专题09指数函数性质归类（5基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第二册）

专题09 指数函数性质归类 经典基础题 题型1图像基础：一点一线 1．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是 . 题型2指数函数“识图” 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24高一上·浙江·期中）函数 的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·湖南·期中）函数的图象大致为（    ） A．B． C．  D．   4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   5．（23-24高二下·福建福州·期中）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 题型3 解指数不等式 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高一上·湖北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一安徽滁州期中）已知函数，则（    ） A．若的定义域为R，则a的取值范围是 B．若的值域为，则a的取值范围是 C．若，则的单调递增区间是 D．若，且，则 5． （23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 题型4 复合型指数函数单调性 1．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 4．（23-24高一上·广东·期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（    ） A． B． C． D． 6． （23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数且，若，则的单调递增区间为 ． 题型5 复合型指数函数值域与最值 1．（20-21高一上·全国·期中）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 2．（23-24高一·全国·期中）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 5．（22-23高一上·福建莆田·期中）写出一个定义域为，值域为的函数 . 优选提升题 题型01一元二次复合型指数函数最值 1．（21-22高一上·山东济南·期中）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖南益阳·期中）当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·重庆合川·期中）已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（    ） A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1 4．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则实数k的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 5．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 题型02 指数反比例型函数 1．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·浙江·期中）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，则 ． 题型03 “相等”型存在恒成立求参 1．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·上海浦东新·期中）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·山西·期中）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C．函数，若不等式对恒成立，则范围为． D．函数在上的值域为 5．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 题型04 取整型指数函数应用 1．（2020·四川眉山·二模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0x2)，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 2．（2021·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 4．（23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ） A．在上是增函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．的值域是 5．（23-24高一上·吉林四平·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为 . 题型05 二次复合型指数函数零点 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·海南海口·期中）已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）设函数，集合，则下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则的取值范围为 D．若（其中），则 5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数，关于x的方程有六个不等的实根，则实数a的取值范围是 . 题型06 比大小 1．（21-22高一上·广东广州·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·天津·期中）设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二下·湖南娄底·期中）已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·湖南娄底·期中）已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 专题07 中心对称型指数恒成立求值 1．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，则 ． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，则（       ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 专题08 水平线型零点求范围 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·浙江湖州·期中）已知函数，若关于的方程（）有三个不相等的实数根,且，则的值为（    ） A． B． C． D． 专题09综合题 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义域为R的函数满足，当时，.若，使成立，则的最小值为 ． 2．（23-24高一下·湖南·期中）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（12-13高三下·山东临沂期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高一上·湖北·期中）设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高一上·全国·期中）对函数，若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 指数函数性质归类 经典基础题 题型1图像基础：一点一线 1．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 2．（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的相关知识，找到该函数与轴的交点坐标,并结合单调性，只需该点的纵坐标小于等于0即可. 【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由及当时函数值的特征判断即可. 【详解】函数的定义域为且， 故为偶函数，函数图象关于轴对称， 因为，故排除C、D； 当时，故排除A. 故选：B 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 5．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质，求出函数的取值范围即可得解. 【详解】函数在R上单调递减，而，则，即， 由函数的图象与轴有交点，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型2指数函数“识图” 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 2．（23-24高一上·浙江·期中）函数 的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助函数的奇偶性、可排除AC，再代入特殊值，借助函数的正负排除B. 【详解】的定义域为， ， 为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误； 故B错误. 故选：D. 3．（23-24高一·湖南·期中）函数的图象大致为（    ） A．B． C．  D．   【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC， 当时，，排除选项B， 故选：D 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果. 【详解】根据题意，由指数函数性质可知 当时，函数单调递减，且， 若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D； 当时，函数，图象可能是C； 当时，函数单调递增，且， 此时交轴正半轴，函数图象可以为B； 故选：BCD 5．（23-24高二下·福建福州·期中）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 【答案】② 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 题型3 解指数不等式 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：D 2．（23-24高一上·重庆·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数为非负数，再由指数函数的单调性求出即可. 【详解】由题意得， 则定义域为. 故选：C 3．（18-19高一上·湖北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶次根式被开方数非负得出，然后利用指数函数的单调性可解出该不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了指数不等式的计算，考查计算能力，属于基础题. 4．（23-24高一安徽滁州期中）已知函数，则（    ） A．若的定义域为R，则a的取值范围是 B．若的值域为，则a的取值范围是 C．若，则的单调递增区间是 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】首先化简根式内得，由含根式函数的定义域结合指数运算即可判断A；由值域为R，可得，则B可判断；由复合函数的单调性结合根式的定义域即可判断C；化简可得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 若的定义域为R，则，，A正确； 对于B，若的值域为，则，，B错误； 对于C，令，由得， 由复合函数的单调性知的单调递增区间是，C正确； 对于D，由及， 可得，， 又，所以，，D错误． 故选：AC． 5．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质得到不等式，解二次不等式，得到定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 题型4 复合型指数函数单调性 1．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：D. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合函数的性质可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，故A正确；     对于B，函数为偶函数，证明：设，定义域为关于原点对称， 且，则为偶函数，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递减， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 所以函数在上单调递减，故C正确；     对于D，因为为偶函数，且的值域为， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 则函数的值域为，故D错误. 故选：D. 4．（23-24高一上·广东·期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复合函数的单调性计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，上单调递减， 函数在R上单调递增， 根据复合函数的单调性可得：的单调递增区间为，单调递减区间为． 显然选项A、C对应集合是的真子集，选项D对应集合是的真子集， 故A、C、D正确，B错误. 故选：ACD 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数且，若，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】化简函数，求出的范围，即可得出的单调递增区间. 【详解】由题意， 在且中， ， ∵， ∴，函数在上单调递增，在上单调递减， ∴的单调递增区间为， 故答案为：. 题型5 复合型指数函数值域与最值 1．（20-21高一上·全国·期中）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即 ，解得.综上所述，或. 故选：C. 2．（23-24高一·全国·期中）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可. 【详解】， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以的值域为， 故选：C 4．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】的定义域为，代入化简可判断奇偶性，从而判断A；令，由对勾函数的性质分析单调性，结合复合函数的单调性，可求出的单调区间，可判断B；结合单调性可求出的最值以及值域，从而判断CD. 【详解】由题知，的定义域为，且， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确. 令， 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为增函数，当时，为减函数； 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为减函数，当时，为增函数； 函数为增函数，由复合函数的单调性可知，的递增区间为（不能用联结），故B错误，. 由函数的单调性可知，函数在上有最小值，且最小值为，故C错误. 函数的值域是，故D正确. 故选：AD. 5．（22-23高一上·福建莆田·期中）写出一个定义域为，值域为的函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的定义域和值域考虑指数型函数且都可以. 【详解】因函数在上的值域为， 结合常见的基本初等函数，可考虑指数型函数：. 故答案为：（答案不唯一） 优选提升题 题型01一元二次复合型指数函数最值 1．（21-22高一上·山东济南·期中）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答. 【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为. 故选：B 2．（22-23高一上·湖南益阳·期中）当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令且，则函数转化为，进而求出二次函数在上的值域即可. 【详解】令，因为，所以，则，且对称轴为，开口向上，所以时单调递减，时，单调递增，时，，时，，故函数的值域为， 故选：A 3．（22-23高一上·重庆合川·期中）已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（    ） A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1 【答案】B 【解析】令，根据的范围，求出的范围，得到，通过讨论的范围，得到关于的方程，解出即可. 【详解】令，，是单调递增函数，， 则，， 当时，，故舍去； 当时，二次函数，对称轴为 当时，二次函数开口向上，在上单减，在上单增，所以，故符合； 当时，二次函数开口向下，在上单增，在上单减，所以；，故符合； 综上：或. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查函数求值域问题，常用的方法有： （1）图像法(针对二次函数和三角函数) （2）配方法（针对二次函数） （3）分离常数法 (形如函数，分子分母最高次一致) （4）换元法（注意换元之后的范围） 4．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则实数k的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】利用换元法将复合函数的最值转化为二次函数的最值，根据最值待定系数，再将与的图象交点个数转化为二次方程根的分布问题求解的范围即可. 【详解】令， 则，且的值域即为的值域. 由，则的图象开口向上，且对称轴为，则在单调递增， 故，，解得，， 故，因为函数与函数图象在上有两个不同的交点， 则方程，即在有两个不等的实数根， ，则，即关于的方程在有两个不等的实数根， 令，则图象开口向上，对称轴为， 且，则有，解得，故选：BC. 5．（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 题型02 指数反比例型函数 1．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，结合，得出方程，即看求解. 【详解】由函数，可得， 因为是奇函数，所以，即， 解得. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江·期中）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用奇函数的性质解得，再解不等式即可 【详解】因为是奇函数， 所以，，解得 即，解得 故选：D 3．（23-24高一上·福建福州·期中）设函数且表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先令，再分、和三种情况求解即可. 【详解】设， 则， 又，所以，即， 所以， 因为，所以，故. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 综上所述，函数的值域是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数，将所求函数的值域转化为求的值域，再分类讨论即可得解. 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数解析式先求出，然后可求得结果. 【详解】∵ ， ∴． 故答案为：1． 题型03 “相等”型存在恒成立求参 1．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知的值域是的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值为， 因为，，所以的最大值为， 所以的值域为， 因为在上递增， 所以的值域为， 因为对，使得， 所以是的子集， 所以，解得， 即的取值范围 故选：D 2．（23-24高一·上海浦东新·期中）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围. 【详解】当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以在上的值域， 当时，，①当时，在上递增， 所以的值域为，由题意得，得， 因为，所以， ②当时，，则在上递增，所以的范围为， 在上递减，所以的范围为，由题意得，得， 因为，所以，综上，实数的取值范围为，故选：D 3．（20-21高一上·山西·期中）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可. 【详解】对任意的，存在，使得， 即在上的值域是在上的值域的子集， ， 当时，， 在上单调递增，的值域为， 又在上单调递减，的值域为：， ， ，方程无解 当时，，在上单调递减，的值域为 的值域为：， ，解得当时，，显然不满足题意. 综上，实数的取值范围为故选：D. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集. 4．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C．函数，若不等式对恒成立，则范围为． D．函数在上的值域为 【答案】BCD 【分析】对于A，由是减函数以及题意得在区间上是减函数即可判断；对于B，根据函数奇偶性即可求解，进而依据题意即可求解；对于C，先简化不等式和分离参数得，再利用基本不等式结合题意即可求解；对于D，将函数转化成一元二次型即可依据自变量范围即可求解判断. 【详解】对于A，因为是减函数， 而函数在区间上是增函数， 则在区间上是减函数，显然当时符合，故A错； 对于B，因为定义在上的偶函数在上单调递增，且， 则由偶函数图像特征得在上单调递减，且， 所以当，则，， 又因为对恒成立，故，故B对； 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即即即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，， 当时，，所以，故， 所以，故D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解含参函数不等式恒成立问题可分离参数将不等式恒成立问题转换成最值问题求解. 5．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由在上的值域是在上的值域的子集求解. 【详解】解：由题意可知在上单调递增，则在上的值域是， 当时，在上单调递减，则在上的值域是. 因为，，，所以解得. 当时，在上单调递增，则在上的值域是. 因为，所以解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为： 题型04 取整型指数函数应用 1．（2020·四川眉山·二模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0x2)，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【答案】B 【分析】令，换元后求得函数的值域，再根据高斯函数定义得的值域． 【详解】令t＝2x，t∈(1，4)，则g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－≤f(t)，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义函数，确定求新函数值域的方法．即先求得函数的取值范围，再求函数的范围． 2．（2021·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域． 【详解】，显然，， 所以的值域是， 当时，， 时，，当时， 所以所求值域是． 故选：C． 3．（21-22高一·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【答案】B 【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案. 【详解】, 令，令， 二次函数开口向上，对称轴为，， 所以，也即. 所以. 故选：B 4．（23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ） A．在上是增函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．的值域是 【答案】BC 【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD. 【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增， 且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确； ∵，， ∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； ∵，∴，，，∴， 即，∴，故C错误，D正确. 故选：BC 5．（23-24高一上·吉林四平·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用指数函数性质求得的值域，然后再由高斯函数定义得结论． 【详解】，又， 则，则函数的值域为. 故答案为：. 题型05 二次复合型指数函数零点 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． 2．（22-23高一下·海南海口·期中）已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程的根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组解出的范围. 【详解】作出的函数图象如下： 设， 则当或时，方程只有1解， 当时，方程有2解， 当时，方程有3解， 当时，方程无解. 因为关于的函数有6个不同的零点， 所以关于的方程在上有两解， 所以，解得. 故选：B． 3．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】∵为减函数，又， ，即，又为增函数，且， ，∴，故选：D 4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）设函数，集合，则下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则的取值范围为 D．若（其中），则 【答案】ABD 【分析】当时，求出方程的解，可判断A选项；当时，由可判断B选项；令，，利用二次函数的零点分布求出的取值范围，可判断C选项；利用图象的对称性结合指数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，由可得， 又因为，当时，，此时，方程无解， 当时，由，解得，即，A对； 对于B选项，令，由可得， 当时，对于关于的方程，， 故方程无解，即，B对； 对于C选项，作出函数的图象如下图所示：    令，令，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若，对于函数，函数必有两个不等的零点， 设函数的两个不等的零点分别为、，且，则，即， 由韦达定理可得，则，有以下几种情况： ①，则，可得， 令，可得，，合乎题意； ②，则，解得； 综上所述，当时，实数的取值范围是，C错； 对于D选项，若，因为，则方程只有一根，    则方程必有三个不相等的实根，结合图象可知，， ，且有，所以，，可得， 由可得，可得， 因此，，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数，关于x的方程有六个不等的实根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程变形为或，其中可解得两个根，因此应有4个根，作出函数的图象与直线，由图象得它们有4个交点时的参数范围． 【详解】，则或， ，，即有两个根， 因此应有4个根， 作出函数的图象与直线， 由图象可知，当时满足题意， 故答案为：． 题型06 比大小 1．（21-22高一上·广东广州·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，，然后再由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小 【详解】∵，且，为增函数， 又，,∴， 又为增函数，且， ，∴， 故选：B． 2．（22-23高一上·天津·期中）设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性及中间值比较大小. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，， 即， 因为，所以，即， 综上：. 故选：A 3．（20-21高二下·湖南娄底·期中）已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，，然后再由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小 【详解】解：∵，且， 为增函数，又，∴， 又为增函数，且，，∴，故选：B． 4．（20-21高一上·湖南娄底·期中）已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把各个数都转化为的形式，结合幂函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】，又在上是增函数，且，. 故选：D. 专题07 中心对称型指数恒成立求值 1．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】先由计算出，借助与关系的判断函数的性质，借助函数的性质即可解决问题. 【详解】由， 则， 有， 故， 故答案为：. 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得出关于点中心对称，从而得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即有， 所以关于点中心对称，又， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：B. 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用奇偶性定义判断出为上的奇函数，根据的单调性得出的单调性，再结合单调性、奇偶性解不等式可得答案. 【详解】因为是上的单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 令， 时，， 所以为上的奇函数， 因为是上的单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 则，即， 可得，即. 所以错误，不一定成立，错误， 所以，而的正负不确定，故错误. 故选：A. 13．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 【答案】A 【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假. 【详解】令，. 因为，所以是奇函数， 易知幂函数在R上增函数，因此也在R上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意且， 则 ， 由且知，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又. 对一命题①：当时，，故，又，所以， 所以，则 ， 即成立，故命题①真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为也在R上增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②真命题. 故选：A. 专题08 水平线型零点求范围 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分类讨论的范围，再结合基本不等式即可得到的范围. 【详解】因为函数，若，不妨设， 当时，由，可得，即，不成立； 当时，由，可得，即，不成立； 当时，由，可得，则， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 且，所以等号取不到，则. 故选：A 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合可得，，，且，再由，可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】函数的图象如下所示： 因为，且，令， 则，由图可知，，，且、关于对称， 所以，又，则，所以，因为，所以，即的取值范围是.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是数形结合得到、，从而将目标式子转化为关于的函数. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分类讨论的范围，再结合基本不等式即可得到的范围. 【详解】因为函数，若，不妨设， 当时，由，可得，即，不成立； 当时，由，可得，即，不成立； 当时，由，可得，则， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 且，所以等号取不到，则. 故选：A 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合可得，，，且，再由，可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】函数的图象如下所示： 因为，且，令， 则，由图可知，，，且、关于对称， 所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是数形结合得到、，从而将目标式子转化为关于的函数. 5．（21-22高一上·浙江湖州·期中）已知函数，若关于的方程（）有三个不相等的实数根,且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由，利用韦达定理求解. 【详解】因为函数图像如下： 令，则有两个不等的实数根，， 由韦达定理知：, 则，，所以， ，，，. 故选：A 专题09综合题 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义域为R的函数满足，当时，.若，使成立，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】设，根据单调性的定义法证明在上单调递增，进而得出在上单调递增.根据已知范围，结合不等式的性质得出，结合已知，将不等式转化为.根据已知推得，即可根据函数的单调性，得出不等式.换元根据的单调性，即可得出答案. 【详解】设，，且，则. 因为，，所以，，，所以，，， 所以，在上单调递增.因为，所以，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.又，当且仅当，即时，等号成立.所以，. 又，所以.所以，当时，. 因为，所以，，所以，，所以，. 由已知，可得，所以，. 所以由可得，.又， 所以，，所以，.因为，所以. 又，根据函数的单调性可知，，所以，.令，则，所以.设，因为函数与在均为增函数， 所以，在也是增函数，所以，. 所以，，所以的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】方法点睛：求解抽象函数不等式时，一般需要考虑函数的奇偶性（或对称性）以及单调性.根据函数的奇偶性（或对称性），将不等式转化为的形式（或），即可根据函数的单调性，得出不等式. 2．（23-24高一下·湖南·期中）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若，当时，在上单调递增， 此时，则，又不成立， 所以此时不成立，排除选项D； ②若 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则函数的值域，满足；排除选项A； ③若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则解得. 综上所述：. 故选：C. 【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用. 3．（12-13高三下·山东临沂期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 因为，所以，即. 在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）. 由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为， 因此，为使时，恒成立， 需，即，解得或，故选C 【点睛】解答本题的关键，是弄清在不同区间上，函数解析式之间的关系，由于，说明时函数的图象，是时函数的图象，沿轴向左平移个单位，然后纵坐标缩短到原来的，因此函数的最小值得以确定.本题较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想、基本运算能力. 4．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，把化为，并将它视为a的函数，利用对勾函数的性质求得，再构造函数，利用对勾函数求解作答. 【详解】由，，得，，于是， ，令， 函数在上递减，在上递增，显然， 因此，令函数，， 令，在上单调递减，在上单调递增， 而，即，于是， 因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可. 5．（22-23高一上·湖北·期中）设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围. 【详解】令，则，故，而， 所以且， 令，则，故，而， 所以且， 结合已知：且时，而， 对且，，即随增大依次变小， 要使对任意都有，令，则且， 则上，且上， 当时，令，则，解得或， 综上，要使对任意都有，只需. 故选：C 【点睛】关键点点睛：注意总结归纳且，随k的变化趋势，进而找到的对应区间，再求出该区间右侧区间中的自变量. 6．（2023高一上·全国·期中）对函数，若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简的解析式，对进行分类讨论，根据函数的单调性以及三角形的知识求得的取值范围. 【详解】由三角形的性质可知：构成三角形三边的长必须且只需满足：任意两边之和大于第三边； 则由已知函数， 由题意，恒成立，即， ①若，则为增函数，， 又，故，所以， 所以值域为， 又知三角形两边之和大于第三边，故应有，解得； ②若，则为减函数，，同理值域为， 同理，有，得； ③若，则，三角形是边长为的等边三角形，符合题意. 综上，得的取值范围为； 故选：D 题型 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$