1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

共线向量与共面向量 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．理解向量共线、向量共面的定义． 2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件． 3．会证明空间三点共线、四点共面． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)空间向量共线的充要条件 1．共线向量 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________. a＝λb 2．直线的方向向量 λa 微点助解 (1)共线向量定理可分解为两个命题： ①性质定理：a∥b⇒存在唯一实数λ，使得a＝λb(b≠0)． ②判定定理：存在唯一实数λ，使得a＝λb⇒a∥b. (2)在共线向量定理中，要特别注意b≠0，若不加b≠0，则该充要性不一定成立．例如，若a≠0，b＝0，则a∥b，但λ不存在，因而不成立． (3)共线向量定理可以用来证明两直线平行或三点共线． 基点训练 √ √ √ (二)空间向量共面的充要条件 1．共面向量 平行 重合 平行于 (2)向量与平面平行：如果直线OA平行于平面α或___________，那么称向量a平行于平面α. (3)共面向量：平行于___________的向量，叫做共面向量． 在平面α内 同一个平面 2．空间向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使____________. p＝xa＋yb 基点训练 1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　 ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．不共线向量 解析：由向量共面的充要条件可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量． √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　向量共线的判定及应用 √ 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． 方法技巧 针对训练 √ 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， 又F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 题点1　证明共面问题　 [例3]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 题型(二)　向量共面的判定及应用 证明：如图，连接A1M，A1N，A1B， 又三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． 方法技巧 题点2　证明线面平行 利用向量证明线面平行的一般步骤 方法技巧 取向量 在所证直线上取其方向向量，在所证平面内取两个不共线向量 找关系 将所取方向向量用所取的两个不共线向量表示出来 得结论 说明所证直线不在所证平面内，得线面平行 针对训练 √ 4．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误； 共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：A选项，3－1－1＝1，∴点M，A，B，C共面，A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．已知e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，向量a＝e1＋μe2＋4e3，b＝3e1＋9e2＋λe3，若a与b共线，则λ＋μ＝(　 ) A．－3 B．3 C．－15 D．15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 －1 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＝________，y＝________. －13　 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．在正四面体P-ABC中，点P在平面ABC内的投影为O，点M是线段PO的中点，过M的平面分别与PA，PB，PC交于E，F，G三点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)在正四面体P-ABC中，P在底面ABC内的投影O为正△ABC的重心， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．直线可以由其上一点和它的方向向量确定，即＝_____. 1．[多选]下列命题是真命题的是(　 ) A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：由题意可得＝＋＝2a＋4b，＝＋＝－4a＋8b.因为＝2，所以A，B，D三点共线；因为不存在实数λ满足＝λ，所以A，B，C三点不共线；因为不存在实数λ满足＝λ，所以B，C，D三点不共线；因为不存在实数λ满足＝λ，所以A，C，D三点不共线，故选A. (1)向量与直线平行：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l_____或_____，那么称向量a_______直线l. 微点助解 共面向量的推论 (1)空间一点P位于平面ABC内⇔存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. (2)四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 2．已知空间四点A，B，C，D共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝(　 ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得 6－3＋λ＝1，解得λ＝－2，故选B. [例1]　若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1. [例2]　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明：如图，连接EF，FB，∵＝－＝－＝(＋＋)－＝(＋＋)－＝＋－，＝－＝＋－(＋＋)＝＋－，∴＝，∴∥，又EF∩FB＝F，∴E，F，B三点共线． (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 1．设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，得＝＋＝2e1＋(1＋λ)e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以∥，则存在唯一实数μ，使得＝μ，则解得 2.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． ＝(－)＝， ∴＝，＝. ∵＝－＝－＝ ＝(－)＝ ∴∥，且||＝||≠||. ∵M为DD1的中点， ∴＝c－a，又AN∶NC＝2∶1， 设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋＝＋， ∴，，为共面向量， ①＝x＋y；②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．　　 [例4]　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE，求证：MN∥平面CDE. ∴＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝＋. 证明：∵M在BD上，且BM＝BD， ∴＝＝＋. 同理得＝＋. 又与不共线， ∴根据向量共面的充要条件可知，，共面． ∵MN不在平面CDE内，∴MN∥平面CDE. 3．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，但任意三点不共线． 如果＝m＋＋，则m的值为(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为＝－，所以由＝m＋＋得－＝m＋＋，即＝m＋2＋，因为O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，且四点共面，所以m＋2＋1＝1，故m＝－2. 证明：(1)如图，连接EG，BG.因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件可知，向量，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝－＝(－)＝，又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH. A级——综合提能 1．下列命题正确的是(　 ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb ∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥，故C正确； 若b＝0，a≠0，则不存在实数λ，使得a＝λb，故D错误． 2．[多选]下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　 ) A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 B选项，＋＋＝≠1，B错误； C选项，原式可整理为＝－－，∴点M，A，B，C共面，C正确； D选项，原式可整理为＝－－－，－1－1－1＝－3≠1，D错误． 解析：因为a与b共线，设a＝kb(k∈R)，即e1＋μe2＋4e3＝k(3e1＋9e2＋λe3)，所以解得故λ＋μ＝15. 4．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　 ) A．＝ B．∥ C．||＝|| D．||≠|| 解析：由＝λ，＝λ，得＝－＝λ(－)＝λ，所以，共线，同理，由＝μ，＝μ，得＝μ，所以，共线，所以，共线，即∥. 5．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 解析：∵A，B，C三点共线，＝2＋μ，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1.由λ＋m＋n＝0，得＝－－，由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0. 6．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”) 解析：设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，则＝＋＝＋＝(＋)，所以2＝＋，从而∥(＋)． 解析：因为a∥b且a≠0，所以存在实数t，使得b＝ta，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝t(3m－2n－4p)，又因为m，n，p不共面，所以 解得 8．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由题知＋＋＝3，则－＝－＋－，即＝＋＝－－，所以，，共面． (2)由(1)知，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 证明：令＝a，＝b，＝c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 所以＝－＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c. 设＝λ＋μ， 则－a＋b＋cλ＋μ＝(μ－λ)a＋λb＋μc， 所以解得 所以＝2＋，所以向量，，共面． 又向量，，过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面． B级——应用创新 10.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，＝，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：由题设＝λ(0<λ<1)，因为＝＋＋＝3＋3＋，所以＝3λ＋3λ＋λ，又因为M，E，F，G四点共面，所以3λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝，即＝. 11．[多选]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0,1]，下面结论正确的是(　 ) A．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝1时，点P在棱BB1上 解析：当λ＝μ时，＝λ＋λ＝λ(＋)＝λ，λ∈[0,1]，则点P在线段BC1上，A正确； 当μ＝1时，＝λ＋，则－＝λ，则＝λ＝λ，λ∈[0,1]，则点P在棱B1C1上，B正确； 当λ＋μ＝1时，＝λ＋μ＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)，则＝＋λ，则－＝λ，则＝λ，λ∈[0,1]，即点P在线段B1C上，C正确； 当λ＝1时，＝＋μ，则－＝μ，则＝μ，则＝μ，μ∈[0,1]，故点P在棱CC1上，D错误． 12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必在(　 ) A．平面BAD1内 B．平面BA1D内 C．平面BA1D1内 D．平面AB1C1内 解析：＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，又11－6－4＝1，于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内． (1)若＝α＋β＋γ，求α＋β＋γ的值； (2)设＝x，＝y，＝z，求＋＋的值． ∴＝(＋)＝(－＋－)＝－＋＋， ∴α＝－，β＝，γ＝， ∴α＋β＋γ＝0. (2)∵＝2＝＋＝＋＋， 且＝x，＝y，＝z， ∴2＝＋＋， 即＝＋＋， ∵M，E，F，G共面， ∴＋＋＝1，即＋＋＝6. 14.如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解：如图，连接BG.因为＝－，＝，所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋. 因为＝， 所以＝＝(－＋＋)＝－＋＋. 所以＝－＝－＋＋. 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 因为＝－＋＝－＋， 所以＝＋＋. 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，m＝，即m的值是. $$