易知a≠0， 在直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 令x＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得a＝±2. 所以a的值为2或－2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离； (2)求直线l3的方程． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)易知l1与l2平行， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由l3与l2平行可知， 设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8<C<18)． 15 16 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 _____________________________ 特例 点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝___________ |P1P2|＝ 2．A(2,1)，B(4,2)两点间的距离为(　 ) A．3 B．3 C. D．2 解析：由两点间距离公式得|AB|＝＝. 解析：由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2. 4．已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3，－6)，C(5,2)，则BC边上中线的长为(　 ) A．2 B. C．11 D．3 解析：设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得 所以D(4，－2)， 所以|AD|＝＝＝2.故选A. 定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的________的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________ 1．点P(－1,1)到直线l：y＝－x的距离为(　 ) A. B. C. D.1 解析：点P到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝. 解析：由点线距离公式有＝1，解得C＝15或C＝5. 则＝， 则原点到直线l的距离d＝＝3， 解得b＝±3， 所以直线l的方程为y＝2x±3. 1．已知直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，则l1，l2间的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线的距离公式得d＝＝. 2．若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两条直线之间的距离为(　 ) A. B．1 C. D．2 可得两条直线之间的距离为＝，故选C. 3．与l：x－y＋1＝0距离为的直线方程为(　 ) A．x－y＋1＋＝0或x－y＋1－＝0 B．x－y＋2＝0或x－y＝0 C．x－y＋2＝0或x－y＋1－＝0 D．x－y＋1＋＝0或x－y＝0 则两条平行直线间的距离d＝＝， 4．若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　 ) A．0 B．1 C．－2 D．－1 则＝， 解得n＝－2， 又d＝＝， 1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　 ) A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0 解析：由两点间的距离公式得 ＝1. 2．已知直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于(　 ) A．4 B．4 C．2 D．2 解析：∵P(1,1)，Q(5,5)， ∴|PQ|＝＝4. 3．已知点A(6,0)，P在直线y＝－x上，|AP|＝3，则P点的个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为点A(6,0)到直线y＝－x的距离为＝3＝|AP|， 所以P点的个数是1. 解析：由题意，＝， 4．已知点(0,1)到直线mx＋3y－2＝0的距离是，那么m的值是(　 ) A．4 B．－3 C．4或－3 D．－4或4 解得m＝±4. 5．已知点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　 ) A．41 B. C. D．39 解析：设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0， 则|OM|＝＝.故选B. 6．已知两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　 ) A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝ C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝ 所以d＝＝. 7．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　 ) A．2 B．3 C. D. 解析：由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 则＝， 9．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：2x－y＝1的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：联立两条直线方程 解得 即P(1,2)， 由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x－y＝1的距离为d＝＝. 10．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　 ) A. B. C. D. 故d＝＝. 11．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝___________. 解析：由两平行直线间的距离公式得d＝＝， 解析：由题意知kAB＝＝b－a＝1， 所以|AB|＝＝. ∴|AB|＝＝＝＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值． 解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB方程为＝⇒x－2y－4＝0，|AB|＝＝2，点C(0,2)到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为×2×＝8. 15．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 有x＝， 则A， 有y＝， 则B， 故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴ ＝， 所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2. 由题意知l3与l1之间的距离为， 所以有＝， 解得C＝5或C＝31(舍去)， 所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0. $$