1.3 第2课时 空间向量坐标运算的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

空间向量坐标运算的应用 (深化课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1．能运用空间向量的坐标运算证明空间中直线、平面的平行与垂直问题． 2．能运用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角． 3．能运用空间向量的坐标运算解决两点距离及模的问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用空间向量的坐标运算证明平行问题 题型(二)　利用空间向量的坐标 运算证明垂直问题 题型(三) 利用空间向量的坐标运算 解决夹角和距离问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　利用空间向量的坐标 运算证明平行问题 01 [例1]　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若O1为A1C1中点，O2为AC中点． 求证：(1)BO1∥D1O2； (2)平面ACD1∥平面BA1C1. (2)∵A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， ∴AC∥A1C1. 又AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1， ∴A1C1∥平面ACD1. 又由(1)知BO1∥平面ACD1， 而A1C1∩BO1＝O1， 且A1C1⊂平面BA1C1，BO1⊂平面BA1C1， ∴平面ACD1∥平面BA1C1. 判断空间向量平行的步骤 (1)向量化：将空间中的平行转化为向量的平行． (2)向量关系代数化：写出向量的坐标． 方法技巧 [提醒] 由空间向量平行求值只需根据平行的条件建立方程(组)求解即可． 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF. 求证：(1)D1C∥平面EMN； (2)E，F，N，M四点共面． 针对训练 证明：(1)设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)，B(2,2,0)，D1(0，0,2)，A1(2,0,2)，C1(0，2,2)，B1(2,2,2)， 故D1C∥ME， 因为D1C⊄平面EMN，ME⊂平面EMN， 则有D1C∥平面EMN. 题型(二)　利用空间向量的坐标 运算证明垂直问题 02 [例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置． (2)因为G∈平面PAD，设G(x,0，z)， 判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直转化为向量的垂直． (2)向量关系代数化：写出向量的坐标． (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直． [提醒]　由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可．　　 方法技巧 针对训练 证明：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 所以BC⊥AD，BC⊥AA1. 又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面A1AD， 所以BC⊥平面A1AD， 又BC⊂平面BCC1B1， 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 题型(三)　利用空间向量的坐标 运算解决夹角和距离问题 03 方法技巧 利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 建系 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 求坐标 利用题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标 计算 利用空间向量的夹角和距离的公式求解 针对训练 3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是B1C1，A1A的中点． (1)求M，N的距离； 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　 ) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设C(x，y，z)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则A1(4,0,2)，M(4，1,0)，B1(4,2,2)，N(2,2,0)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设a＝(x，y，z)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)∵AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4， ∴C(2,0,2)，E(2,2,0)，F(1,4,0)，G(0,2,4)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，线段BB1，A1C1，BC的中点分别为D，E，F.已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2. (1)求证：A1F⊥DE； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为______，若D1E⊥EC，则AE＝________. 90° 1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动. 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，m,0)，0≤m≤2， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求B，F两点间的距离； (2)求证：EF∥平面PAB； (3)求证：平面PAD⊥平面PDC. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即AP⊥DC，AD⊥DC， 又AP∩AD＝A，且AP，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD. 又DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，求线段EF长的最小值． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设F(0,0，z)，0≤z≤2， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 16 证明：(1)如图，以D为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1. 依题意知B(1,1,0)，O1， D1(0,0,1)，O2， ∴＝，＝，∴＝－， ∴∥，即BO1∥D1O2. ∴＝(－1,1,0)，＝(－1,1,0)， ∴＝， (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． 则M(2，1,0)，N(1，2,0)，E(2,0,1)，F(0,1,2)，＝(0,2，－2)， ＝(0，－1,1)， 则有＝－2， 解得 (2)＝(－2,1,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1，2，－1)，令＝x＋y， 令＝x＋y， 即(－2,1,1)＝x(0，1，－1)＋y(－1,2，－1)， 即＝－3＋2， 则向量，，共面，必有E，F，N，M四点共面． 解：(1)证明：以D为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(如图)， 设AD＝a(a>0)， 则D(0，0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F， 所以＝，＝(0，a,0)， 所以·＝·(0，a,0)＝0， 所以EF⊥CD. 所以·＝·(a,0,0)＝a＝0， 所以＝. 由(1)知＝(a,0,0)，＝(0，－a，a)． 因为GF⊥平面PCB， ·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0， 所以x＝，z＝0， 所以点G的坐标为，即点G为AD的中点． 2.如图，在三棱台A1B1C1-ABC中，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，D(1,1,0)， 所以＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)， 1＝(0,0，)． 因为·＝－2＋2＋0＝0，·1＝0＋0＋0＝0， 所以⊥，⊥1， [例3]　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． ∴FH的长为. 解：(1)如图，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，则有F，H， ∴＝， ∴||＝＝. 又C1(0,1,1)，G， (2)由(1)知E，F， ∴＝， ∴||＝. ∴|cos〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. ∴＝， ∴||＝. ∴·＝×0＋×＋×(－1)＝， (2)求cos〈，〉的值． ∴M，N的距离为. 解：(1)如图，建立空间直角坐标系， 依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)．M， ∴＝， ∴||＝＝. (2)由(1)得＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. A级——综合提能 1．已知＝(1,2,3)，＝(a，b，b－2)，若点A，B，C共线，则||＝(　 ) A． B．2 C．3 D．9 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以＝＝，解得a＝－2，b＝－4，故＝(－2，－4，－6)，＝－＝(－3，－6，－9)，||＝＝3. 解析：因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0， ∴BC⊥AC， 而||＝，||＝5， 所以△ABC是直角三角形． 3．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　 ) A. B. C. D. 所以＝(1＋t,2t－1,0)， 所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2，易知当t＝时，||2取得最小值，即A，B两点的距离的最小值为. 则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)． 设＝(a，b，c)， 则取＝(1,1，－1)． ∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－， ∴∥， ∴PQ∥BD1. 5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　 ) A．7 B．7 C． D． 所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， 所以||＝，||＝， 所以cos∠BAC＝＝＝， 在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC， 设平行四边形的面积为S， 所以S＝××sin 60°＝7. 6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则点C的坐标为______________． 则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(－2，－6，－2)， 由题意得＝， 则 解得 所以C. 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，点M为AB的中点，点N为BC的中点．则·＝________. 解析：以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，可建立如图所示的空间直角坐标系， ∴＝(0,1，－2)，＝(－2,0，－2)， ∴·＝0×(－2)＋1×0＋(－2)×(－2)＝4. 8．在空间直角坐标系中，向量a满足|a|＝3，且与向量b＝(1,1,1)的夹角的余弦值为，请写出一个向量a的坐标：__________________. (1,2,2)(答案不唯一) 由 得 则向量a的一个坐标为(1,2,2)．(答案不唯一，坐标(x，y，z)满足即可) 9.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求·的值； (2)求证：C，E，F，G四点共面． ∴＝(－2,2,2)，＝(－1,2,0)， ∴·＝－2×(－1)＋2×2＋0＝6. (2)证明：由(1)得＝(0,2，－2)， 令＝m＋n， 即 解得 ∴＝－＋2. 故C，E，F，G四点共面． (2)求sin〈，〉． 解：(1)证明：由题意易知AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1(0,0,2)，C1(4,0,2)，D(0，2,1)，E(2,0,2)，F(2,1,0)． 因为＝(2,1，－2)，＝(2，－2,1)， 所以·＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0，因此A1F⊥DE. (2)由(1)知＝(2，－2,1)，＝(－2,1，－2)， 则||＝＝3，||＝＝3， 可得cos〈，〉＝＝＝－， 所以sin〈，〉＝＝. B级——应用创新 11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，点N为B1B的中点，则||为(　 ) A. B. C. D. 则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，N， 设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且＝， ∴(x－1，y，z)＝(－x，1－y,1－z)， ∴x＝，y＝，z＝， 即M. 又N， ∴||＝＝. 12.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，＝，＝3，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　 ) A. B. C. D. 解析：如图，以A1为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 不妨令AB＝4， 则A(2,0,0)，B(2,4,0)，A1(0,0,0)，C(2,0,2)，M(0,0,1)，N. 因为＝3， 所以G， 则＝，＝(－2,0,0)，＝(0,4,0)，＝(0,0,2)， 则 解得 故x＋y＋z＝. 13．已知向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为______________________． 解析：设＝λ， 因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)， 所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， 因为⊥a， 解得λ＝， 又A(－3，－1,4)，＝， 所以点E的坐标为. 则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)， ∴·＝－1＋0＋1＝0， ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC， ∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0， 解得m＝1，∴AE＝1. 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， 所以E，F，＝，||＝， 即B，F两点间的距离为. (2)证明：由(1)知，＝，＝(1,0,0)， 所以＝－， 即∥，即EF∥AB， (3)证明：由(1)知，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)， 所以·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 则⊥，⊥， 则B(0,0,0)，D(0,1,0)，B′(0,0,2)，C′(2,0,2)，则＝(2，－1，2)，＝(0,0,2)， 设＝λ，λ∈[0,1]， 则E(2λ，1－λ，2λ)， 则＝(－2λ，λ－1，z－2λ)． 若线段EF的长最小，则必满足EF⊥BB′，则·＝0，可得z＝2λ，即＝(－2λ，λ－1,0)， 因此，||＝＝＝≤， 当且仅当λ＝时等号成立， 所以线段EF长的最小值为. $$