1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 空间中点、直线和平面的向量表示 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 会用向量语言描述直线和平面．理解直线的方向向量和平面的法向量.会求直线的方向向量和平面的法向量． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 空间中点的位置向量和 直线的向量表示 逐点清(二) 空间中平面的向量表示 课时跟踪检测 逐点清(一) 空间中点的位置向量 和直线的向量表示 01 多维度理解 1．点的位置向量 微点助解 (1)用点的位置向量表示点时，基点可以任意选取； (2)在确定好基点的情况下，点P的位置向量由点P的位置唯一确定； (3)在空间直角坐标系中，如果选择坐标原点O作为基点，那么空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标． 唯一 微点助解 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线． 1．若A(0,1,2)，B(2,5,8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　 ) A．(3,2,1) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(1,2,3) 细微点练明 √ √ 解析：因为直线l过点A(0，a,3)和B(－1,2，b)两点， 所以(－1,2－a，b－3)＝(2λ，－λ，3λ)， 所以a＋b＝3. 3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2x2,6x)(x≠0)都是直线l的方向向量，则x的值是________． 解析：由题意设λa＝b， 即(－4,2x2,6x)＝λ(2，－1，3)， －1 4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_________，直线BC1的一个方向向量为___________________． (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) 逐点清(二) 空间中平面的向量表示 02 多维度理解 1．空间平面的向量表达式 不共线 2．平面的法向量 法向量 微点助解 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． (3)求平面法向量的方法与步骤 细微点练明 √ √ 2．已如点A(1,1,0)，B(－1,0,2)，C(0,2,0)都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是(　 ) 解析：由A(1,1,0)，B(－1,0,2)，C(0,2,0)， 取x＝2， 则y＝2，z＝3， 故n＝(2,2,3)， 则与n＝(2,2,3)共线的向量也是法向量，经验证，只有C正确． 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解：(1)由题意，可得D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，连接AC， 因为底面ABCD为正方形， 所以AC⊥BD.又因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC， 且BD∩DD1＝D， 则AC⊥平面BDD1B1， 令x＝2，得y＝－2，z＝－1， 所以n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．(答案不唯一)． 解：如图所示，建立空间直角坐标系， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)． 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　 ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量． 2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是(　 ) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 解析：由题意可得，要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．平面α的一个法向量n＝(1,2,3)，P(1,1,1)，P∈α，Q∈α，则点Q的坐标可以是(　 ) A．(－1，－1，－1) B．(4,2，－1) C．(3,2,1) D．(2,2,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设点Q(x，y，z)在平面α上， 因为P(1，1,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1,0,2)，B(0,1,0)，C(－2,1,1)，向量n＝(1，λ，μ)是平面α的一个法向量，则λ＋μ＝ (　 ) A．－7 B．－5 C．5 D．7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 可得μ＝2，λ＝5， 所以λ＋μ＝7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设平面OAB的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝1， 可得y＝7，z＝－5， 故n＝(1,7，－5)为平面OAB的一个法向量． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令x＝－1， 可得y＝－7，z＝5， 故n＝(－1，－7,5)为平面OAB的一个法向量． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为(　 ) A．(0,1,0) B．(0,1,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据题意，设BD＝AB＝CD＝1， 则D(0，1,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)， 令y＝1，可得z＝1，则m＝(0,1,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， ∴AO＝OC＝1， ∴OA1＝1， ∴A(0，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 得y＝0，x＝－z，结合选项， 可得n＝(1,0，－1)，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1，3,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， 所以向量(1，－2,5)是平面ABC的一个法向量，D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,1，t)，B(2，2,4)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，则直线AB的一个方向向量为__________． (1,1,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵A(1,1，t)，B(2,2,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为____________________． 解析：由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)， (1,1,1)(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为____________________，点P的坐标满足的条件为________________． (1,1,1)(答案不唯一) x＋y＋z＝3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由题意知OA⊥α， 因为AP⊂α， 即x－1＋y－1＋z－1＝0， 所以x＋y＋z＝3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14．在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令b＝2，则a＝－3，c＝2. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2)(其他正确答案也可)． (2)由(1)知n＝(－3,2,2)为平面ABC的一个法向量， 又点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0， ∴3x－2y－2z－1＝0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0. 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点， 那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把___________称为点P的位置向量． 向量 2．直线的向量表示 (1)设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点， ①点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. ②取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. (2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量______确定． 解析：∵A(0,1,2)，B(2,5,8)在直线l上，∴直线l的一个方向向量＝(2,4,6)，又∵(1,2,3)＝(2,4,6)，∴(1,2,3)是直线l的一个方向向量． 2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过点A(0，a,3)和B(－1,2，b)两点，则a＋b＝(　 ) A．0 B．1 C. D．3 所以＝λm， 所以＝(－1,2－a，b－3)， 又直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)， 所以∥m， 所以 解得 即 解得 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． 解析：因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个________向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的________．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． ①求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. ②设平面的法向量为n＝(x，y，z)． ③联立方程组并求解． ④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 1．已知平面α内有两点M(－2,3,1)，N(2,4,1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)，则a＝(　 ) A．－ B. C．－24 D．24 所以n·＝(6，a,6)·(4,1,0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0， 解得a＝－24. 解析：由题可得＝(4,1,0)， 因为平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)， 所以n⊥， A． B． C．(2,2,3) D．(2，－2，－1) 得＝(－2，－1,2)，＝(－1,1,0)， 设n＝(x，y，z)是平面α的法向量， 则 即 所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(答案不唯一)． 所以 (2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)． 设平面BDEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量． 则P(0,0,1)，C(1，，0)，D(0，，0)， 所以＝(1，，－1)，＝(0，，－1)． 则 即 令y＝1，则z＝，x＝0，则n＝(0,1，)， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1，)． 解析：因为＝(2,4,6)， 又(1,2,3)＝(2，4,6)， 所以＝(x－1，y－1，z－1)， 由·n＝(x－1)×1＋(y－1)×2＋(z－1)×3＝0， 得x＋2y＋3z＝6，依次验证选项，只有D满足． 解析：因为＝(－1,1，－2)，＝(－2,0,1)， 所以n·＝－1＋λ－2μ＝0，n·＝－2＋μ＝0， 5．若＝(1,2,3)，＝(－1,3,4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　 ) A．(1,7,5) B．(1，－7,5) C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5) 则 6．已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1,2,3)，法向量n＝(1,1,1)，则下列各点中不在平面α内的是(　 ) A．(3,2,1) B．(－2,5,4) C．(－3,5,4) D．(2，－4,8) 解析：对于A，＝(2,0，－2)，n·＝1×2＋1×0＋1×(－2)＝0； 对于B，＝(－3,3,1)，n·＝1×(－3)＋1×3＋1×1＝1≠0； 对于C，＝(－4,3,1)，n·＝1×(－4)＋1×3＋1×1＝0； 对于D，＝(1，－6,5)，n·＝1×1＋1×(－6)＋1×5＝0，故选B. 则＝(1,0,0)，＝(0,1，－1)， 设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)， 则有 8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)为(　 ) A．(0,1,1) B．(1，－1,1) C．(1,0，－1) D．(－1，－1,1) ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝， ∴＝(1,1,0)，＝(0,1,0)， 又＝＝(1,1,0)， ∴B1(1,1,1)，＝(1,1,1)． ∵平面OCB1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 9．[多选]已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1，3,1)，则下列结论正确的是(　 ) A.⊥ B．与共线的单位向量是(1,1,0) C.与夹角的余弦值是－ D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5) 所以＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，＝(－3,1,1)，·＝－2＋2＋0＝0， 故⊥，A正确； (1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与＝(2,1,0)不共线，B错误； cos〈，〉＝＝＝－，C正确； 设m＝(1，－2,5)， 则m·＝2－2＋0＝0，m·＝－1－4＋5＝0， 所以m⊥，m⊥， ∴＝(1,1,4－t)． 又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)， ∴·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0， ∴直线AB的一个方向向量为＝(1,1,4)． 所以＝(1,1,1)， 即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1)． 解析：直线OA的一个方向向量为＝(1,1,1)． 所以OA⊥AP，＝(x－1，y－1，z－1)， 则·＝0， 13.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA′；(2)BD′. 解：由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4,0,0)，B(4,2,0)，A′(4,0,3)，D′(0,0,3)． (1)因为向量＝(0,0,3)， 所以直线AA′的一个方向向量为＝(0,0,3)． (2)因为向量＝(－4，－2,3)， 所以直线BD′的一个方向向量为＝(－4，－2,3)． ∵＝(2,4，－1)，＝(2,2,1)， ∴ ∴ ∴⊥n， ∵＝(x－1，y＋1，z－2)， $$