2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两条直线平行的判定 逐点清(二) 两条直线垂直的判定 逐点清(三)　利用平行与垂直的关系 解决平面几何问题 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 两条直线平行的判定 01 多维度理解 两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔____________ l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 k1＝k2 微点助解 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行． (　 ) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等． (　 ) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． (　 ) × √ √ 2．过点(1,2)和点(－3,2)的直线与y＝3的位置关系是(　 ) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 √ 又因为y＝3的斜率为0， 所以两直线平行，故选B. 3．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　 ) A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3) C．经过两点A(2,3)，B(－1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2 √ √ 又直线l1，l2不重合， 所以两直线平行，C正确； 4．已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________． 0或1 解析：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在， 而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在， 而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2， 因为AB∥MN， 所以kAB＝kMN， 解得m＝0或m＝1. 当m＝0或m＝1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 逐点清(二) 两条直线垂直的判定 02 多维度理解 两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔ __________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒________ k1k2＝－1 l1⊥l2 微点助解 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； (2)当l1⊥l2时有k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. 1．已知直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 解析：由题意可设方程x2－3x－1＝0的两根为k1，k2， 则k1k2＝－1， 所以直线l1与直线l2垂直，故选B. 细微点练明 √ √ √ √ 3．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________． 解析：由题意可知m≠2， 4.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________． 0或5 解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)， 且2≠－1， 所以l2的斜率存在， 而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)， 则其斜率可能不存在， 当l1的斜率不存在时，a－2＝3， 即a＝5，此时l2的斜率为0， 则l1⊥l2，满足题意； 当l1的斜率存在时，a－2≠3， 即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在， 由l1⊥l2得k1k2＝－1， 解得a＝0. 综上，a的值为0或5. 逐点清(三)　利用平行与垂直的关系解决平面几何问题 03 [典例]　顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，试判定四边形ABCD的形状． 则kAD≠kCB， 所以AB∥CD，AD与CB不平行，kADkAB＝－1， 因此AD⊥AB， 故四边形ABCD为直角梯形． 方法技巧 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 描点 在坐标系中描出给定的点 猜测 根据描出的点，猜测图形的形状 求斜率 若斜率不存在，直接说明；若存在，根据给定点的坐标求直线的斜率 结论 由斜率之间的关系判断形状 针对训练 √ 解析：设D(x，y)， ∵AD⊥BC， ∴x＋5y－9＝0. ∵AB∥CD， 2．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则m的值为____________． －7，±2,3 解得m＝－7； 若AB⊥BC， 解得m＝3； 若AC⊥BC， 解得m＝±2. 综上可知，m的值为－7，±2,3. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．过点A(2,5)和B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　 ) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知不重合的两直线l1与l2对应的斜率分别为k1与k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：不重合的两直线l1与l2对应的斜率分别为k1与k2， 当k1＝k2时， 可得l1∥l2， 当l1∥l2时， 可得k1＝k2， 故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当a≠0时， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知，PQ的斜率存在， 且kPQ＝kMN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　 ) A．垂直 B．平行 C．重合kl1 D．平行或重合 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线l1的倾斜角为135°， 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　 ) A．135° B．45° C．30° D．60° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．已知两点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为(　 ) A．(1,0) B．(6,0) C．(1,0)或(6,0) D．不存在 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设P点坐标为(x0,0)， 解得x0＝1或x0＝6， 故点P的坐标为(1,0)或(6,0)．故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为A(－1,1)，B(2，－1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以AB⊥AC， 所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形， 所以C正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．[多选]若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论正确的是(　 ) A．AB∥CD B．AB⊥AD C．|AC|＝|BD| D．AC∥BD √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 且C不在直线AB上， ∴AB∥CD，故A正确； ∴kABkAD＝－1， ∴AB⊥AD，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴kACkBD＝－1， ∴AC⊥BD，故D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知a≠0，b≠0， 若O为直角顶点， 则B在x轴上， 则a必为0，此时O，B重合，不符合题意，故C错误； 若A为直角顶点， 则b＝a3，故A正确； 若B为直角顶点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 根据斜率关系kOBkAB＝－1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为l1∥l2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，点(2 023,2 024)与点(a，b)重合，则a＋b＝________. 4 047 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设A(2,0)，B(－2,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为__________________． 解析：设A(x，y)， 因为AC⊥BH，AB⊥CH， (－19，－62) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， 由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kABkBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边． 若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， 即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． 若AD是直角梯形的直角腰， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则AD⊥AB，AD⊥CD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意得过点(1,2)和点(－3,2)的直线的斜率为k＝＝0， D．l1的方向向量为(1,1)，l2的倾斜角为 解析：由题意知k1＝＝－，k2＝＝－， 所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kBC＝＝－≠－， 故l1∥l2，A正确； 由题意知k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1， 故直线l1与直线l2重合，B错误； 由题意和斜率公式可得l1的斜率k1＝＝1，l2的斜率k2＝1，k1＝k2. 直线l1的斜率为k1＝＝1，直线l2的斜率为k2＝tan＝， 所以l1与l2不平行，D错误． 且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝. 即＝， 2．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，) C．l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1,2)，N(1,0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 解析：kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A不正确； kl2＝＝，kl1 kl2＝－×＝－1，故B正确； kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1kl2＝－1，故C正确； 因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确． 则kl＝＝， 解得m＝. 即·＝－1， 解：kAB＝＝＝kCD＝，kAD＝＝－3，kCB＝＝－， 1．已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　 ) A. B. C. D. ∴·＝－1， ∴＝， ∴x－2y－4＝0，联立 解得故选D. 解析：kAB＝＝－，kAC＝＝－，kBC＝＝m－1. 若AB⊥AC， 则－·＝－1， 则－·(m－1)＝－1， 则－·(m－1)＝－1， 3．[多选]已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　 ) A． B．－ C．a D．不存在 由k1k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在． 4．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　 ) A． B．－ C．2 D．－2 即＝， 得m＝－.经检验知，m＝－符合题意． 得kl2＝＝－1， 所以kl1＝kl2，所以直线l1与l2平行或重合． 故斜率kl1＝tan 135°＝－1. 解析：∵kPQ＝＝－1，kPQkl＝－1， ∴l的斜率为1，倾斜角为45°. 则kPM＝，kPN＝， 由于∠MPN＝90°， 故kPM·kPN＝－1， 即·＝－1， 8．[多选]以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的是(　 ) A．kAB＝－ B．kBC＝－ C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 所以kAB＝＝－，所以A正确； 因为B(2，－1)，C(1,4)， 所以kBC＝＝－5≠－，所以B错误； 因为kAB＝－，kAC＝＝， 所以kABkAC＝－×＝－1， 因为kAB＝－，kBC＝－5， 所以kABkBC≠－1，所以D错误． 解析：kAB＝＝－，kCD＝＝－， 又∵kAD＝＝， ∵＝(16,4)，＝(－4，16)， ∴|AC|＝4，|BD|＝4， ∴|AC|＝|BD|，故C正确； 又∵kAC＝＝，kBD＝＝－4， 10．[多选]已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则可能有(　 ) A．b＝a3 　　　 B．b＝a3＋ C．∠AOB＝90° 　　　 D．|b－a3|＋＝0 可知a2·＝－1， 所以a(a3－b)＝－1， 即b＝a3＋，故B正确； b＝a3和b＝a3＋不可能同时成立， 所以|b－a3|＋＝0不可能成立，故D错误． 11．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则logx＝________. － 所以＝2， 解得x＝3. 所以log3＝－. 则点A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1. 由题意知，过点(2 023，2 024)，(a，b)的直线与直线AB平行， 所以＝－1， 整理得a＋b＝2 023＋2 024＝4 047. 且kBH＝－，kCH＝－， 所以 解得 所以A(－19，－62)． 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1， 解得m＝－或m＝1. (2)由kAB＝， 且＝3， 得＝－， 解得m＝或m＝－3. (3)令＝＝－2， 解得m＝或m＝－1. 经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意． ∴＝0， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得x＝，y＝， ∴点D的坐标为. 综上，点D的坐标为(3,3)或. $$