1.2 空间向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

1.2 空间向量基本定理 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理，掌握判断空间三个向量是否构成基底的方法． 2．能通过空间向量的线性运算用基底表示向量，会用基底法证明空间位置关系及直线所成的角． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在______的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做基向量 唯一 基底 2.空间向量的正交分解 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为___，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示 正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个_________的向量，叫做把空间向量进行正交分解 两两垂直 1 两两垂直 微点助解 (1)基底的不唯一性．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，同一非零向量在不同基底下的有序实数组是不同的． (2)基底中不能有零向量．三个向量a，b，c不共面隐含着它们都不为0. (3)当基底确定后，实数组(x，y，z)是唯一确定的． 基点训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间向量的基底是唯一的． (　 ) (2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c均为非零向量． ( 　 ) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0. (　 ) × √ √ 2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，可以作为空间的一个基底的是(　 ) √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　[多选]下列命题正确的是(　 ) A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底 B．已知向量a，b不共线，存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb(λμ≠0)，则{a，b，c}能构成空间的一个基底 题型(一)　基底的判断 √ √ √ 向量a，b不共线，存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb(λμ≠0)，则a，b，c共面，故不能构成空间的一个基底，B错误． 判断给出的三个向量能否构成基底的方法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 方法技巧 1．[多选]若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组能构成空间的一个基底的是(　 ) A．{a＋b，a－b，c} 　　 B．{a＋b，b＋c，c＋a} C．{3a－4b,2b－3c,3a－6c} D．{a＋b，a＋b＋c,2c} 针对训练 √ √ 解析：因为a＋b，a－b，c是不共面的向量，所以能构成空间的一个基底，故A正确； a＋b，b＋c，c＋a是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 因为3a－6c＝3a－4b＋2(2b－3c)，所以3a－4b,2b－3c,3a－6c是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误； 题型(二)　用基底表示向量 用基底表示向量的一般步骤 方法技巧 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间内所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 针对训练 [例3]　如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基底． (2)将所求向量用基底表示． (3)将几何问题转化为向量问题： ①将距离和线段长转化为向量的模； ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； ③将空间角问题转化为向量夹角问题． 方法技巧 3.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE. 针对训练 所以MN∥DE. 又因为MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　 ) A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 假设a＋2c与p，q共面，则存在x，y∈R，使得a＋2c＝xp＋yq＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，则2c＝(x＋y－1)a＋(x－y)b，所以a，b，c共面，这与{a，b，c}为基底矛盾，假设不成立，所以a＋2c与p，q不共面，可构成基底，故D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x＋y＝________. 解析：∵p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，且p＝3a＋b＋c，∴x＋y＝3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝8i＋3k，b＝－i＋5j－4k，则a·b＝________. 解析：由{i，j，k}是一个单位正交基底，则i·j＝0，k·j＝0，k·i＝0，|i|＝|k|＝|j|＝1，a·b＝(8i＋3k)·(－i＋5j－4k)＝－8i2＋40i·j－32i·k－3i·k＋15k·j－12k2＝－8－12＝－20. －20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，已知空间四边形ABCD各边的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又EG，AC无公共点， 所以EG∥AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又FG，AB′无公共点， 所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又由(1)知EG∥AC，由EG⊄平面AB′C，AC⊂平面AB′C，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. A．{，，} B．{，，} C．{，，} D．{，，} 解析：因为向量，，不共面，所以可以作为空间的一个基底，而其他三组向量都共面．故选C. 3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱A1C1的中点．设＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 解析：由题意可得＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋＝a＋c＋b. C．设A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 解析：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb.因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k，使得d＝kc.因为d≠0，所以k≠0，从而c＝a＋b，所以c与a，b共面，与条件矛盾，所以d与a，b不共面，所以{a，b，d}也可以作为空间的一个基底，A正确． 由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面，且有公共点B，故A，B，M，N四点共面，C正确． 可证a，b，m不共面，故{a，b，m}是空间的一个基底，D正确． 因为a＋b＝a＋b＋c－(2c)，所以a＋b，a＋b＋c,2c是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误． [例2]　如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用一个基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2). 解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，AD1，＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c. (2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c. 2.如图，四棱锥P-OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，. 解：如图，连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，＝＋＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＝＝a.综上，＝－a－b＋c，＝－a－b＋c，＝－a＋b＋c，＝a. ＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0. 易知＝b＋c， ∴cos〈，〉＝＝. 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. (2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|. 又＝b＋c，∴||＝|a|. ∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2， 证明：设＝a，＝b，＝c. 因为E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点， 由题意知＝＋＋(＋)＝－c－a＋(b＋c)＝－a＋b，＝＋＝＋＝a－b＝－， 所以＝－，所以∥. A级——综合提能 1．[多选]已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线．若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的是(　 ) A．{，，}不能构成空间的一个基底 B．{，，}不能构成空间的一个基底 C．{，，}不能构成空间的一个基底 D．{，，}能构成空间的一个基底 解析：因为{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线，所以空间五点A，B，C，D，E共面，所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、B、C正确，D错误． 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　 ) A．a－b＋2c B．a－b－2c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c. 解析：因为能与p，q构成基底的向量与p，q不共面，又a＝p＋q，b＝p－q，a＋2b＝(a＋b)－(a－b)＝p－q，则a，b，a＋2b都分别与p，q共面，故A、B、C错误； 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为(　 ) A.a 　　　　 B.a C.a 　　　　 D.a 解析：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.＝＋＋＝i＋j＋(－j＋k)＝i＋j＋k，故||2＝a2＋a2＋a2＝a2，所以MN＝a. 5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边CB，OA的中点，点G在线段MN上，且使NG＝2GM，用向量，，正确表示向量的是(　 ) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 解析：根据题意可得＝＋，由NG＝2GM可得＝，所以＝＋＝＋(＋)＝＋×(＋)＝×＋(＋)＝＋＋. 8．在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________． 解析：如图所示，连接PN，＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋，∴x＝－，y＝，z＝.∴x＋y＋z＝. 9．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． ∴＋＋＝＋＋＝. (2)∵＝＋＝＋＝(－)＋(＋)＝＋＋，又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝. 解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°. ∵＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p)． ∴||2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝ ＝×2a2＝. ∴||＝a，∴MN的长为a. B级——应用创新 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则等于(　 ) A. B. C. D. 解析：设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ. 因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝. 12．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　 ) A. B. C. D. 解析：如图，＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故||2＝2＝||2＋||2＋||2＋·＋·＋·， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知AA1⊥AC，AA1⊥AB，在△ABC中，由AB＝AC＝BC，则∠BAC＝60°，由AA1＝AB＝AC＝1，则||2＝＋1＋＋×1×1×＝，则AM＝. 13.[多选]如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC＝，OA＝OB＝2，OC＝3，E为AB的中点，＝3，则以下正确的是(　 ) A．OF＝ B．EF＝ C．AB与OC所成角的余弦值为 D．OE与OF所成角的余弦值为 解析：因为AO⊥平面OBC，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·＝0，·＝0，·＝||·||cos＝－3，在△OAC中，＝＋＝＋(－)＝＋，所以||＝＝＝＝，所以A正确； 在△OEF中，＝－＝＋－(＋)＝－＋ ，||2＝2＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋1＋1＋1＝，即||＝，所以B正确； 因为＝－，·＝(－)·＝·－·＝－3，||＝＝2，cos〈，〉＝＝＝－，所以AB与OC所成角的余弦值为，所以C正确； 由以上知OF＝，EF＝，且OE＝AB＝，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝，所以D错误． 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为________． 解析：＝＋，＝－＝＋－－－＝＋－－－＝－－，故·＝·＝2－·－·＋·－2－·＝×4－×8＝0，即⊥，则AM与PM所成的角为90°. 证明：取基底{，，}． (1)因为＝＋＝＋，＝＋＝2， 所以∥， (2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2， 所以∥， $$