2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　直线的方向向量 4 逐点清(四)　直线的倾斜角与 斜率的综合应用 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维度理解 定义 当直线l与x轴相交时，我们以______为基准，x轴______与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 范围 直线的倾斜角α的取值范围为___________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_____ x轴 正向 向上 {α|0°≤α＜180°} 0° 微点助解 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角． (　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－30°. (　 ) (3)倾斜角为0°的直线有无数条． (　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)． (　 ) √ × √ × 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° √ 解析：根据题意，画出图象，如图所示． 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 135° 解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°， 所以α2＝120°＋α1＝135°. 4．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为______________． 解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 60°或120° ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维度理解 1．直线的斜率 正切值 tan α 2．倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 微点助解 (1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率． (2)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化． (3)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (4)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (5)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (6)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 细微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率． (　 ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　 ) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α. (　 ) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线． (　 ) × × × × √ √ √ 解析：因为3≠1， 所以直线AB斜率存在． 又A，B，C三点共线， 则kAB＝kAC， 5．已知直线l1经过点M(－4,3)，N(8，－2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为________． 5 逐点清(三)　直线的方向向量 03 多维度理解 90° (1，k) 微点助解 (1)任意的直线都有方向向量，且不唯一； (2)直线的方向向量是非零向量； (3)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)； (4)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)； (5)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)． 细微点练明 √ 又直线l的方向向量为(1，k)， 所以k＝1. √ √ 解析：∵直线l的方向向量为e＝(－1，a)， 4．已知直线l经过点A(1,4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为_____________________． 解析：不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)， (1,2)(答案不唯一) 所以可以取x＝1， 则y＝2，此时直线l的一个方向向量为(1,2)(答案不唯一)． 逐点清(四)　直线的倾斜角与 斜率的综合应用 04 [典例]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． [变式拓展] 1．若本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}． 2．若本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围． 解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1,1)． 方法技巧 数形结合法解决范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下： (1)连接PA，PB； 针对训练 1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 ) A．k1>k2>k3 B．k3>k1>k2 C．k2>k1>k3 D．k2>k3>k1 √ 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 2．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．如图，直线l的倾斜角为(　 ) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　 ) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 解析：对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．[多选]下列四个命题中，正确的是(　 ) A．若直线的倾斜角为θ，则sin θ≥0 B．直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π) C．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ D．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，即θ∈[0，π)， 所以sin θ≥0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于(　 ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为kAB＝kAC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设直线AB的倾斜角为α， 则直线AC的倾斜角为2α， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵直线l过点M(－1，2)， 且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，如图所示， ∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．若斜率为2的直线经过点A(－2,3)，B(2m＋1,1)，则实数m＝________. －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是_____________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线的倾斜角是钝角， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为______________． (3,0)或(0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知，kPA＝－1. 若点P在x轴上， 则设P(m,0)(m≠1)， 解得m＝3； 若点P在y轴上， 则设P(0，n)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)? (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 又A，B，C三点共线， ∴kAB＝kAC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵x2≠x3， ∴x1＋x2＋x3＝0. 定义 我们把一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母k表示，即k＝______ 公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝___________ 2．已知直线l经过A(－1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是(　 ) A. B. C. D. 解析：设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝＝1，又α∈[0，π)，所以倾斜角是，故选B. 3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　 ) A．(5,8) B．(5，＋∞) C． D． 解析：由题意得>1，即(m－5)<0，解得5<m<. 4．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 (　 ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 即＝， 解得m＝3. 所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5. 解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－， 由于α∈[0，π)， 所以sin α＝，cos α＝－， 一般地，如果已知(x，y)为直线l的一个方向向量，则 (1)当x＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为______. (2)当x≠0时，直线l的斜率存在，设为k，则k＝_____，即斜率为k的直线的一个方向向量的坐标可以为_______． 1．已知倾斜角为的直线l的方向向量为(1，k)，则k的值为(　 ) A．－1 B．－ C. D．1 解析：因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为tan＝1. 2．已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ＝(　 ) A.0 B. C. D. 所以tan θ＝. 因为θ∈[0，π)， 所以θ＝. 解析：由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)， 所以直线l的斜率k＝＝. 又k＝tan θ， 3．若直线l的倾斜角为，方向向量为e＝(－1，a)，则实数a的值是(　 ) A． B．－ C． D．－ 又直线的倾斜角α＝， ∴直线l的斜率为k＝＝－a. ∴斜率k＝tan＝－＝－a， 解得a＝. 则k＝， 解：如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点， 3．若本例改为“已知两点A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上”，求的最大值． 解：设Q(3,0)， 则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－， ∴的取值范围是， 故的最大值为－. (2)由k＝求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. 3．已知倾斜角为的直线过A(1,0)，B(0，m)，则m＝(　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：由题意得＝tan，解得m＝－，故选C. 4．过A(0,4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　 ) A．－60° B．60° C．120° D．150° 解析：因为直线过点A(0,4)，B(，1)， 所以kAB＝＝－. 设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝－， 解得θ＝120°，故选C. 当θ≠时直线的斜率k＝tan θ，所以C错误，A、B正确； 若直线的斜率k＝tan＝，此时直线的倾斜角为，所以D错误． 又kAB＝＝3，kAC＝＝， 所以3＝， 即b＝6. 7．在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C． D．2 解析：由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－)＝0. 8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A．[0,2] B．[0,1] C． D． 解析：如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝(　 ) A. B. C.1 D. 且tan 2α＝， 由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝， 所以＝， 解得a＝.故选B. 10．直线l过点M(－1,2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A． 　　　　 B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．[－2,1] 　　　　 D．∪[1，＋∞) 又kPM＝＝1，kMQ＝＝－， 则k≥1或k≤－， ∴k∈∪[1，＋∞)． 解析：kAB＝＝＝2，解得m＝－2. 所以斜率<0， 解得a<. 所以实数a的取值范围是. 则＝－1， 则＝－1， 解得n＝3. 故点P的坐标为(3,0)或(0,3)． 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故直线l的斜率k＝，即＝，解得m＝. (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－1<m<1，故m的取值范围为(－1,1)． 证明：由题意知kAB＝，kAC＝， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， $$