第22章 相似形重难点题型复习数学沪科版九年级上册

第二十二章 相似形重难点题型复习 题型一 相似图形的有关概念 【例题1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； (2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍． 所以点的对应点的坐标为． 题型二 相似图形的有关性质 【例题2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质． 设，，根据相似多边形的性质得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，设，．    ∵矩形矩形，和分别为和的中点，， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，根据题意，相似比为，则，即可． 【详解】∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形四边形，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．由四边形四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，又由四边形的内角和等于，即可求得；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴， ∴， ∵四边形四边形，， ∴ ，即， ∴． 题型三 相似三角形的判定 【例题3】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 先根据、可知，即，再根据、可得，即，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 题型四 相似三角形的应用 【例题4】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ，， ， ， ，即， 解得：． 该古城墙的高度为． 故选：B 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．根据题意得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即桶内油的高度为：． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 题型五 三种数学思想 思想1：转化思想 【例题5】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，进而可得，然后推出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质判定A，证明可判定B，证明可判定C，证明可判定D． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故A不符合题意； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故C不符合题意； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故B不符合题意； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故D符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在，上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，，证明，表示出、的长，设点A关于的对称点为，连接，，可证明为等边三角形，当时，则最小，所以当时最小，从而可求得的最小值等于的长． 【详解】（2） 设，则， 四边形为矩形，， ， ， ， ， ，即，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， ，， 如图，设点A关于的对称点为，连接，， 则，， 是等边三角形， ， 当、P、Q三点在一条线上时，最小， 又垂线段最短可知当时，最小， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的应用-最短距离问题，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键， 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质： （1）由平行四边形对角相等且平行得到，，则可证明，再证明，即可得到； （2）通过证明，，可得，据此即可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵在中，， ，， ， ， ∵在中，， ，， ， ， ， ． 思想2：分类讨论思想 【例题6】（24-25九年级上·河南新乡）两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的面积比是， 两个相似三角形的相似比是， 两个相似三角形的周长比是， 令另外一个三角形周长为，分两种情况：或者， 解得或． 故选：． 【变式1】（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 【答案】B 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值为或2， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．由勾股定理求出的长，分两种情况，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵与有一个公共角， ∴与相似有2种情况． 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 思想3：数形结合思想 【例题7】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质得到，代数求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，得到，推出，，得到，，当最大时，最大，过点作于，当最大时，最大，由，得到当时，，根据三角形面积公式求出面积的最大值． 【详解】解：连接， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当最大时，最大， 过点作于， 当最大时，最大， ， 当时， ，此时， 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，相似与动点问题，正确掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，于D，E为上一点，过点E作于F，且，连接交于G，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，过点B作，过点A作于点K，交延长线于点H，证明四边形是正方形，进而得出，，求出，结合求出，利用求出正方形边长，再根据求出结论． 【详解】解：如图，过点B作，过点A作于点K，交延长线于点H， ， 四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， 延长到点L，使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点沿以每秒个单位长度的速度向点运动，交于点，交于点，设运动时间为()并且． (1)求证：； (2)求为何值时，四边形为菱形； (3)连接，若以、、为顶点的三角形与相似，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)时，四边形为菱形 (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质； （1）根据平行线的性质得，，则根据相似三角形的判定方法可判断； （2）勾股定理求得，进而证明根据相似三角形的性质可得，，根据菱形的性质可得，建立方程，解方程即可求解； （3）根据相似三角形的性质得出，，进而根据，得出或，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴； （2）在中，，，， ∴， 依题意，，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即时，四边形为菱形． （3）∵， ∴． ∴，又， ∴，则，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴当，，则， ∴， 解得： 当，， 即 解得： 综上所述，或． 题型六 两个易错 易错1：相似三角形对应关系不明确时，易因考虑问题不全面导致漏解 【例题8】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，D为的边上一点，若，，，在边上取一点E，使与相似，则的长为（    ）    A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：如图，，，，    ①若对应时，，即， 解得：； ②当对应时，，即， 解得：． 故选C． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点．便得与原三角形相似，则的长是（    ） A．2.4 B． C．2.4或 D．2.4或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键．由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，的长是或， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，当P在C的左边时，则有，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可；当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则，证明，得到，根据，得到，则，，据此可得答案. 【详解】解： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴， 综上：P的坐标为：或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，的面积为，，，∠B为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，求正方形的边长； (2)如果点F在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作，根据 平行四边形的面积可求出，进一步得∴，即可推出是等腰三角形；根据正方形和等腰三角形的对称性可得，证得，即可求解； （2）分类讨论当点G在对角线上时，当点G在内部时，两种情况，画出图形即可求解； 【详解】（1）解：作，如图所示： ∵， ∴； ∵， ∴ ∴垂直平分， ∴，即是等腰三角形 ∵四边形是是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 即：正方形的边长为 （2）解：当点G在对角线上时， 由（1）得：， ∵， ∴，满足题意， 此时：； 当点G在内部时， 若，则有； ∴ 由（1）得：， ∴ 设，则， ∴ ∴， 解得：， ∴ 综上所述：的长为或 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，需要学生具备扎实的几何基础，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 易错点2：位似时，易忽略对所画图形在位似中心的同侧和异侧的讨论而导致漏解 【例题9】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查坐标与位似，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系，是解题的关键．根据位似比等于相似比，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：相似比为， 位似比为， 当位似图形在原点的同侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 当位似图形在原点的异侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 综上：的坐标为或； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 相似形重难点题型复习 题型一 相似图形的有关概念 【例题1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·重庆）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 【变式3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； (2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 题型二 相似图形的有关性质 【例题2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形四边形，，，求和的长． 题型三 相似三角形的判定 【例题3】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 题型四 相似三角形的应用 【例题4】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 题型五 三种数学思想 思想1：转化思想 【例题5】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在，上，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N． (1)若，求的值； (2)求证：． 思想2：分类讨论思想 【例题6】（24-25九年级上·河南新乡）两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是 秒． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 思想3：数形结合思想 【例题7】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，于D，E为上一点，过点E作于F，且，连接交于G，若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点沿以每秒个单位长度的速度向点运动，交于点，交于点，设运动时间为()并且． (1)求证：； (2)求为何值时，四边形为菱形； (3)连接，若以、、为顶点的三角形与相似，求的值． 题型六 两个易错 易错1：相似三角形对应关系不明确时，易因考虑问题不全面导致漏解 【例题8】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，D为的边上一点，若，，，在边上取一点E，使与相似，则的长为（    ）    A．2 B． C．2或 D．2或 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点．便得与原三角形相似，则的长是（    ） A．2.4 B． C．2.4或 D．2.4或 【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，的面积为，，，∠B为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，求正方形的边长； (2)如果点F在边上，且与相似，求的长． 易错点2：位似时，易忽略对所画图形在位似中心的同侧和异侧的讨论而导致漏解 【例题9】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$