第11讲 函数与方程的综合应用（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数与方程的综合应用 【人教A版2019】 模块一 函数的零点与方程的解 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 关系如下表所示： 根 零点 交点 方程f(x)=0的根 函数y=f(x)的零点 f(x)图象与x轴交点的横坐标 方程f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)-g(x)的零点 f(x)与g(x)图象交点的横坐标 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点（个数）】 【例1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【解题思路】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解答过程】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【例1.2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】分类求出函数零点即可. 【解答过程】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 【变式1.1】（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【解题思路】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域. 【解答过程】由题意可得：，解得，故的定义域为， 令，得，则，解得或， 又∵，所以． 故选：C. 【变式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【解题思路】先解出时，函数的零点；当时，令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案. 【解答过程】当时，由，解得或或1（舍去）； 当时，由， 令， 由以及均在上单调递增可得， 在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点， 所以，存在唯一解. 综上所述，的零点个数为3. 故选：C. 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用零点的存在性定理判断即可. 【解答过程】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可. 【解答过程】因为在区间上存在两个零点， 所以, 解得或, 因为集合是集合 或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【解答过程】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B. 【变式2.2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间. 【解答过程】当时，设， 则， 故在上是单调递增函数； 又，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 【题型3 比较零点的大小关系】 【例3.1】（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【解答过程】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 【例3.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【解答过程】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【解答过程】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【变式3.2】（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【解答过程】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A. 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数（且），若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得的一个零点为，然后对进行分类讨论，由此来求得的取值范围. 【解答过程】， 当时，单调递增，且零点为. 当时，令，得， 若，画出（）与的图象如下图所示，    则， 所以或， 这两个方程组无解，所以不符合题意. 若，画出（）与的图象如下图所示，    此时，由图可知与有两个交点. 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【例4.2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先画出函数图象，有两根和，则方程及满足有个根即可求参. 【解答过程】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示：    ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【解题思路】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【解答过程】若，当时，恒成立； 当时，由得，即仅有一个根； 所以由可得，则；即方程仅有一个实根； 故不满足有8个不同的实根； 若时，画出的大致图象如下， 由可得，，， 又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根， 所以必有三个根，而，， 为使有三个根，只需，结合，解得． 综上，，即的取值范围是． 【变式4.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若函数有5个零点，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）分和两种情况，结合分段函数解析式运算求解； （2）令，分和两种情况，解得的值为或1，由题意可得的图象与、共有5个交点，结合函数图象分析求解. 【解答过程】（1）若，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则或，解得或； 综上所述：的值为0或或. （2）若，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述：的值为或1. 令，可得或， 即或， 由题意可知：的图象与、共有5个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可得：或，解得， 所以实数的取值范围. 模块二 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法求近似解的条件】 【例5.1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【解答过程】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【解答过程】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C. 【变式5.1】（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【解答过程】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 【变式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【解答过程】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点； 故选：C. 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【解题思路】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【解答过程】 ， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【例6.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【解题思路】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【解答过程】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【解题思路】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断. 【解答过程】显然函数在上是连续不断的曲线， 由于，所以， 由零点存在性定理可得：的零点所在区间为， 所以方程在区间内一定有根. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 【解题思路】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【解答过程】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375. 故选: D. 【题型7 用二分法求函数的近似值】 【例7.1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【解答过程】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C. 【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【解题思路】由二分法的定义直接求解即可. 【解答过程】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止． 【解答过程】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下： ， ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. 因为， 所以区间的中点， 即为零点的近似值，即函数的零点， 所以至少需进行3次函数值的计算. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可知，对区间内，需要求解 的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为， 共计算次. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【解题思路】利用零点定义解方程可得结论. 【解答过程】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【解答过程】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A正确； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B正确； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 所以不可用二分法求零点，故C错误； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【解题思路】根据零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【解题思路】借助二分法定义计算即可得. 【解答过程】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【解题思路】根据二分法的性质即可求解. 【解答过程】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B. 6．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【解答过程】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【解答过程】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 8．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知函数若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先作出函数的图像，再由函数在区间[－2，4]内有3个零点可得，函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，进而可求出结果. 【解答过程】当时，；当时，； 又时，，所以可作出函数在的图像如下： 函数在区间内有3个零点， 所以函数与在区间内有3个不同交点， 由图像可得或,即或. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二分法的定义得到答案. 【解答过程】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 10．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上不存在零点 B．已知方程的解在内，则 C．若，则在上至少有一个零点 D．若在内有且只有一个零点，则 【解题思路】根据特例结合零点存在性定理依次判断即可． 【解答过程】对A，若，则，，， 令，，，则在上存在零点0，故A错误； 对B，令，又在上单调递增，且，， 所以方程的解在内，所以，故B正确； 对C，函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确； 对D，若，，，又在上存在零点0，但，故D错误． 故选：BC． 11．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 【解题思路】令解得，从而即为的零点. 【解答过程】由题意可知的定义域为， 令，可得，解得（舍去）或，所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 ． 【解题思路】利用二分法求解. 【解答过程】因为，，， 所以下一个有根区间为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 【解题思路】令，可得或，函数有三个零点，则需方程有两个解，则与的图象有两个交点，数形结合可求解. 【解答过程】令，可得， 所以，所以或， 由，又，可得，解得或， 方程无解，方程有一解，故有一解， 要使函数有三个零点， 则有两解，即与的图象有两个交点， 作出函数的图象的示图如下： 由图象可得，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求下列函数在给定区间内的零点： (1)在区间内的零点（精确到0.1）； (2)在区间内的零点（精确到0.1）． 【解题思路】（1）结合零点存在性定理利用二分法即可求出结果； （2）结合零点存在性定理利用二分法即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 因为，，则在区间内的零点近似为. （2）因为，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 因为，，则在区间内的零点近似为. 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 【解题思路】根据零点的概念求解即可. 【解答过程】（1）令， 得或， 所以函数存在零点，零点是和． （2）令， 得， 所以函数存在零点，零点是． （3）当时，令， 解得（舍去）； 当时，令， 解得． 所以函数存在零点，零点为和． 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【解题思路】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【解答过程】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 18．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 【解题思路】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象； （2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况. 【解答过程】（1）函数，作出函数的图象如图所示：    （2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）根据图象可知， 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点， 此时方程有两个不同的根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点， 此时方程没有根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点， 此时方程有一个不同的根. 19．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【解题思路】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【解答过程】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数与方程的综合应用 【人教A版2019】 模块一 函数的零点与方程的解 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 关系如下表所示： 根 零点 交点 方程f(x)=0的根 函数y=f(x)的零点 f(x)图象与x轴交点的横坐标 方程f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)-g(x)的零点 f(x)与g(x)图象交点的横坐标 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点（个数）】 【例1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【例1.2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【变式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【题型3 比较零点的大小关系】 【例3.1】（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数（且），若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【变式4.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若函数有5个零点，求实数的取值范围. 模块二 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法求近似解的条件】 【例5.1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【例6.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【变式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 【题型7 用二分法求函数的近似值】 【例7.1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7.2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 5．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 6．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知函数若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上不存在零点 B．已知方程的解在内，则 C．若，则在上至少有一个零点 D．若在内有且只有一个零点，则 11．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 ． 14．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求下列函数在给定区间内的零点： (1)在区间内的零点（精确到0.1）； (2)在区间内的零点（精确到0.1）． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 18．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 19．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$