专题2.4 对称图形—圆全章十四类必考点（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题2.4 对称图形—圆全章十四类必考点 【苏科版】 【考点1 圆的相关概念及性质】 1 【考点2 垂径定理的运用】 3 【考点3 圆心角、弧、弦的关系】 4 【考点4 圆周角定理】 6 【考点5 圆内接四边形的性质】 8 【考点6 点和圆的位置关系】 10 【考点7 直线和圆的位置关系】 12 【考点8 切线长定理】 13 【考点9 切线的判定与性质综合】 15 【考点10 三角形的内切圆和内心】 17 【考点11 正多边形和圆】 20 【考点12 弧长的计算】 22 【考点13 扇形面积的计算】 23 【考点14 圆锥的侧面积】 26 【考点1 圆的相关概念及性质】 【必备知识】 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【必刷题型】 1．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•惠州校级期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　 　． 5．（2023秋•姑苏区期中）如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若∠AOC＝120°，则∠D的度数是　 　． 6．（2023秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 　 　． 【考点2 垂径定理的运用】 【必备知识】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【必刷题型】 1．（2024•城中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则OE＝　 　． 2．（2023•惠农区二模）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为 　 　． 3．（2023秋•望奎县期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为 　 　cm． 4．（2023秋•望奎县校级期中）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD间的距离为7，若AB＝24，则CD的长为 　 　． 5．（2023秋•西湖区校级月考）如图，PA交⊙O于点B，PB＝4，AB＝4，⊙O的半径为5，则OP的长为 　　． 6．（2023•岳阳县一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°． （1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 　 　； （2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则　 　． 【考点3 圆心角、弧、弦的关系】 【必备知识】 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【必刷题型】 1．（2023秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH． 2．（2023秋•海州区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 3．（2023秋•沂源县期末）AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 4．（2023秋•无锡期中）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E． （1）求证：CD＝CE． （2）求证：． 5．（2024•安徽模拟）如图1，AB是⊙O的弦，点C和点D是⊙O上的点，AD和BC交于点P，AD＝BC． （1）求证：AP＝BP； （2）如图2，若AD⊥BC，点E是上一点且，AE与BC交于点F，求证：BE＝BF． 6．（2023•闵行区二模）如图，在扇形AOB中，点C、D在上，，点F、E分别在半径OA、OB上，OF＝OE，联结DE、CF． （1）求证：DE＝CF； （2）设点P为的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求证：四边形MNED是矩形． 7．（2023秋•硚口区期末）如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 【考点4 圆周角定理】 【必备知识】 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 【必刷题型】 1．（2024•凉州区校级一模）如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A＝20°，则∠BPD的度数为 　 　． 2．（2024•虞城县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　 　． 3．（2024•礼县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED＝　 　． 4．（2024秋•建邺区校级月考）已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点G．求证：FA＝FG． 5．（2023秋•红桥区期末）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC； （Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长． 6．（2023秋•南沙区期末）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 【考点5 圆内接四边形的性质】 【必备知识】 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的外角等于内对角． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则， 【必刷题型】 1．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 　 　． 2．（2024•江都区一模）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E＝　 　°． 3．（2024•滨州三模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠BDC的度数是 　 　． 4．（2024•沁县二模）如图，⊙O中，AB是直径，点C，D，E都在圆周上，连接AE，CE、BD，CD，若∠E＝50°，则∠D的度数为 　 　． 5．（2023秋•凉州区校级期末）如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝100°．若点E在上，求∠E的度数． 6．（2023秋•青铜峡市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，N是弧AC上一点，连接AN和CN，并分别延长AN、DC相交于点M，求证：∠MNC＝∠AND． 7．（2024•拱墅区模拟）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE． （1）求证：BD＝CE； （2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为α，的度数为β． ①当β＝60时，求α的值； ②探索α和β满足的等量关系． 【考点6 点和圆的位置关系】 【必备知识】 点和圆的位置关系：点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 【必刷题型】 1．（2024•河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） A．2r B．r≤3 C．r＜5 D．5＜r 2．（2024•凉山州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（　　） A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4 3．（2024秋•姜堰区校级月考）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　 　． 4．（2024•邗江区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 　 　． 5．（2024•娄星区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且满足∠BAE＝∠CBE，则线段CE的最小值为 　 　． 6．（2024•瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　. 【考点7 直线和圆的位置关系】 【必备知识】 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 【必刷题型】 1．（2023秋•禹城市期末）已知，⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（2023秋•柘城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 3．（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 4．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是　 　． 5．（2023秋•盐池县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是 　 　． 6．（2023秋•望奎县校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足条件　 　时，⊙P与直线CD相交． 【考点8 切线长定理】 【必备知识】 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【必刷题型】 1．（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 2．（2024•凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm． 3．（2023秋•江城区校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为　 　． 4．（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周长＝　 　；∠DOE的度数 　 　． 5．（2023秋•江汉区期末）四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 【考点9 切线的判定与性质综合】 【必备知识】 ①切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 【必刷题型】 1．（2024•仪征市二模）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 2．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 3．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，垂足为H，AH 交⊙O 于点D． （1）求证：直线HC是⊙O的切线； （2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径． 4．（2024秋•天门校级月考）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝5，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径和线段BM的长 5．（2024•凉山州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，DF＝3，求CE长． 6．（2023秋•新余期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切． （2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长． 7．（2024•双峰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若AC＝9，BC＝3，求CD的长． 【考点10 三角形的内切圆和内心】 【必备知识】 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． （1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【必刷题型】 1．（2024秋•海门区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝14，CD＝6，则BE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2023秋•兴隆县期末）已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 3．（2024•邯郸模拟）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 4．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•江汉区二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝20，BC＝21，CA＝13，则下列说法不正确的是（　　） A．∠EDF＝∠A B．∠EOF＝∠B+∠C C．BD＝14 D． 6．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【考点11 正多边形和圆】 【必备知识】 正多边形的性质：（1）正多边形的一个内角等于；（2）中心角：；（3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【必刷题型】 1．（2024•青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（　　） A．90° B．99° C．108° D．135° 2．（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形ABGH有公共边AB，连接CG交EF于点M，则∠HGM的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 3．（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 4．（2024•呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° 5．（2024•沛县校级一模）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　． 6．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　 　． 【考点12 弧长的计算】 【必备知识】 弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则=；对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. 【必刷题型】 1．（2023秋•防城区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 　 　． 2．（2024•二道区校级模拟）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 　　.（结果保留π） 3．（2024•前郭县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则的长度为 　 （结果保留π）． 4．（2024•武威三模）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②，△ABC的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱洛三角形的周长为 　 　cm． 5．（2024•船营区校级模拟）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB＝60°，将扇形AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过的中点E，若，则阴影部分的周长为 　 ． 6．（2024•市北区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，再以点B为圆心，以OB的长为半径作，交半圆于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的周长为 　 　． 7．（2024•固始县校级二模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，分别以CD，CE为轴折叠扇形AOB，点A，B的对应点为M，N两点，若OA＝2，则阴影部分的周长为 　 　． 【考点13 扇形面积的计算】 【必备知识】 扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【必刷题型】 1．（2023秋•青岛期末）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 　　． 2．（2024•绥化模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 　　． 3．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 4．（2023秋•江岸区期末）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F． （1）求证：2OE＝CD； （2）若∠BAD＝30°，AD＝4，求阴影部分的面积． 5．（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 6．（2023秋•碑林区校级期末）如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD∥AC． （1）求证：四边形ACOD是菱形． （2）若，求扇形AOC的面积． 7．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝45°，以BC为直径作半圆，交AC于点D，交AB于点E求； （1）求弧DE的长； （2）求阴影部分的面积． 【考点14 圆锥的侧面积】 【必备知识】 圆锥的侧面积：①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【必刷题型】 1．（2024•天河区校级三模）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 　　． 2．（2024•湖南模拟）如图，已知圆锥底面半径为4cm，其侧面展开图面积是48πcm2，则该圆锥的母线长为 　 　cm． 3．（2023秋•梅里斯区期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角θ为 　 　°． 4．（2024•高邮市校级模拟）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为216°，半径是5cm，那么这个圆锥的底面半径是 　 　． 5．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 6．（2023秋•睢阳区校级月考）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． （1）求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． （2）如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$ 专题2.4 对称图形—圆全章十四类必考点 【苏科版】 【考点1 圆的相关概念及性质】 1 【考点2 垂径定理的运用】 5 【考点3 圆心角、弧、弦的关系】 11 【考点4 圆周角定理】 18 【考点5 圆内接四边形的性质】 24 【考点6 点和圆的位置关系】 31 【考点7 直线和圆的位置关系】 36 【考点8 切线长定理】 40 【考点9 切线的判定与性质综合】 44 【考点10 三角形的内切圆和内心】 55 【考点11 正多边形和圆】 63 【考点12 弧长的计算】 68 【考点13 扇形面积的计算】 74 【考点14 圆锥的侧面积】 83 【考点1 圆的相关概念及性质】 【必备知识】 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【必刷题型】 1．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，可对①进行判断；根据到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上，可对②进行判断；根据半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定，可对③进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径， ∴同一圆上的点到圆心的距离相等， 故①正确； ②∵到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上， ∴如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆， 故②正确； ③∵半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定， ∴③不正确， 综上所述：正确的是①②， 故选：A． 2．（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②半圆是弧，正确，符合题意； ③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意， 正确的有4个， 故选：D． 3．（2023秋•惠州校级期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意； ②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意， 故选：C． 4．（2023秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　 　． 【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝80°，∠OBC＝∠C＝60°，然后计算∠OBA+∠OBC即可． 【解答】解：连接OB，如图， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA＝80°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝60°， ∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°． 故答案为140°． 5．（2023秋•姑苏区期中）如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若∠AOC＝120°，则∠D的度数是　 　． 【分析】利用BD＝AO＝OB，结合等腰三角形的性质及内角和定理求解． 【解答】解：连接OB， ∵BD＝OA，OB＝OA， ∴BD＝AO＝OB， ∴△OBD，△OAB都是等腰三角形， 设∠D的度数是x，则∠BAO＝∠ABO＝x+x＝2x， 则在△AOB中，利用三角形的内角和是180度，可得： 120﹣x+2x+2x＝180， 解得x＝20． 故答案为：20°． 6．（2023秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 　 　． 【分析】如图，连接OB与OE．根据矩形的性质，由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，OB＝AC．根据勾股定理，由Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，得AC＝5．根据圆上点到圆心的距离均相等，由AC＝OB＝5，得OE＝OB＝5．根据矩形的性质，由四边形ODEF均为矩形，得DF＝OE＝5． 【解答】解：如图，连接OB与OE． ∵四边形OABC是矩形， ∴∠CBA＝90°，OB＝AC． 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC5． ∴AC＝OB＝5． ∴OE＝OB＝5． ∵四边形ODEF为矩形， ∴DF＝OE＝5． 故答案为：5． 【考点2 垂径定理的运用】 【必备知识】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【必刷题型】 1．（2024•城中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则OE＝　 　． 【分析】根据圆的直径与半径的关系得出OC＝OB＝5，再根据垂径定理得CE＝4，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴OC＝OBAB＝5， ∵CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，CD＝8， ∴CECD＝4， 在Rt△OEC中，OE3， 故答案为：3． 2．（2023•惠农区二模）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为 　 　． 【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OB，求出AB，根据垂径定理求出AC＝BC＝5，根据勾股定理求出OC，再根据勾股定理求出OP即可． 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OB，则∠OCB＝90°， ∵PA＝4，PB＝6， ∴AB＝10， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴AC＝BC＝5， ∴PC＝AC﹣AP＝5﹣4＝1， ∵OB＝7， ∴OC2， ∴OP5． 故答案为：5． 3．（2023秋•望奎县期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为 　 　cm． 【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】解：连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AMAB8＝4cm，OD＝OC＝5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM3cm， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm， ∴ACcm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5﹣3＝2cm， 在Rt△AMC中，ACcm． 故答案为：或． 4．（2023秋•望奎县校级期中）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD间的距离为7，若AB＝24，则CD的长为 　 　． 【分析】根据题意画出图形，由于AB与CD的位置不能确定，故分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论，然后利用垂径定理和勾股定理求解即可．在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【解答】解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示： 过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC． ∵AB∥CD，OF⊥CD， ∴OE⊥AB， ∴， 在Rt△AOE中，， ∴OF＝OE+EF＝5+7＝12． 在Rt△OCF中，， ∴CD＝2CF＝10； 当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示： 过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC． ∵AB∥CD，OF⊥CD， ∴OE⊥AB， ∴．， 在Rt△AOE中，， ∴OF＝EF﹣OE＝7﹣5＝2． 在Rt△OCF中，， ∴． 综上所述，CD的长为10或 故答案为：10或． 5．（2023秋•西湖区校级月考）如图，PA交⊙O于点B，PB＝4，AB＝4，⊙O的半径为5，则OP的长为 　　． 【分析】利用垂径定理，构造直角三角形，再运用勾股定理解题． 【解答】解：过O点作OC⊥PA于P，连接OA，OP， 则，PC＝6， 在Rt△OAC中，， 在Rt△OPC中，OP． 6．（2023•岳阳县一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°． （1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 　 　； （2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则　 　． 【分析】（1）作OH⊥MN于H，得到HN＝MH，由AP＝2，BP＝6，得到圆的半径长，由△POH是等腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长． （2）由PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，得到PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），因此OH2+NH2＝ON2＝OA2，得到PM2+PN2＝2OA2，即可解决问题． 【解答】解：（1）作OH⊥MN于H， ∴HN＝MH， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝AP+PB＝8， ∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2， ∵∠NPB＝45°， ∴△POH是等腰直角三角形， ∴OHPO， ∴NH， ∴MN＝2NH＝2． 故答案为：2． （2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH， ∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH， ∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2）， ∵OH2+NH2＝ON2＝OA2， ∴PM2+PN2＝2OA2， ∵BA2＝（2OA）2＝4OA2， ∴． 故答案为：． 【考点3 圆心角、弧、弦的关系】 【必备知识】 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【必刷题型】 1．（2023秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH． 【分析】根据圆中的性质，可知AD＝BC，可证得△ADH≌△CBH（ASA），可得AH＝CH． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C， ∴△ADH≌△CBH（ASA）， ∴AH＝CH． 2．（2023秋•海州区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 【分析】证明Rt△COM≌Rt△DON（HL），推出∠COM＝∠DON，可得结论． 【解答】证明：∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°， ∵OA＝OB，AM＝BN， ∴OM＝ON， 在Rt△COM和Rt△DON中， ， ∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）， ∴∠COM＝∠DON， ∴， ∴． 3．（2023秋•沂源县期末）AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知；然后根据垂径定理可知；最后根据图形易证得结论． 【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H． ∵OE＝OF，OG⊥EF于点G， ∴∠EOG＝∠FOG， ∴． 又∵OG⊥AB于点G， ∴， ∴， 即． 4．（2023秋•无锡期中）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E． （1）求证：CD＝CE． （2）求证：． 【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题； （2）欲证明，只要证明∠MOD＝∠NOE即可； 【解答】（1）证明：连接OC． ∵， ∴∠COD＝∠COE， ∵OA＝OB，AD＝BE， ∴OD＝OE，∵OC＝OC， ∴△COD≌△COE（SAS）， ∴CD＝CE． （2）分别连接OM，ON， ∵△COD≌△COE， ∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE， ∵OC＝OM＝ON， ∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC， ∴∠OMD＝∠ONE， ∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON， ∴∠MOD＝∠NOE， ∴． 5．（2024•安徽模拟）如图1，AB是⊙O的弦，点C和点D是⊙O上的点，AD和BC交于点P，AD＝BC． （1）求证：AP＝BP； （2）如图2，若AD⊥BC，点E是上一点且，AE与BC交于点F，求证：BE＝BF． 【分析】（1）由等弦对等弧，可得AD＝BC，进而得到AC＝BD，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解， （2）由等弧所对圆周角相等，可得∠CAP＝∠FAP，结合AD⊥BC，可得∠C＝∠AFC，结合同弧所对圆周角相等，可得∠BFE＝∠E，等角对等边，即可求解， 【解答】证明：（1）连接AC，DB， ∵AD＝BC， ∴， ∴， ∴AC＝BD， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AP＝BP； （2）连接AC， ∵DE＝CD， ∴∠CAP＝∠FAP， ∵AD⊥BC， ∴∠APC＝∠APF＝90°， ∴∠C＝∠AFC， 又∵∠AFC＝∠BFE，∠C＝∠E， ∴∠BFE＝∠E， ∴BE＝BF． 6．（2023•闵行区二模）如图，在扇形AOB中，点C、D在上，，点F、E分别在半径OA、OB上，OF＝OE，联结DE、CF． （1）求证：DE＝CF； （2）设点P为的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求证：四边形MNED是矩形． 【分析】（1）先证明得到∠AOC＝∠BOC，然后证明△OCF≌△ODE得到DE＝CF； （2）连接AB，如图，利用垂径定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠OEF＝∠OBA＝90°∠EOF，则可判断EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，于是可得到四边形MNED为平行四边形，然后利用∠NMD＝90°得到四边形MNED为矩形． 【解答】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， 在△OCF和△ODE中， ， ∴△OCF≌△ODE（SAS）， ∴DE＝CF； （2）连接AB，如图， ∵点P为的中点， ∴OP⊥CD， ∵， ∴， ∴OP⊥AB， ∵OE＝OF，OA＝OB，∠EOF＝∠BOA， ∴∠OEF＝∠OBA＝90°∠EOF， ∴EF∥AB， ∴OP⊥EF， ∴EF∥CD， ∵OP∥DE， ∴四边形MNED为平行四边形， ∵∠NMD＝90°， ∴四边形MNED为矩形． 7．（2023秋•硚口区期末）如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 【分析】（1）欲证明AB＝CD，只要证明即可； （2）过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB，根据若得出AB＝BF，在Rt△BEF中利用勾股定理求出EF＝8，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8，利用勾股定理求出r即可． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD； （2）解：过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB， ∴，，BE＝DE＝12， ∵， ∴， ∴AB＝BF＝4， ∴在Rt△BEF中，EF8， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8， 根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2， 解得r＝13， 即⊙O的半径为13． 【考点4 圆周角定理】 【必备知识】 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 【必刷题型】 1．（2024•凉州区校级一模）如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A＝20°，则∠BPD的度数为 　 　． 【分析】根据OC⊥AB，利用圆周角与圆心角关系可求出∠ADC，再由三角形外角定理即可求得． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵， ∴， ∵∠A＝20°， ∴． 故答案为：65°． 2．（2024•虞城县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　 　． 【分析】分两种情形：①BE＝BC，②EB＝EC，分别求出∠BOD即可． 【解答】解：如图1中，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠EBC＝40°， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣40°）＝70°， ∵弧BD＝弧BD， ∴∠BOD＝2∠BCE＝140°； 如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合， ∵BE＝EC， ∴∠EBC＝∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝80°； 故答案为：80°或140°． 3．（2024•礼县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED＝　 　． 【分析】连接BD，先由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB＝90°，进而得到∠BDC＝50°，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABD＝∠ACD＝60°，即可利用三角形外角的性质得到∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°． 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 又∵∠ABD＝∠ACD＝60°， ∴∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°， 故答案为：110°． 4．（2024秋•建邺区校级月考）已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点G．求证：FA＝FG． 【分析】由BC是⊙O的直径可得∠BAC＝90°，进而由余角性质可得∠ACB＝∠BAD，又由得∠ACB＝∠ABE，即得∠ACB＝∠ABE，即∠BAF＝∠ABF，最后再利用余角性质得到∠GAF＝∠G，即可证得FA＝FG． 【解答】证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵， ∴∠ACB＝∠ABE， ∴∠BAD＝∠ABE， 即∠BAF＝∠ABF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAG＝90°， ∴∠BAF+∠GAF＝90°，∠ABF+∠G＝90°， ∵∠BAF＝∠ABF， ∴∠GAF＝∠G， ∴FA＝FG． 5．（2023秋•红桥区期末）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC； （Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长． 【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论； （Ⅱ）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，设BC＝x，即可求得BE＝2，DB＝x，利用勾股定理可求解DE，再利用勾股定理列方程解答即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC； （Ⅱ）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB， ∴AE＝BE， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC． ∴BD＝BC． 设BC＝x， ∵AB＝4， ∴BE＝2，DB＝x， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴DE， 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OA＝OB， OB2＝（OB﹣1）2+22，即：（）2＝（）2+22， 解得x， 即BC的长为． 6．（2023秋•南沙区期末）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，． （1）求证：AO⊥CD； （2）求BD的长； （3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度． 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，再由DB∥OA即可得出结论； （2）作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，利用勾股定理计算出AB的长，再利用面积法得到AH的长，接着利用勾股定理计算出OH的长，然后证明△AOH≌△OBM得到BM＝OH，而得到BD的长； （3）作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，证明△CBF为等腰直角三角形得到CFBC，利用△ACG为等腰直角三角形得到CG＝AGAC，然后利用勾股定理计算出GF，从而得到AF的长． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∵OA∥BD， ∴∠CEO＝∠D＝90°， ∴AO⊥CD； （2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴AB4， ∵AH•BCAC•AB， ∴AH4， 在Rt△OAH中，OH3， ∵OA∥BD， ∴∠AOH＝∠EBO， 在△AOH和△OBM中， ， ∴△AOH≌△OBM（ASA）， ∴BM＝OH＝3， ∴BD＝2BM＝6； （3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝45°， ∴CF＝BF， ∴△CBF为等腰直角三角形， ∴CFBC＝5， 在Rt△ACG中，CG＝AGAC， 在Rt△GFC中，GF2， ∴AF＝AG+GF23． 【考点5 圆内接四边形的性质】 【必备知识】 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的外角等于内对角． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则， 【必刷题型】 1．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 　 　． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 2．（2024•江都区一模）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E＝　 　°． 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD＝180°﹣∠C＝70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD＝55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数． 【解答】解：∵∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD（180°﹣70°）＝55°， ∵四边形ABDE为圆的内接四边形， ∴∠E+∠ABD＝180°， ∴∠E＝180°﹣55°＝125°． 故答案为125． 3．（2024•滨州三模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠BDC的度数是 　 　． 【分析】由题意知，∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD＝75°，∠BOD＝150°，进而可求∠COD＝50°，∠BOC＝100°根据∠BDC∠COB，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝75°， ∵， ∴∠BOD＝2∠BAD＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD，∠BOC+∠COD＝∠BOD， ∴∠COD＝50°， ∴∠BOC＝2∠COD＝100°， ∴∠BDC∠COB＝50°， 故答案为：50°． 4．（2024•沁县二模）如图，⊙O中，AB是直径，点C，D，E都在圆周上，连接AE，CE、BD，CD，若∠E＝50°，则∠D的度数为 　 　． 【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BEC＝40°，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答． 【解答】解：连接BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠AEC＝50°， ∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AEC＝40°， ∵四边形BDCE是⊙O的内接四边形， ∴∠BEC+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠BEC＝140°， 故答案为：140°． 5．（2023秋•凉州区校级期末）如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝100°．若点E在上，求∠E的度数． 【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD＝180°﹣∠C＝80°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD＝50°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣100°＝80°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴， ∵四边形ABDE为圆的内接四边形， ∴∠E+∠ABD＝180°， ∴∠E＝180°﹣50°＝130°． 6．（2023秋•青铜峡市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，N是弧AC上一点，连接AN和CN，并分别延长AN、DC相交于点M，求证：∠MNC＝∠AND． 【分析】根据弦CD⊥AB可得AD＝AC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠ACD＝∠AND＝∠ADC，根据圆内接四边形对角互补，可得∠ANC+∠ADC＝180°，结合∠ANC+∠MNC＝180°可得∠ADC＝∠MNC，通过等量代换即可证明∠MNC＝∠AND． 【解答】证明：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴AD＝AC， ∴∠ACD＝∠AND＝∠ADC， ∵四边形ADCN是圆内接四边形， ∴∠ANC+∠ADC＝180°， ∵∠ANC+∠MNC＝180°， ∴∠ADC＝∠MNC， ∴∠MNC＝∠AND． 7．（2024•拱墅区模拟）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE． （1）求证：BD＝CE； （2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为α，的度数为β． ①当β＝60时，求α的值； ②探索α和β满足的等量关系． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可； （2）根据圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系进行解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝BC， ∴， ∵∠ABD＝∠BCE， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴BD＝CE； （2）解：①∵的度数β＝60°， ∴，其度数都等于40°， ∴∠AOB＝40°， ∵点A、点B、点C、点E在⊙O上， ∴∠BCE+∠A＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣（） ＝180°﹣70° ＝110°， 即α＝110°； ②6α+β＝720°，理由如下： ∵的度数β， ∴，其度数都等于， ∴∠AOB， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠BCE+∠A＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣∠A ＝180°﹣（） ＝90°∠AOB ＝90°， 即α＝90°， ∴6α+β＝720°． 【考点6 点和圆的位置关系】 【必备知识】 点和圆的位置关系：点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 【必刷题型】 1．（2024•河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） A．2r B．r≤3 C．r＜5 D．5＜r 【分析】首先选取离A最近的四个点标记为D、E、B、F，根据勾股定理算出这四个点与A的距离d，根据点与圆的位置关系：d＝r，则点在圆上，d＞r，则点在圆外，d＜r，则点在圆内，即可得答案． 【解答】解：根据题意画出示意图： ∵由勾股定理可得： AD2，AE＝AF，AB＝3， ∴AB＞AE＞AD， ∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内， ∴r≤3． 以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D、E、F3个在圆内． 故选：B． 2．（2024•凉山州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（　　） A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4 【分析】由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A内，据此即可解答 【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4， ∴， ∵D为AB的中点， ∴． 由图可知，当⊙A的半径时，点D在⊙A上， 当⊙A的半径r＝AC＝4时，点C在⊙A上，点D在圆内， 当⊙A的半径r＝AB＝5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内， 当⊙A的半径满足时，点D在⊙A内， 当⊙A的半径满足4＜r≤5时，点C、D在⊙A内， 当⊙A的半径满足r＞5时，点B、C、D在⊙A内， ∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是． 故选：A． 3．（2024秋•姜堰区校级月考）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　 　． 【分析】先表示距离，再确定最值条件． 【解答】解：如图： 连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度． 设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC﹣AB＝4﹣2＝2， ∴r＝1． 故答案为：1． 4．（2024•邗江区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 　 　． 【分析】取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围． 【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE． 在直角△ABC中， AB5． ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CEAB＝2.5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴MEAD＝1． ∵2.5﹣1≤CM≤2.5+1， 即1.5≤CM≤3.5． ∴最大值为3.5， 故答案为：3.5． 5．（2024•娄星区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且满足∠BAE＝∠CBE，则线段CE的最小值为 　 　． 【分析】根据∠BAE＝∠CBE得出AE⊥BE，得到E在以AB为直径的⊙O上，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，由勾股定理求出OC13，即可得到CE′＝OC﹣OE′＝8，于是得到线段CE的最小值为8． 【解答】解：∵∠BAE＝∠CBE，∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴E在以AB为直径的⊙O上， 连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小， ∵AB＝10， ∴OB＝OA＝OE′＝5， ∵BC＝12， ∴OC13， ∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8， ∴线段CE的最小值为8． 故答案为：8． 6．（2024•瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　. 【分析】连接DC，由以CE为直径作⊙F，得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，即可得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动，当A，D，O在一直线上时，AO，故AD≥AO﹣OD． 【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴， 连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5， 得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°， 得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动， 当A，D，O在一直线上时，AO， 故AD≥AO﹣OD， 即AD的最小值， 故答案为：． 【考点7 直线和圆的位置关系】 【必备知识】 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 【必刷题型】 1．（2023秋•禹城市期末）已知，⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】当r＞d，直线与圆相交，当r＝d，直线与圆相切，当r＜d，直线与圆相离，据此即可作答． 【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1＜0， 故⊙O的半径为6， ∵d＝4， ∴6＞4， 即直线与圆相交， 故选：A． 2．（2023秋•柘城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 【分析】连接CD，由直角三角形的斜边上的中线定理得AD＝BD＝CD，进而得AE＝CE，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AB5， ∵D是AB的中点， ∴BD＝AD＝CD＝2.5＞2，故点A，点C在圆外，故选项A不符合题意，B选项符合题意； 连接CD， ∴∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， 作DE⊥AC于点E，作DF⊥CB于点F， ∵DE⊥AC ∴AE＝CE， ∴DE∥BC，DE2，故⊙D与直线AC相切，故C不符合题意； 过D作DF⊥BC于F， ∴CF＝BF， ∴DF∥AC，DFAC＝1.5＜2；故⊙D与直线BC相交，故D不符合题意； 故选：B． 3．（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∵CD•ABBC•AC， ∴CD， ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为r≤12． 故选：D． 4．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是　 　． 【分析】根据已知条件和图形分析可得当AB是大圆直径时AB的值最大，从而可得AB的最大值；进一步分析可得当AB与小圆相切的时，AB最小，利用勾股定理可得AB的最小值；若大圆的弦AB与小圆有公共点，即AB与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答． 【解答】解：当AB是大圆直径时AB的值最大，最大值为10． 当AB与小圆相切时AB最小． ∵小圆的半径为3，大圆半径为5， ∴AB＝28． ∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10． 故答案为：8≤AB≤10． 5．（2023秋•盐池县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是 　 　． 【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，最后根据直线和圆的位置关系得出即可． 【解答】解：相交， 理由：过C作CD⊥AB于D， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴由勾股定理得：AB＝5cm， ∵由三角形的面积公式得：AC×BCAB×CD， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝2.4cm， ∵2.6＞2.4， ∴以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的关系是相交， 故答案为：相交． 6．（2023秋•望奎县校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足条件　 　时，⊙P与直线CD相交． 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【解答】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD于E， ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30°， ∴OP＝2PE＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF＝1cm， ∵∠AOC＝∠DOB＝30°， ∴OP＝2PF＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间8（秒）． 当⊙P的运动时间t（s）满足条件4＜t＜8时，⊙P与直线CD相交． 故答案为：4＜t＜8． 【考点8 切线长定理】 【必备知识】 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【必刷题型】 1．（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 【分析】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解． 【解答】解：连接OA，OB，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°， ∴； △PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10， 故选：D． 2．（2024•凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm． 【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解 【解答】解：∵PA，PB是圆的切线． ∴PA＝PB 同理，AE＝EC，FC＝FB． 三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm． 故答案是20． 3．（2023秋•江城区校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为　 　． 【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3． 故答案为：3． 4．（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周长＝　 　；∠DOE的度数 　 　． 【分析】连接OA，OB，根据勾股定理可得PA＝8cm，再由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DF，FE＝BE，可求出△PED的周长；再证明△AOD≌△FOD，可得∠AOD＝∠DOF，从而得到∠AOB＝2∠DOE，即可求解． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵AO＝6cm，PO＝10cm， ∴， ∵PA，PB，DE为⊙O切线， ∴PA＝PB，DA＝DF，FE＝BE，∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴△PED的周长＝PE+EF+FD+PD＝PA+PB＝2PA＝16cm， 即△PED的周长为16cm； ∵AD＝FD，OD＝OD，OA＝OF， ∴△AOD≌△FOD（SSS）， ∴∠AOD＝∠DOF， 同理∠EOF＝∠EOB， ∴∠AOB＝2（∠FOD+∠EOF）＝2∠DOE， ∵∠APB＝40°，∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝140°， ∴， 故答案为：16cm；70°． 5．（2023秋•江汉区期末）四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 【分析】由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB＝78°，即可求出∠COD＝102°． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AO平分∠BAD，OB平分∠ABC， ∴∠1∠BAD，∠2∠ABC， ∴∠1+∠2（∠BAD+∠ABC）， ∴∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC）， 同理：∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD）， ∴∠AOB+∠COD＝360°（∠BAD+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝360°360°＝180°， ∵∠AOB＝78°， ∴∠COD＝102°． 故答案为：102°． 【考点9 切线的判定与性质综合】 【必备知识】 ①切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 【必刷题型】 1．（2024•仪征市二模）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，即∠BCO+∠ACO＝90°，求得∠OCA＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理得到OB＝3，求得AB＝6，根据切线的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3， ∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 2．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可； （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，再根据勾股定理可解决问题． 【解答】（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 3．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，垂足为H，AH 交⊙O 于点D． （1）求证：直线HC是⊙O的切线； （2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径． 【分析】（1）连接OC，则OC＝OA，所以∠BAC＝∠OCA，由切线的性质得CH⊥OC，AH∥OC，而AH⊥CH，从而得到CH⊥OC， OC是⊙O的半径，直线HC是⊙O的切线； （2）作OI⊥AH于点I，由垂径定理得AI＝DI，再证明四边形OCHI是矩形，得IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8，则AI＝DI＝OA﹣4，由勾股定理得（OA﹣4）2+82＝OA2，求得OA＝10，所以⊙O的直径长为20． 【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA， ∵AC平分∠HAB． ∴∠HAC＝∠BAC， ∴∠HAC＝∠OCA， ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴CH⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线HC是⊙O的切线； （2）解：作OI⊥AH于点I，则AI＝DI， ∵∠OCH＝∠CHI＝∠OIH＝90°，HC＝8，DH＝4， ∴四边形OCHI是矩形， ∴IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8， ∴AI＝DI＝IH﹣DH＝OA﹣4， ∵∠OIA＝90°， ∴（OA﹣4）2+82＝OA2， 解得OA＝10， ∴AB＝2OA＝20， ∴⊙O的直径长为20． 4．（2024秋•天门校级月考）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝5，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径和线段BM的长 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得∠DOB＝60°，∠ADO＝∠OAD＝30°，进而可求证∠ODB＝90°，进而可求证结论； （2）连接DM，利用三角形的特征得，进而可得OC＝BC＝5，则可求得⊙O的半径为5，进而可得DE＝10，，在Rt△BDE中和在Rt△BDM中利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝30°， ∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°， ∴OD⊥BD， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线． （2）解：连接DM，如图： 由（1）得：∠ODB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴， ∵OD＝OC，BC＝5， ∴OC＝BC＝5， ∴⊙O的半径为5， ∴DE＝10，， 在Rt△BDE中，∠EDB＝90°，DE＝10，， ∴， ∵DE为直径， ∴∠DME＝90°， ∴DM⊥BE， ∴DE•BD＝DM•BE，即：， 解得：， 在Rt△BDM中，∠BMD＝90°，，， ∴． 5．（2024•凉山州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，DF＝3，求CE长． 【分析】（1）连接CD，OD，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得DE＝CE，从而可得∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠DCO+∠BCD＝∠ACB＝90°，然后根据切线的判定定理分析证明； （2）结合含30°的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解． 【解答】（1）证明：连接CD，OD，如图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠CDA＝90°， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BCD中，E为BC的中点， ∴DE＝CE＝BE， ∵DE＝CE， ∴∠BCD＝∠EDC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠OCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠BCD＝90°， 即OD⊥DE， ∵OD为半径，OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠DOC＝2∠A＝60°， 在Rt△FOD中，∠F＝30°， ∴，， 设OD＝x，则OF＝2x， 由勾股定理可得：OD2+DF2＝OF2，即x2+32＝（2x）2， 解得， ∴，， ∴， 同理在Rt△CEF中，设CE＝y，则EF＝2y， 由勾股定理可得：CE2+FC2＝EF2，即， 解得y＝1，即CE＝1． 6．（2023秋•新余期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切． （2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的性质可得∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，进而可得∠EOB＝∠DOE，则可以利用SAS证明△BOE≌△DOE，得∠OBE＝∠ODE＝90°，可以得到结论； （2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理进行列出方程进行求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵直线CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵OE∥AD， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO， ∴∠EOB＝∠DOE， 在△BOE和△DOE中， ， ∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即OB⊥BE， 又∵OB是⊙O半径， ∴直线BE与⊙O相切； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，即r2+62＝（r+4）2， 解得：r＝2.5， ∴AB＝2r＝5， ∴BC＝AC+AB＝4+5＝9， 由（1）得△BOE≌△DOE， ∴BE＝DE， 在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，即92+BE2＝（6+DE）2， ∴92+BE2＝（6+BE）2， 解得：， ∴DE的长为． 7．（2024•双峰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若AC＝9，BC＝3，求CD的长． 【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，根据勾股定理得到AB6，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，求得AD＝BDAB＝3，过点B作BH⊥CD于点H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝CHBC＝3，根据勾股定理得到DH9，于是得到CD＝CH+DH＝3+9＝12． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AC＝9，BC＝3， ∴AB6， ∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BDAB＝3， 过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠BCD， ∴BH＝CHBC＝3， ∴DH9， ∴CD＝CH+DH＝3+9＝12． 【考点10 三角形的内切圆和内心】 【必备知识】 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． （1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【必刷题型】 1．（2024秋•海门区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝14，CD＝6，则BE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】过点I作IG⊥AB，IF⊥AC，垂足分别为G，F，可得AG＝AF，BG＝BE，DE＝DF，设AG＝AF＝a，DE＝DF＝b，BE＝BG＝14﹣b，再由AB＝AC，即可求解． 【解答】解：如图，过点I作IG⊥AB，IF⊥AC，垂足分别为G，F， ∵点I为△ABD的内心， ∴以IE为半径的圆I是△ABD的内切圆， ∴AG＝AF，BG＝BE，DE＝DF， 设AG＝AF＝a，DE＝DF＝b， ∵BD＝14， ∴BE＝BG＝14﹣b， ∴AB＝AG+BG＝a+14﹣b，AC＝AD+DC＝a+b+6， ∵AB＝AC， ∴a+14﹣b＝a+b+6， 解得：b＝4， ∴BE＝14﹣b＝10． 故选：C． 2．（2023秋•兴隆县期末）已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 【分析】连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC＝90°∠BAC＝125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC∠BOC． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC＝90°70°＝125°， ∵点O是△BCP的外心， ∴∠BPC∠BOC125°＝62.5°． 故选：C． 3．（2024•邯郸模拟）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系． 【解答】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°（∠CAB+∠CBA）， ＝180°（180°﹣∠C） ＝90°∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°∠AOB， ∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°． ∵∠AIB＝125°， ∴∠AOB＝140°． 故选：D． 4．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系和性质求出BC，AD，BD，CD，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示S△ABD，S△ACD，由S△ABD＝S△ACD可求出答案． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，IA，IC，ID，过点O，点I分别作BC的垂线，垂足分别为M，N， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC13， ∵AD为中线， ∴AD＝BD＝CDBC， ∵S△ABD＝S△ACD，即（AB+BD+AD）•OM（AC+AD+CD）•IN ∴（5+13）r1（12+13）r2， ∴． 故选：C． 5．（2024•江汉区二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝20，BC＝21，CA＝13，则下列说法不正确的是（　　） A．∠EDF＝∠A B．∠EOF＝∠B+∠C C．BD＝14 D． 【分析】根据题干条件一一分析即可，另外再看选项时候A选项很容易判断，所以着重证其他选项即可． 【解答】解：∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°， ∴∠EOF+∠A＝180°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠EOF＝∠B+∠C，故选项B不符合题意 根据切线长定理，设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z．根据题意，得 ，解得， 即BD＝14．故C选项不符合题意； 过点A作AH⊥BC于H，则CH＝21﹣BD， ∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2， ∵202﹣BH2＝132﹣（21﹣BH）2， 解得BH＝16， ∴AH12， 连接OD， ∵⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△ABC（AB+BC+CA）•OEBC•AH， ∴54OE＝21×12， ∴OE． 故选项D不符合题意； 故选：A． 6．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F， S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB•RBC•RAC•RR（AB+AC+BC）， ∵AB+ACBC， ∴S△ABCR（BC+BC）R•BC， ∵AD的长为h， ∴S△ABCBC•h， ∴R•BCBC•h， ∴hR， ∴， 故选：A． 7．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AO，BO，CO，DO，EO，FO．根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB，再根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝6求出OE，接下来设BE＝x，根据切线长定理得出CE＝CF，AD＝AF，BD＝BE，求出BE，再根据勾股定理求出BO，结合DO＝EO，BD＝BE可知BO是DE的垂直平分线，然后根据求出EG，进而得出答案． 【解答】解：连接AO，BO，CO，DO，EO，FO． 根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB， ∵AB＝4，AC＝3，BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2 ∴△ABC是直角三角形 ∴， ∴， 即， 解得OE＝12÷（3+4+5）＝1． 设BE＝x， 则BD＝BE＝x，CE＝CF＝5﹣x，AD＝AF＝4﹣x，得5﹣x+4﹣x＝3， ﹣x﹣x＝3﹣5﹣4， ﹣2x＝﹣6， x＝3， ∴BE＝3． 在Rt△B O E中，， ∵DO＝EO，BD＝BE， ∴BO是DE的垂直平分线， ∴DG＝EG． ∵， 即， 解得EG， ∴． 故选：C． 【考点11 正多边形和圆】 【必备知识】 正多边形的性质：（1）正多边形的一个内角等于；（2）中心角：；（3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【必刷题型】 1．（2024•青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（　　） A．90° B．99° C．108° D．135° 【分析】根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CDE＝∠E108°， ∵四边形CDFG为正方形， ∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°， ∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°， ∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°， 故选：B． 2．（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形ABGH有公共边AB，连接CG交EF于点M，则∠HGM的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 【分析】根据正六边形的性质得∠ABC＝120°，AB＝BC，再根据正方形性质得∠ABG＝∠BGH＝90°，AB＝BG，则∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝30°，BC＝BG，进而得∠BGC＝∠BCG＝75°，据此即可得出∠HGM的度数． 【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC（6﹣2）×180°＝120°，AB＝BC， ∵四边形ABGH为正方形， ∴∠ABG＝∠BGH＝90°，AB＝BG， ∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝30°，BC＝BG， ∴∠BGC＝∠BCG（180°﹣∠CBG）＝75°， ∴∠HGM＝180°﹣∠BGH﹣∠BGC＝15°． 故选：A． 3．（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接AO， ∵正三角形ABC， ∴， ∵OA＝OC， ∴， ∵正六边形ADBECF， ∴，DA＝DB， ∴， ∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°， ∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°， 故选：D． 4．（2024•呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° 【分析】根据正五边形、正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴， ∴∠AOD90°，∠FOG＝∠EOF72°， ∵AC是正五边形CEFGH的对称轴， ∴∠AOG＝∠AOF∠FOG＝36°， ∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°， ∴∠AMF＝∠MFD+∠MDF ∠DOE∠AOF 18°36° ＝9°+18° ＝27°． 故选：B． 5．（2024•沛县校级一模）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　． 【分析】根据圆内接正六边形的性质可用半径r表示正六边形的面积S1，再根据圆内接正三角形的性质可用半径r表示正三角形的面积S2，最后再计算的值即可． 【解答】解：如图，连接OC，OD，OE，OD交CE于点M，过点O作ON⊥CD于点N，设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝OE＝r， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是正三角形， ∴CD＝OC＝OD＝r， ∵ON⊥CD， ∴CN＝DNCDr， ∴ONr， ∴正六边形ABCDEF的面积为S1＝6S△COD＝6rrr2； 由题意可知，△ACE是⊙O的内接正三角形， ∴∠COM＝60°， ∴OMOCr，CMOCr， ∴CE＝2CMr， ∴△ACE的面积为S2＝3S△OCE＝3rrr2； ∴2． 6．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　 　． 【分析】根据圆内接正方形，圆内接正六边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OG， ∵正方形AGDH是⊙O的内接正方形， ∴∠AOG90°， ∵正六边形ABCDEF是⊙O的正六边形， ∴∠AOB60°， ∴∠BOG＝90°﹣60°＝30°， ∴弦BG所对劣弧所对应圆周角的度数为∠BOG＝15°． 弦BG所对优弧所对应圆周角的度数为180°﹣15°＝165°． 故答案为：15°或165°． 【考点12 弧长的计算】 【必备知识】 弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则=；对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. 【必刷题型】 1．（2023秋•防城区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 　 　． 【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠B，再根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解． 【解答】解：连接OA、OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°， ∴的长π． 故答案为：π． 2．（2024•二道区校级模拟）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 　　.（结果保留π） 【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF＝60°，即可求出，再根据阴影部分的周长，即可求解． 【解答】解：连接BD，如图， ∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点D处，点C的对应点为点E， ∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∴弧AD的长，弧AE的长， ∴阴影部分的周长， 故答案为：． 3．（2024•前郭县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则的长度为 　 （结果保留π）． 【分析】连接OE，OC，求出∠BOC的度数，即可求得弧长． 【解答】 解：连接OE，OC， ∵DE＝OB＝2，OB＝OE＝OC， ∴DE＝OB＝OE＝OC， ∴∠EOD＝∠D＝20°， ∴∠EOC＝∠CEO＝20°+20°＝40°， ∴∠BCO＝20°+40°＝60°， ∴， 故答案为：． 4．（2024•武威三模）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②，△ABC的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱洛三角形的周长为 　 　cm． 【分析】连接OB，OC，过O作OH⊥BC于H，根据等边三角形的性质和勾股定理得到BC＝2BH＝6，求得AB＝BC＝CA＝6，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】解：连接OB，OC，过O作OH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形，△ABC的中心O到三个顶点的距离均为2cm， ∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2cm， ∴OHOBcm， ∴BC＝2BH＝26cm， ∴AB＝BC＝CA＝6cm，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°， ∴， ∴“莱洛三角形”的周长等于的长×33＝6π（cm）． 故答案为：6π． 5．（2024•船营区校级模拟）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB＝60°，将扇形AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过的中点E，若，则阴影部分的周长为 　 ． 【分析】连接ME，根据E为的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB＝60°，得出，求出，证明EN＝MN，根据求出结果即可． 【解答】解：连接ME，如图所示： ∵E为的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB＝60°， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知，AM∥CN， ∴∠AME＝∠MEN， ∴∠BME＝∠MEN， ∴EN＝MN， ∴阴影部分的周长为： ． 故答案为：． 6．（2024•市北区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，再以点B为圆心，以OB的长为半径作，交半圆于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的周长为 　 　． 【分析】根据题意可知OB＝OD＝BD＝BE＝3，得出△OBD是等边三角形，则∠BOD＝∠ABD＝60°，然后根据弧长公式可以解答本题． 【解答】解：连接OD，BD，如图所示， 由题意可知OB＝OD＝BD＝BE＝3， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD＝∠ABD＝60°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝30°， ∴阴影部分的周长为：3π+3， 故答案为：π+3． 7．（2024•固始县校级二模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，分别以CD，CE为轴折叠扇形AOB，点A，B的对应点为M，N两点，若OA＝2，则阴影部分的周长为 　 　． 【分析】根据轴对称得出阴影部分的周长等于弧AB的长加2OM的长即可求解． 【解答】解：连接OC， ∵点C为的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°， ∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB＝90°， ∴CD＝CE， ∴四边形ODCE为正方形， ∴AD＝OA﹣OD，BE＝OB﹣OE， ∴AD＝BE， ∵OD2+CD2＝OC2＝OA2＝4，OD＝CD， ∴， ∴OD＝CD＝OE＝CE， ∵AD＝DM，BE＝NE， ∴AD＝DM＝BE＝NE， ∴OM＝ON＝OA﹣2AD＝2﹣2（2）， ∵，， ∴， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【考点13 扇形面积的计算】 【必备知识】 扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【必刷题型】 1．（2023秋•青岛期末）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 　　． 【分析】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可． 【解答】解：由折叠可知， S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO， ∵OA＝OD， ∴AD＝OD＝OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°， ∵AD＝OD＝OA＝6， ∴CD＝3， ∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6π﹣9， ∴S弓形OD＝6π﹣9， 阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9）＝9， 故答案为：9． 2．（2024•绥化模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝30°，即可求出∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°，由含30度角的直角三角形的性质求出ODOA＝4，由勾股定理求出AD4，由垂径定理得到AC＝2AD＝8，求出△AOC的面积AC•OD＝16，扇形AOC的面积π，即可得到阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）π﹣8． 【解答】解：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°， ∵AB＝16， ∴OAAB＝8， ∵OD⊥AC，∠OAD＝30°， ∴ODOA＝4， ∴AD4， ∵OD⊥AC， ∴AC＝2AD＝8， ∴△AOC的面积AC•OD84＝16， ∵扇形AOC的面积π， ∴阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）（π﹣16）π﹣8． 故答案为：π﹣8． 3．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°； （2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OEOA； （3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝60° ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°． 故答案为：30°． （2）∵AB＝6， ∴OA＝OCAB＝3， ∵OF⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴OEOA＝1.5； （3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OF＝OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴OE＝EF，∠AOF＝60°， ∵∠CEO＝∠AEF＝90°， ∴△OEC≌△FEA（SAS）， ∴阴影的面积＝扇形OCF的面积， ∵∠B＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°， ∴扇形OCF的面积． ∴阴影的面积． 4．（2023秋•江岸区期末）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F． （1）求证：2OE＝CD； （2）若∠BAD＝30°，AD＝4，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据垂径定理得BF＝CF，，则BD＝CD，再根据垂径定理得OE⊥AB，AE＝BE，则OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得BD＝2OE，即可得出结论； （2）根据阴影部分面积等于扇形AOB﹣三角形AOB面积，据此解答． 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC⊥AD， ∴BF＝CF，， ∴BD＝CD， ∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦， ∴AE＝BE， ∵AO＝DO， ∴OE是△ABD的中位线， ∴BD＝2OE， ∴2OE＝CD； （2）解：如图，连接BO，CO， ∵∠BAD＝30°，AD＝4， ∴BD＝2， ∴OE＝1， AB2， ∴∠AOB＝120°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOBπ×221×2π， ∴阴影部分的面积为π． 5．（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）利用垂径定理和勾股定理求出OE和OB的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去三角形面积即可求得结果． 【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵，∠D＝30°，∠B＝∠D，AB⊥CD， ∴∠B＝30°，CECD＝2，∠CEB＝90°， ∴BC＝4，∠COE＝2∠B＝60°， ∴BE6，∠OCE＝30°， ∴OC＝2OE， ∴OEBE＝2，OB＝4， ∴阴影部分的面积为：2×22． 6．（2023秋•碑林区校级期末）如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD∥AC． （1）求证：四边形ACOD是菱形． （2）若，求扇形AOC的面积． 【分析】（1）根据圆周角定理可得AD⊥BD，由对称的性质可得CO⊥BD，进而得到CO∥AD，得出四边形ACOD是平行四边形，进而得出四边形ACOD是菱形； （2）证得△AOC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数，由特殊锐角三角函数值可求出AB，从而求得OA，利用扇形面积公式即可求得． 【解答】（1）证明：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线， 即CO⊥BD， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BD， ∴CO∥AD， 又∵OD∥AC， ∴四边形ACOD是平行四边形， ∵OD＝OC， ∴四边形ACOD是菱形， （2）解：∵四边形ACOD是菱形， ∴AC＝AD＝OC＝OD， ∵OC＝OD＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， 在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，BC＝4， ∴AB8， ∴OA＝4， ∴扇形AOC的面积． 7．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝45°，以BC为直径作半圆，交AC于点D，交AB于点E求； （1）求弧DE的长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出∠DOE，再由弧长公式计算弧DE的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积＝扇形BOE的面积﹣Rt△BOE的面积”计算即可． 【解答】解：（1）∵OB＝OE， ∴∠ABC＝∠BEO＝45°， ∴∠BOE＝90°， ∵AB＝BC＝6， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵OC＝OD， ∴∠ACB＝∠CDO， ∴∠CDO＝∠BAC， ∴AB∥OD， ∴∠DOE＝∠BEO＝45°， ∴π×6， ∴弧DE的长是． （2）S阴影＝S扇形BOE﹣SRt△BOE π×（）2（）2 ， ∴阴影部分的面积是． 【考点14 圆锥的侧面积】 【必备知识】 圆锥的侧面积：①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【必刷题型】 1．（2024•天河区校级三模）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 　　． 【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得． 【解答】解：，解得r． ∴底面圆的直径为：， 故答案为：． 2．（2024•湖南模拟）如图，已知圆锥底面半径为4cm，其侧面展开图面积是48πcm2，则该圆锥的母线长为 　 　cm． 【分析】设此圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•r•4＝48π，然后解方程即可． 【解答】解：设此圆锥的底面半径为r， 根据题意得•2π•r•4＝48π， 解得x＝12． 即此圆锥的底面半径为12cm． 故答案为：12． 3．（2023秋•梅里斯区期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角θ为 　 　°． 【分析】设扇形的圆心角θ为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×3，然后解方程即可． 【解答】解：设扇形的圆心角θ为n°， 根据题意得2π×3， 解得n＝120， 即扇形的圆心角θ为120°． 故答案为：120． 4．（2024•高邮市校级模拟）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为216°，半径是5cm，那么这个圆锥的底面半径是 　 　． 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面周长等于展开以后扇形的弧长列式计算即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得， ， 其中n＝216，l＝5， ∴， 故答案为：3cm． 5．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【分析】（1）AB是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出AB的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【解答】解：（1）连接AB，OC， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴OB＝OC＝OA， 又∵AC＝BC， ∴AO⊥OC， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）AB的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 6．（2023秋•睢阳区校级月考）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． （1）求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． （2）如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【分析】（1）根据题意利用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，即可得到本题答案； （2）过点O作OH⊥AD，利用矩形性质及（1）中结论可知OM＝OH＝AB＝60cm，再利用含30°角的直角三角形三边关系求得BM＝30cm，继而求出方案一所需的矩形铁皮的面积，同法可得方案二所需的矩形铁皮的面积，再比较大小即可得到本题答案． 【解答】解：（1）设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为n， ∵底面半径为20cm，高为的锥形漏斗， ∴圆锥的母线长为：， ∴， 解得：n＝120°， 即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为120°； （2）如图，过点O作OH⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形，由（1）知OM＝ON＝60cm， ∴OM＝OH＝AB＝60cm． 由（1）可得；∠MON＝120°， 在Rt△OBM中， ∵∠BOM＝30°， ∴BM＝30cm， ∴， ∴， ∴方案一所需的矩形铁皮的面积＝60×6036006120（cm2）； 如图，OM＝ON＝EF＝60，∠MON＝120°， ， 在Rt△FOM中， ∵∠FOM＝60°， ∴OF＝30cm， ∴FG＝OF+OG＝30+60＝90（cm）， ∴方案二所需的矩形铁皮的面积＝90×60＝5400（cm2）， ∵6120＞5400， ∴方案二所用的矩形铁皮面积较少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$