第09讲 对数（5大知识点+3种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第09讲 对数 课程标准 学习目标 1.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 2.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 3．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 1.理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. 4．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 5．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点) 知识点01 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 【即学即练1】（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则　 　． 知识点02常用对数与自然对数 【即学即练2】（1）（浦东新区校级期末）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是　　 A．首数为，尾数为0.1476 B．首数为，尾数为0.8524 C．首数为，尾数为0.8524 D．首数为，尾数为0.1476 （2）（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 知识点03对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点04 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即学即练3】（1）（2024春•浦东新区校级期末）若，则　　． （2）（2024春•黄浦区校级期末）已知，用的代数式表示　　． 知识点05对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 【即学即练4】（1）（24-25高一上·上海·随堂练习） ． （2）（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 题型01 指数式与对数式的互化 【解题策略】 求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤 1设logaN＝m； 2将logaN＝m写成指数式am＝N； 3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 1．（2020秋•嘉定区期中）若且，将指数式转化为对数式为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•闵行区校级期中）若，则　 　． 3．（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则　 ． 4．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，则　 　． 题型02 对数运算性质的应用 【解题策略】 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 二、填空题 4．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 三、解答题 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 6．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求的值. 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知及是不为的正数，且.求证：. 9．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 对数的换底公式 【解题策略】 1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． 2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等． 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，用表示 . 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，，则 .（用、表示） 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 二、解答题 6．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（a、b、c均为不等于1的正数）； (3)； (4). 10．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，用a，b表示． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 13．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； (2)若，且，求实数m的值． 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 16．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•嘉定区期末）已知，，试用，表示　 　． 2．（2023秋•虹口区期末）若实数和满足，则　　． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，则　　．（用数字作答） 4．（2023秋•浦东新区校级期末）记，那么　　． 5．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，，用及表示　　． 6．（2023秋•普陀区校级期中）若，是方程的两个根，则　　． 7．（2023秋•嘉定区校级期中）若，，，则　　． 8．（2023秋•杨浦区校级月考）设方程，的两个实数根为和，则　　 9．（2023秋•浦东新区校级期末）设，且满足，则　　． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则的值为 　　． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）已知，，若．则的取值范围是 　　． 12．（2022秋•长宁区校级期末）设，，且，则的最大值为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•黄浦区期中）若与互为相反数，则有　　 A． B． C． D．以上答案均不对 14．（2023秋•奉贤区期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是　　 A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 15．（2023秋•闵行区期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，，则的估算值为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•杨浦区校级期中）若，则下列各式的值等于1的是　　 A． B． C． D． 三．解答题（共6小题） 17．（2023秋•虹口区期末）已知为实数，设集合． （1）当时，用区间表示集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 18．（2023秋•浦东新区校级期中）（1）若，求． （2）已知，，试用，表示． 19．（2022秋•静安区期中）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求关于的表达式． 解：由已知，得，，故． 请解答下列问题： 已知变量，满足关系；． （1）求关于的表达式并写出变量的取值范围； （2）若，求的值． 20．（2022秋•奉贤区校级期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； （2）请你运用（1）中的对数运算性质计算的值． 21．（2023秋•静安区校级期中）（1）已知，，用、表示； （2）已知，，，，，求的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，，试用、表示求． 22．（2022秋•杨浦区校级期中）已知，是方程的两个实根， （1）设，用表示的值； （2）求关于的不等式的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 对数 课程标准 学习目标 1.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 2.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 3．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 1.理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. 4．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 5．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点) 知识点01 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 【即学即练1】（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则　 　． 【分析】将等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于和的方程，求出和，即可得到所求． 【解答】解：， ，即①，又②， 联立①②得或者， 即或者， 或者， 故答案为：4或5． 【点评】本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题． 知识点02常用对数与自然对数 【即学即练2】（1）（浦东新区校级期末）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是　　 A．首数为，尾数为0.1476 B．首数为，尾数为0.8524 C．首数为，尾数为0.8524 D．首数为，尾数为0.1476 【分析】根据对数的运算规则，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项． 【解答】解： ，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数 故选：． 【点评】本题主要考查了对数的概念，以及首数和尾数的概念，属于基础题． （2）（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质可得答案. 【详解】. 故答案为：. 知识点03对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点04 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【即学即练3】（1）（2024春•浦东新区校级期末）若，则　　． 【分析】利用对数运算法则直接计算即可． 【解答】解：，则，故． 故答案为：64． 【点评】本题考查对数的运算法则，属于基础题． （2）（2024春•黄浦区校级期末）已知，用的代数式表示　　． 【分析】利用换底公式将已知的等式进行变形，得到，再利用换底公式化简即可． 【解答】解：， 故， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了对数的运算性质以及换底公式的应用，属于基础题． 知识点05对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 【即学即练4】（1）（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】根据换底公式运算即可. 【详解】. 故答案为：. （2）（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【分析】利用换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：1 题型01 指数式与对数式的互化 【解题策略】 求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤 1设logaN＝m； 2将logaN＝m写成指数式am＝N； 3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 1．（2020秋•嘉定区期中）若且，将指数式转化为对数式为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用指数式和对数式的转化法则，计算求得结果． 【解答】解：若且，将指数式转化为对数式为， 故选：． 【点评】本题主要考查指数式和对数式的转化，属于基础题． 2．（2023秋•闵行区校级期中）若，则　　． 【分析】把指数式化为对数式即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数式化为对数式，属于基础题． 3．（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则　4或5　． 【分析】将等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于和的方程，求出和，即可得到所求． 【解答】解：， ，即①，又②， 联立①②得或者， 即或者， 或者， 故答案为：4或5． 【点评】本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题． 4．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，则　2　． 【分析】根据题意，由指数式与对数式的转化关系可得，，进而可得，，由对数的运算性质即可得答案． 【解答】解：根据题意，， 则，， 则，， 则， 故答案为：2． 【点评】本题考查对数的运算性质以及换底公式的应用，注意先用对数式表示、． 题型02 对数运算性质的应用 【解题策略】 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 【答案】A 【分析】对于①：根据三角形的性质结合作差法分析判断；对于②：举反例结合对数运算判断. 【详解】不妨设，则，即， 对于①：显然，则， 因为，可得， 所以以、、为边长的三角形一定存在，故①正确； 对于②：例如，此时，符合题设， 但， 所以、、不能构成三角形，故②错误； 故选：A. 二、填空题 4．（21-22高一上·湖南·期末）若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 三、解答题 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 6．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求的值. 【答案】2 【分析】根据指对数转化得出对数式，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为，所以, 因为，所以, 所以 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知及是不为的正数，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对于要证明的表达式，两边取以为底的对数后进行证明即可. 【详解】由，则， ， 于是，命题得证 9．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型03 对数的换底公式 【解题策略】 1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． 2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等． 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，用表示 . 【答案】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 【答案】 【分析】转化为一元二次方程求出a和b，然后由对数运算求解可得. 【详解】令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以. 同理可求时，结果也为， 故答案为： 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，，则 .（用、表示） 【答案】 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】2 【分析】利用对数式和指数式之间的转化和换底公式求解即可, 【详解】， ， ， 则. 故答案为：2 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 【答案】 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 二、解答题 6．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（a、b、c均为不等于1的正数）； (3)； (4). 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）运用换底公式计算即得； （2）利用换底公式化简即得； （3）运用幂的运算法则和换底公式计算即得； （4）运用换底公式和对数运算性质计算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，用a，b表示． 【答案】 【分析】由对数的运算得出，进而得出，，最后由换底公式求解即可. 【详解】依题意，由，即，可得， 则 所以． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 13．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【答案】（1）；（2）或；（3）（4） 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； (2)若，且，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法，对与相减，化简进而得解； （2）先用表示出，，代入，从而得解. 【详解】（1）解：因为， 又a，b均为正实数， 所以， 所以， 即； （2）因为， 所以，， 因为， 所以，即， 因为， 故. 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【答案】（1）1; （2） 【分析】（1）先把已知式子平方得出，再结合对数运算律求解即可； （2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示. 【详解】（1）, . （2） . 16．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•嘉定区期末）已知，，试用，表示　　． 【分析】利用对数的运算性质把要求的式子化为，再把已知条件代入求得结果． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 2．（2023秋•虹口区期末）若实数和满足，则　1　． 【分析】由，化为对数式，代入即可得出． 【解答】解：由， 可得，． 则． 故答案为：1． 【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，则　6　．（用数字作答） 【分析】结合指数与对数的转化及指数幂的运算性质即可求解． 【解答】解：因为，，即， 则． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及指数幂的运算性质，属于基础题． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）记，那么　1　． 【分析】由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质即可求解． 【解答】解：因为， 所以 ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了对数的换底公式及对数运算性质的应用，属于基础题． 5．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，，用及表示　　． 【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解． 【解答】解：因为，所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 6．（2023秋•普陀区校级期中）若，是方程的两个根，则　1　． 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果． 【解答】解：根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系及对数运算性质，属于基础题． 7．（2023秋•嘉定区校级期中）若，，，则　11　． 【分析】利用指数式与对数式的互化公式和对数的运算法则求出，，由此能求出结果． 【解答】解：，，， ，， 则． 故答案为：11． 【点评】本题考查指数式与对数式的互化公式和对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．（2023秋•杨浦区校级月考）设方程，的两个实数根为和，则　　 【分析】转化为一元二次方程求出和，然后由对数运算求解可得． 【解答】解：令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以． 同理可求，时，结果也为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）设，且满足，则　　． 【分析】设，对数式化为指数式，转化成关于的方程即可． 【解答】解：设， 则，，，即，， 将方程两边同时除以，得，即， 则，即． 故答案为：． 【点评】本题考查指数式和对数式的转化属于中档题． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则的值为 　150　． 【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可． 【解答】解：因为，，所以． 故答案为：150． 【点评】本题考查的知识要点：指数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）已知，，若．则的取值范围是 　，　． 【分析】由，可得：，，而，设 ，利用“待定系数法”即可得出． 【解答】解：由，可得，， 而， 设， ，解得，， ， ， 即的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了不等式的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2022秋•长宁区校级期末）设，，且，则的最大值为 　2　． 【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出． 【解答】解：，，且，，解得，当且仅当时取等号． 则，因此其最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•黄浦区期中）若与互为相反数，则有　　 A． B． C． D．以上答案均不对 【分析】由题意及对数的运算性质可得，选出答案． 【解答】解：因为与互为相反数，所以， 即， 所以． 故选：． 【点评】本题考查对数的运算性质的应用，属于基础题． 14．（2023秋•奉贤区期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是　　 A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 【分析】由已知结合三角形的三边关系及对数的运算性质进行检验即可． 【解答】解：由题意得，，，， ①：， 所以，①正确； ②因为，但与的大小无法判断， 而，与的大小无法确定，②错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了命题的真假关系的判断，属于基础题． 15．（2023秋•闵行区期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，，则的估算值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，两边同时取对数得：，再结合对数的运算性质求解即可． 【解答】解：设，两边同时取对数得：， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题． 16．（2023秋•杨浦区校级期中）若，则下列各式的值等于1的是　　 A． B． C． D． 【分析】将指数化为对数，然后利用对数运算性质及换底公式求解即可． 【解答】解：因为， 所以，， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查指数和对数的相互转化，考查对数的运算性质，属于基础题． 三．解答题（共6小题） 17．（2023秋•虹口区期末）已知为实数，设集合． （1）当时，用区间表示集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据题意，解关于的不等式，即可得到集合的区间形式； （2）先化简集合，然后根据是的子集，列式算出实数的取值范围． 【解答】解：（1）当时，集合中的不等式为，即， 解得，所以集合，； （2）根据题意，可得， 若，则是不等式的一个解， 故，解得，实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系等知识，考查了计算能力，属于基础题． 18．（2023秋•浦东新区校级期中）（1）若，求． （2）已知，，试用，表示． 【分析】（1）对两边平方，化简整理即可得出，结合对数与指数运算性质即可得出结论． （2）利用对数恒等式、对数运算性质即可得出结论 【解答】解：（1）， ， ． （2），， ． 【点评】本题考查了对数恒等式、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 19．（2022秋•静安区期中）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求关于的表达式． 解：由已知，得，，故． 请解答下列问题： 已知变量，满足关系；． （1）求关于的表达式并写出变量的取值范围； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据指数式和对数式的互化即可写出关于的表达式； （2）时，可得出，然后利用换底公式即可求出的值． 【解答】解：（1）由已知，， ，； （2）时，， ， ， 解得或2， 或4． 【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题． 20．（2022秋•奉贤区校级期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； （2）请你运用（1）中的对数运算性质计算的值． 【分析】（1）设，化为指数式，取对数即可得出． （2）利用（1）中的性质计算可得． 【解答】解：（1）证明：因为，且，，设，所以， 所以， 所以，即． （2）． 【点评】本题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题． 21．（2023秋•静安区校级期中）（1）已知，，用、表示； （2）已知，，，，，求的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，，试用、表示求． 【分析】利用对数的运算性质以及对数的换底公式分别对（1）（2）（3）（4）化简即可求解． 【解答】解：（1）由题意； （2）因为，所以， 因为，所以， 设，则，即，解得或， 则或，所以或； （3）因为，则， 所以； （4）由题意可得， 则． 【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到对数的换底公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题． 22．（2022秋•杨浦区校级期中）已知，是方程的两个实根， （1）设，用表示的值； （2）求关于的不等式的解集． 【分析】（1）利用韦达定理求，，即可得出答案； （2）由（1）得，题意转化为，利用对数的运算性质，求解即可得出答案． 【解答】解：（1），是方程的两个实根， 由韦达定理得， ， ， 故； （2）由（1）得， ，即， 又函数是上单调递增函数， ，解得， 故关于的不等式的解集为． 【点评】本题考查对数的运算性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$