2.3 第1课时 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

2.3 直线的交点坐标与距离公式 两条直线的交点坐标 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两条直线的交点坐标 逐点清(二)　两条直线的位置关系的判断 逐点清(三) 过两条直线交点的 直线系方程 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 两条直线的交点坐标 01 多维度理解 交点 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B. (　 ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交． (　 ) (3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． (　 ) (4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4. (　 ) √ × √ √ 2．直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为(　 ) A．(0，－3) B．(1,0) C．(3，－4) D．(2，－2) √ 3．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　 ) A．－24 B．24 C．6 D．±6 √ √ 5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是___________． 因为交点位于第四象限， 逐点清(二)　两条直线的位置 关系的判断 02 多维度理解 方程组解的个数与两条直线的位置关系 无解 无数个 相交 平行 微点助解 (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 细微点练明 √ 解析：由题意知，直线2x＋y＝1与直线x＋my＝1平行， 故2m－1＝0， 2．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　 ) A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9 √ 解析：因为直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交， 则3(2k－3)－k[－(k＋2)]≠0， 即(k＋9)(k－1)≠0， 解得k≠1且k≠－9， 所以实数k的值为k≠1且k≠－9. 3．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程， 即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合． 逐点清(三) 过两条直线交点的 直线系方程 03 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． [典例]　已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： (1)过点P与Q(1,4)的直线方程； (2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程． 解：设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0①. (1)把点Q(1,4)代入方程①， 化简得3－5m＝0， (2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直， 得m＋1－3(2－2m)＝0， 方法技巧 求过两条直线交点的直线方程的方法 方程组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程 直线系法 先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 √ 1．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　 ) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1) 针对训练 解析：直线方程可化为2x＋y－5＋k(x－y－4)＝0， 则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点． √ 2．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　 ) A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0 解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0， 令x＝0， 课时跟踪检测 04 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　 ) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　 ) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为(　 ) A．(－∞，3) B．(2，＋∞) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(2,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以交点为(m－3,3m－6)， 由于(m－3,3m－6)在第二象限， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得2<m<3， 所以m的取值范围为(2,3)，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　 ) A．20 B．－4 C．12 D．4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直， 所以2m＋4×(－5)＝0， 解得m＝10， 所以直线mx＋4y－2＝0为5x＋2y－1＝0， 又垂足为(1，p)， 可得5×1＋2p－1＝0， 解得p＝－2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则垂足为(1，－2)． 又其在2x－5y＋n＝0上， 可得2×1－5×(－2)＋n＝0， 解得n＝－12. 所以m－n＋p＝10－(－12)＋(－2)＝20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且l的一个方向向量为v＝(－3,2)，则直线l的方程为(　 ) A．2x－3y＋1＝0 B．2x＋3y－5＝0 C．3x－2y－5＝0 D．2x＋3y－1＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1,1)， 又直线l的一个方向向量为v＝(－3,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即直线l1与l2的交点为M(1,1)， 因为直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形， 所以l3过点M，或l3分别与l1，l2平行， 若l3过点M， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则2－3m＝4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0， 若l1⊥l2， 则a(a＋1)＋a(1－a)＝0， 解得a＝0， 即a2＝0，故A错误； 若l1∥l2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当a＝1时， 直线l1：2x＋y＋2＝0，l2：x－1＝0， ∴l1与l2相交，交点为(1，－4)，故C错误； 当a＝1时， l2：x－1＝0，不经过第三象限； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当0<a<1时， ∴l2不经过第三象限； 当a＝0时，l2：y－1＝0，不经过第三象限． 综上，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即直线l1，l2的交点坐标为(4,1)；直线l1：x＋2y－6＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(6,0)，(0,3)；直线l2：x－y－3＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(3,0)，(0，－3)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________． 2x＋y－4＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴交点坐标为(0,4)， 即y－4＝－2x， ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， 解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P， 且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为_______________． x－y－1＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即点P的坐标为(2,1)， 因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直， 所以直线l的斜率为1， 由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×(x－2)， 即x－y－1＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________． (－1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当直线AB和直线x＋y＋1＝0互相垂直时，线段AB最短． 即直线AB 的方程的斜率为k＝1， 所以直线AB的方程为y＝x＋1. 即B(－1,0)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知平行四边形ABCD中，AB边所在直线方程为x＋y－1＝0，AD边所在直线方程为3x－y＋4＝0. (1)求点A的坐标； (2)若点C的坐标为(3,3)，分别求BC与DC边所在直线的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD， 设CD边所在直线的方程为x＋y＋m＝0，代入点C的坐标(3,3)， 得m＝－6， 所以CD边所在直线的方程为x＋y－6＝0， 同理AD∥BC， 设BC边所在直线的方程为3x－y＋n＝0，代入点C的坐标(3,3)，得n＝－6， 所以BC边所在直线的方程为3x－y－6＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：设B(x0，y0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程 A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组______________________的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的______坐标． 解析：由 解得 则交点坐标为(2，－2)． 解析：联立 解得 因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上， 所以y＝＝0， 解得k＝－24. 4．若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为(　 ) A．－2 B．－ C．3 D. 解析：联立 解得把 代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.故选C. 解析：联立方程组 解得 即交点坐标为， 所以>0且<0， 解得－<a<2， 即a的取值范围是. 方程组的解 一组 无数组 ______ 直线l1与l2的公共点的个数 一个 _______ 零个 直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______ 1．若关于x，y的方程组无解，则m＝(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解得m＝. 解：(1)联立方程组 解得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)联立方程组 (3)联立方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 解得m＝. 所以过两直线交点P与Q的直线方程为x＋y－＝0， 即2x＋y－6＝0. 解得m＝， 所以所求直线的方程为x＋y－＝0， 即3x＋y－8＝0. 由 解得 因此所求定点为(3，－1)． 得y＝， 令y＝0， 得x＝. 由＝， 得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 解析：解方程组 得 令 解得 ∴直线l恒过定点(－3,1)． 3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　 ) A．4 B．2 C． D． 解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点，依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4. 解析：联立 解得 所以 5．过两直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点，且与直线y＝x平行的直线方程为(　 ) A．x＋3y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y－5＝0 解析：由 解得 则直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点为(1,2)． 又直线y＝x的斜率为， 则所求直线方程为y－2＝(x－1)， 整理得x－3y＋5＝0. 解析：联立 解得 所以直线l的斜率为－， 故直线l的方程为y－1＝－(x－1)， 即2x＋3y－5＝0，故选B. 8．下面三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：由 解得 即m＝－； 若l3∥l1， 则＝－3， 即m＝－； 若l3∥l2， 则＝1， 所以m＝.综上，m的可能取值为－，，－. 9．[多选]已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则a2＝1 B．若l1∥l2，则a2＝ C．当a＝1时，l1与l2相交，交点为(1，－2) D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 则 解得a2＝，故B正确； x＝0时，y＝>0， 当y＝0时，x＝>0， 10．已知直线l1：x＋2y－6＝0，l2：x－y－3＝0，则l1，l2，x轴及y轴围成的四边形的面积为(　 ) A．8 B．6 C． D．3 解析：解方程组 得 如图所示，可得所求四边形的面积为×6×3－×3×1＝. 解析：法一　由方程组 得 ∴k＝＝－2， 解析：由 得 联立 解得 解：(1)联立 解得 所以A. 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 解得 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. $$