1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量． 2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间向量的有关概念 逐点清(二) 空间向量的加减运算 逐点清(三) 空间向量的数乘运算 4 课时跟踪检测 逐点清(一)空间向量的有关概念 01 多维度理解 1．空间向量的概念 大小 方向 大小 长度 |a| 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为____ 单位向量 ______的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度______而方向______的向量，叫做a的相反向量，记为______ 零向量 0 模为1 相等 相反 －a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有______ 相等向量 方向______且模______的向量叫做相等向量．在空间，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量 互相平行或重合 平行 0∥a 相同 相等 同向 等长 续表 微点助解 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向，单位向量有无数个，它们的方向并不确定，故它们不一定相等．而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等、方向相同． 细微点练明 √ 1．下列说法正确的是(　 ) A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 解析：零向量与它的相反向量相等，A错误； 任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误； 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确； 将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误． 2．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 √ 解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 3.[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中(　 ) √ √ √ 逐点清(二) 空间向量的加减运算 02 多维度理解 首尾顺次相接 共起点 共起点，连终点 续表 (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 细微点练明 √ √ √ √ 逐点清(三) 空间向量的数乘运算 03 多维度理解 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的____倍 λ<0 λa与向量a的方向______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 相反 相同 |λ| 微点助解 (1)λa＝0⇔λ＝0或a＝0. (2)向量λa与向量a一定是共线向量． (3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，明确表示向量的有向线段，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 细微点练明 √ 1．下列各式计算正确的是(　 ) A．a＋b－(a＋b)＝2a B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0 D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c 解析：a＋b－(a＋b)＝0，故A不正确； 2(a＋b)＋c＝2a＋2b＋c，故B不正确； 3(a－b)＋3(a＋b)＝6a，故C不正确； a＋b－(b－3c)＝a＋3c，故D正确． √ √ 4.如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误； 由空间向量的有关概念与性质知D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．下列命题中，正确的是(　 ) A．若a≠b，则|a|≠|b| B．若|a|>|b|，则a>b C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若|a|＝|b|，则a＝b 解析：若a与b为相反向量，则a≠b，但|a|＝|b|，故A、D错误； 向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，故B错误； 向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，如图所示， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 定义 在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的_____叫做空间向量的长度或模 表示方法 ①几何表示：用有向线段表示，有向线段的_____表示空间向量的模． ②字母表示：用字母a，b，c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为______或______ || A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误． 解析：由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 语言叙述 图形表示 加法运算 三角形 法则 ______________， 首指向尾为和 a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 _______为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 a＋b＝＋＝ 减法 运算 三角形法则 ________________， 方向指向被减向量 a－b＝－＝ 加法 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微点助解 (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋＋＋…＋＝0. 1．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则－－＝(　 ) A. B. C. D. 解析：－－＝＋－＝－＝. 2．[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量的是(　 ) A．(＋)－ B．(－)－ C．(－)＋ D．(－)－ 解析：如图，(＋)－＝－＝＋＝；(－)－＝－＝；(－)＋＝＋＝；(－)－＝(－)－＝＋＝. 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋， 并在图中标出化简结果． 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.同理＝，＝，由正六棱柱性质可知＝，所以－＋＋＋＝－＋(＋＋)＝＋＝，所以化简结果如图所示． 2．如图，在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A．a－b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：依题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝－－＝a－b－c. 3.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，＝2，＝，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　 ) A．－ B． C．1 D． 解析：因为＝2，＝， 所以＝＋＝＋＝－＋－＝－＋－＝－＋＋－＝＋－， 故x＝，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝. (1)＋－； (2)(＋－)； (3)＋＋. 解：(1)连接EF，∵G是△BCD的重心，∴＝.又＝，∴由向量加法的三角形法则可知，＋＋＝＋＋＝＋＝.在图中标出，如图所示． (2)连接AH，∵F，H分别为AD，BC的中点，∴(＋－)＝(2－)＝－＝－＝.在图中标出，如图所示． (3)＋＋＝＋(－)＋(－)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.在图中标出，如图所示． 1．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 解析：向量与是相反向量，长度相等，A正确； 在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误； 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：如图，与向量大小相等，方向相同的向量有，，，共3个． 3．化简：(a＋2b－3c)＋3×－(a－2b＋c)＝(　 ) A．2a＋b－2c B．2a＋b－2c C．2a－b－2c D．2a－b－2c 解析：原式＝a＋3×a－a＋2b－3×b＋2b－3c＋3×c－c＝2a＋b－2c. 5．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简＋－＝(　 ) A. B. C. D. ∴＋－＝＋＝＋＝. 6．在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则＋(＋)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：如图，因为E为棱BC的中点，所以＋(＋)＝＋×2＝＋＝. 7．[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则(　 ) A.－＝ B.－＝2 C.＝ D.＝ 解析：－＝＋＝，A正确，B不正确. ＝，C正确，D不正确． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝2，则以下结论正确的是(　 ) A.＝＋＋ B.＝－＋－ C.＝－＋ D.＝＋－ 解析：因为＝2， 所以＝，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝＋－. 9.如图，在三棱锥O-ABC中，＝a，＝b，＝c，点G是△ABC的重心，则等于(　 ) A．a＋b－c 　　 B．a＋b＋c C.(a＋b＋c) 　　 D.(a＋b＋c) 解析：延长AG，交BC于D，因为点G是△ABC的重心，所以D是BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋＝(a＋b＋c)． 10．[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋，＝＋＋，则(　 ) A．E为棱D1C1的中点 B．F为棱CC1上更靠近C的三等分点 C．EF＝CD1 D．EF∥平面ABB1A1 解析：因为＝＋＋＝＋＋＝＋，所以－＝＝，则E为棱D1C1的中点，A正确． 因为＝＋＋＝＋，所以－＝＝，则F为棱CC1上更靠近C的三等分点，B正确． 因为E为棱D1C1的中点，F为棱CC1上更靠近C的三等分点，易得EF≠CD1，C错误． 因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，EF⊂平面DCC1D1，所以EF∥平面ABB1A1，D正确． 11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，－＋＝________. 解析：－＋＝＋－＝＋＝. 12.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，则向量＝_______________.(用a，b，c表示) b＋c－a 解析：由向量的减法及加法运算可得，＝－＝＋－＝＋－＝b＋c－a. 13.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝3，N为BC的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝__________. 解析：因为＝3，N为BC的中点，所以＝，＝(＋)．所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.因为＝xa＋yb＋zc，所以x＋y＋z＝－＋＋＝. 14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出： (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示. 解：(1)根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有，，；的相反向量有，. (2)用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有＝＋，＝＋，＝－，＝－.(答案不唯一) (3)用“首尾规则”求解，则＝＋＋，＝＋＋＋＋.(答案不唯一) 15.如图，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 解：连接AN，则＝＋，由题知四边形ABCD是平行四边形， 故＝＋＝a＋b， 因为M分成的比为， 所以＝－＝－(a＋b)． 又N分成的比为2， 故＝＋＝－＝－＝－(－)＝(c＋2b)， 则＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)． $$