2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

2.2.3 直线的一般式方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系． 2．能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化． 3．能运用直线的一般式方程解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． Ax＋By＋C＝0 2．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 微点助解 (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列，x，y的系数一般不为分数和负数； (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合； (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 基点训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式． (　 ) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化． (　 ) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线． (　 ) (4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线. (　 ) √ × × × √ 解析：设直线的倾斜角为α， (二)利用一般式解决直线的平行与垂直问题 续表 基点训练 1．若直线x＋2y－1＝0与mx－2y＋2＝0平行，则实数m的值为(　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．2 √ 解析：由x＋2y－1＝0可知， 2．若直线4x＋2y－1＝0与直线ax＋4y＝0垂直，则a等于(　 ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：因为直线4x＋2y－1＝0与直线ax＋4y＝0垂直， √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　求直线的一般式方程 (3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0. 求直线一般式方程的策略 (1)直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． (3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断． 方法技巧 针对训练 [例2]　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 题型(二)　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 法二　由l′与l平行， 可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0， 将点(－1,3)代入上式得m＝－9， 所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. 法二　由l′与l垂直， 可设l′的方程为4x－3y＋n＝0， 将点(－1,3)代入上式得n＝13， 所以直线l′的方程为4x－3y＋13＝0. 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；过点(x0，y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y1)＝0，与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2，过点(x0，y0)且与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 方法技巧 2．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 针对训练 解：(1)法一：利用斜截式方程　当a＝1时，显然两直线不平行． 当a≠1时， 解得a＝－1. 故当l1∥l2时，a的值为－1. 法二：利用一般式方程　当l1∥l2时， 解得a＝－1. 故当l1∥l2时，a的值为－1. (2)法一：利用斜截式方程　当a＝1时，两直线不垂直． 法二：利用一般式方程　当l1⊥l2时，a＋2(a－1)＝0， 题型(三)　直线的一般式方程的应用 解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)， 则(x－2y)m＋2x－y－3＝0， 则A(a,0)，B(0，b)， 又直线l过定点(2,1)， 即a＝4，b＝2时取等号， 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0， 所以直线l过(4,0)， 即4(m＋2)－3＝0， 含参直线方程的研究策略 (1)明确各种形式方程的系数的几何意义．如点斜式中的斜率k和定点(x0，y0)，斜截式中的斜率k和y轴上的截距b，两点式中的两点坐标，截距式中x轴和y轴上的截距a，b. (2)对已知方程进行必要的转化．　　 方法技巧 3．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围． 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线， 所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为AC<0， 且BC>0， 所以A，B，C均不为零， 由直线方程Ax＋By＋C＝0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 且BC>0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．若直线a2x＋y－1＝0的斜率大于－4，则a的取值范围为(　 ) A．(－2,2) 　　　　 B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，2) 　　　　 D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：直线a2x＋y－1＝0， 即y＝－a2x＋1， 则直线的斜率为－a2， 即－a2>－4， 解得－2<a<2.所以a的取值范围为(－2,2)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．直线l经过点P(－2，－1)且一个方向向量为n＝(6,8)，则直线l的一般式方程为_________________． 4x－3y＋5＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(6,8)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是__________． 解析：设直线方程为y＝kx＋b， ∵k＝b， ∴y＝kx＋k＝k(x＋1)， 当x＝－1时，y＝0， ∴该直线一定经过的点是(－1,0)． (－1,0) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 3 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由题意可设该直线在两坐标轴上的截距为m(m≠0)， 解得m＝3， 故直线方程为x＋y－3＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知直线l过点P(2,3)，根据下列条件分别求出直线l的方程： (1)直线l的倾斜角为135°； (2)直线l与直线x－2y＋1＝0垂直； (3)直线l与直线x－2y＋1＝0平行． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)因为直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率为tan 135°＝－1， 由直线l过点P(2,3)， 得直线l的方程为y－3＝－(x－2)， 即x＋y－5＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为直线l与直线x－2y＋1＝0垂直， 所以设直线l的方程为2x＋y＋c＝0. 又直线l过点P(2,3)， 所以2×2＋3＋c＝0， 解得c＝－7， 所以直线l的方程为2x＋y－7＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)因为直线l与直线x－2y＋1＝0平行， 所以设直线l的方程为x－2y＋m＝0. 又直线l过点P(2,3)， 所以2－2×3＋m＝0， 解得m＝4， 所以直线l的方程为x－2y＋4＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 得b＝±6， 由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形， 所以b＝6，所以选C. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若a＝0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为l经过第四象限， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ 13．[多选]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：x－my＋1＝0，则下列命题正确的是(　 ) A．直线l1恒过点(0,1) B．若直线l2的方向向量为(1,1)，则m＝－1 C．若l1∥l2，则m＝±1 D．若l1⊥l2，则m＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线l1：y＝mx＋1， 解得x＝0，y＝1， 即直线l1过定点(0,1)，所以A正确； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若直线l2的方向向量为(1,1)， 可得直线l2的斜率为k2＝1， 由l1∥l2， 可得m×(－m)－(－1)×1＝0， 即m2＝1， 解得m＝±1， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当m＝1时，直线l1与l2重合； 当m＝－1时，直线l1与l2平行，所以C错误； 由l1⊥l2， 可得m×1＋(－1)×(－m)＝0， 解得m＝0，所以D正确． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知点M(－1,2)，N(2,3)，直线l：mx＋y－m＋2＝0与线段MN有交点，则m的取值范围为___________________________． (－∞，－5]∪[2，＋∞) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0⇒y＋2＝－m(x－1)， 即直线l过定点Q(1，－2)，斜率为－m， 解得m≥2或m≤－5. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由l2与l1：2x＋ay＋4＝0平行， 可设l2的方程为2x＋ay＋c＝0(c≠4)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得c2＝4， 所以c＝±2且a>0. 又2x＋ay＋c＝0过点(2，－2)， 所以有4－2a＋c＝0， 从而a＝1或a＝3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零， 令x＝0， 可得y＝k－2， 令y＝0， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当且仅当k＝－2时，等号成立， 15 16 一般式 斜截式 截距式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) y＝－x－(B≠0) ＋＝1(A，B，C≠0) 从以上表格中可以看出，若直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(AB≠0)，则其斜率为－，在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为－. 2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 则直线斜率k＝－＝tan α， 因为α∈[0，π)， 则α＝，故选B. 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0) 重合 k1＝k2且 b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0 其斜率为－，又两直线平行， 所以可得＝－， 解得m＝－1. 所以×＝－1， 解得a＝－2. [例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点(3，－5)，且一个方向向量为a＝(2,4)． 解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0. (2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0. 1．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式． (1)经过点A(8，－2)，斜率是－； (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－(x－8)－2＝－x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0. (2)由点斜式写出直线方程y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0. (3)由两点式写出直线方程＝⇔＝，其一般式为x＋y－1＝0. 得l′的斜率为－， 又l′过点(－1，3)， 解：(1)法一　由题意l的方程可化为y＝－x＋3， 则l的斜率为－. 由l′与l平行， 由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. 得l′的斜率为， 又l′过点(－1,3)， (2)法一　由题意l的方程可化为y＝－x＋3， 则l的斜率为－. 由l′与l垂直， 由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－x－3， 将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝0化为y＝x－a－1. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行， 则 则 当a≠1时，直线l1：ax＋2y＋6＝0的斜率k1＝－，直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0的斜率k2＝. 当l1⊥l2时，－·＝－1，解得a＝. 故当l1⊥l2时，a的值为. 解得a＝. 故当l1⊥l2时，a的值为. [例3]　已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点P(－1，－2)，当·最小时，求实数m的值． 由 解得 即直线l过定点(2,1)． (2)设直线的方程为＋＝1，a>0，b>0， 所以＋＝1. 又点P(－1，－2)， 则·＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＋≥9＋2＝13， 当且仅当＝， 解得m＝－. ∴＝×3， 解：(1)由条件知，a≠0且a≠， 在直线l的方程中，令y＝0得x＝， 令x＝0得y＝， 解得a＝1或a＝， 经检验，a＝1，a＝均符合要求， 故实数a的值为1或. 直线l不通过第四象限，即 (2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0. 即x＝－1，此时直线l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. 解得<a≤1， 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. A级——综合提能 1．直线＋＝1化成一般式方程为(　 ) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 解析：由＋＝1可得4x＋3y＝12， 即4x＋3y－12＝0. 2．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　 ) A．m≠0 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠，m≠0 3．经过点(1，)，倾斜角为120°的直线方程为(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x－y＋2＝0 解析：因为直线斜率为tan 120°＝－， 所以该直线方程为y－＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 可化为y＝－x－， 因为AC<0， 可得k＝－>0，y轴截距－<0， 所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限． 所以直线l的斜率为k＝， 由点斜式得直线l的方程为y＋1＝(x＋2)， 即4x－3y＋5＝0. 解析：由已知得 ∴m＝3. 9．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点(0,2)，且倾斜角为； (2)经过点(2,1)，在x，y轴上有不为0且相等的截距． 解：(1)由题意可知该直线的斜率为k＝tan＝，在纵轴上的截距为b＝2， 所以该直线方程为y＝x＋2， 即x－y＋2＝0. 由截距式可得其方程为＋＝1， 代入点(2,1)得＋＝1， B级——应用创新 11．已知直线l的斜率与直线3x＋4y－5＝0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是(　 ) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y＋12＝0 C．3x＋4y－24＝0 D．3x＋4y＋24＝0 解析：直线3x＋4y－5＝0的斜率为－， 可设l的方程为y＝－x＋b. 令y＝0， 得x＝b， 由题可知·|b|＝24， 12．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 则l的方程为x＝－，不经过第四象限． 若a＝2， 则l的方程为y＝－，经过第四象限． 若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－， 所以－<0或 解得a<0或<a<2或a>2. 综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C. 由 所以＝1，解得m＝1，所以B错误； 因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5， 如图所示，所以－m≤－2或－m≥5， 15．已知直线l1：2x＋ay＋4＝0与直线l2平行，且l2过点(2，－2)，并与坐标轴围成的三角形面积为，求a的值． 令x＝0， 得y＝－；令y＝0， 得x＝－. 因为直线l2与坐标轴围成的三角形面积为， 所以·＝， 16．已知直线l1：x＋y＋4－3m＝0. (1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M； (2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程． 解方程组 解得 故直线l1恒过定点M. 设直线l2的方程为y＋2＝k， 可得x＝－1， 由已知可得 解得k<0， 所以三角形面积为S＝＝≥＝4， 此时直线l2的方程为y＋2＝－2， 即2x＋y＋4＝0. $$