第10讲 指、对、幂的大小比较（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 指、对、幂的大小比较 【人教A版2019】 模块一 指、对、幂数比较大小 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【题型1 利用函数的性质比较大小】 【例1.1】（2024高二下·河北·学业考试）已知，则.（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【题型2 中间值法比较大小】 【例2.1】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）设， ， ，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2024·辽宁·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型3 特殊值法比较大小】 【例3.1】（23-24高二下·陕西延安·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·天津·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·天津和平·三模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型4 作差法、作商法比较大小】 【例4.1】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·重庆·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024·四川成都·一模）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二下·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 构造函数法比较大小】 【例5.1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024·河南·模拟预测）已知实数满足，则（     ） A． B． C． D． 【题型6 数形结合法比较大小】 【例6.1】（23-24高一上·浙江温州·期末）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 基本不等式比较大小】 【例7.1】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型8 放缩法比较大小】 【例8.1】（2024·辽宁·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知偶函数在上单调递增，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知对数函数（且）是减函数，若，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·湖南常德·期中）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 13．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 14．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）设，及，当时，试比较a、b及c之间的大小关系． 16．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)，（且）； (2)，，. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 18．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知，，均为正数，且. (1)证明：； (2)若，求，的值，并比较，，的大小. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且． (1)比较与的大小； (2)比较和的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 指、对、幂的大小比较 【人教A版2019】 模块一 指、对、幂数比较大小 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【题型1 利用函数的性质比较大小】 【例1.1】（2024高二下·河北·学业考试）已知，则.（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【解答过程】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A. 【例1.2】（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【解答过程】因为在定义上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数，对数函数单调性可得答案. 【解答过程】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A. 【题型2 中间值法比较大小】 【例2.1】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）设， ， ，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数以及对数的性质，与中间值0和1比较，即可求解. 【解答过程】，，， ∴ 故选：A． 【例2.2】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取中间值，根据，，，比较的大小关系. 【解答过程】， ，，即， ， 所以， 故选：A. 【变式2.1】（2024·辽宁·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小. 【解答过程】，， . 综上，． 故选：B. 【变式2.2】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【解答过程】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 【题型3 特殊值法比较大小】 【例3.1】（23-24高二下·陕西延安·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数运算，结合指数函数和对数函数的单调性，转化为和特殊值比较大小，即可判断. 【解答过程】因为， . 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·天津·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据特殊值比较大小，得出的大小 【解答过程】因为， 所以， 故选：B. 【变式3.1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小. 【解答过程】依题意，，而且， 所以. 故选：D. 【变式3.2】（2024·天津和平·三模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可. 【解答过程】因为在定义域上单调递减，所以， 又在定义域上单调递增，所以， 在定义域上单调递减，所以， 所以. 故选：B. 【题型4 作差法、作商法比较大小】 【例4.1】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出，，即可判断出，再利用作差法比较的大小关系即可求解． 【解答过程】解：，， ， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 【例4.2】（23-24高二下·重庆·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据对数函数的性质确定再作商比较与的大小关系即可. 【解答过程】由对数函数的性质得， 所以，同理，， 而， 所以， ， 而 ， 所以，即，综上， 故选：B. 【变式4.1】（2024·四川成都·一模）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据指对函数的单调性可得，，，再作商比较的大小，从而可求解. 【解答过程】因为，， 令，而，即，所以， 又因为，所以. 故选：D. 【变式4.2】（23-24高二下·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可. 【解答过程】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 【题型5 构造函数法比较大小】 【例5.1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，构造函数并判断其单调性，借助函数单调性比较大小即可. 【解答过程】令，，显然函数在上都递增，则函数在上递增， 而，，， 又，因此 所以. 故选：C. 【例5.2】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数函数单调性得，构造函数，由函数的单调性得及，即可得出判断． 【解答过程】由对数函数单调性得，， 构造函数，则， 因为和单调递增，所以单调递增， 因为，即，所以， 又，所以，即， 所以， 故选：A． 【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论. 【解答过程】由题意， 在中， 的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近. ∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1. ∴是上的减函数； ∴， 故选：B. 【变式5.2】（2024·河南·模拟预测）已知实数满足，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案. 【解答过程】设， 在上单调递增， 又，所以； 设 ， 在上单调递减， 又，所以 ， 因为，所以. 综上可知，. 故选：B. 【题型6 数形结合法比较大小】 【例6.1】（23-24高一上·浙江温州·期末）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析三个数在图象中的几何意义，做出函数图象即可得出三者的大小关系. 【解答过程】由题意，，， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 作出三个函数的图象如图所示， 由图可知，， 故选：A. 【例6.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【解答过程】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 【变式6.1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数及基本不等式比较b,c大小，利用图像性质比较a,b. 【解答过程】已知,所以 因为 所以， 又画出的图像在同一坐标系，易知，综上： 故选：D. 【变式6.2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，的比较则转化为两函数图象交点的横坐标大小比较，数形结合由图可知. 【解答过程】由题意知，是函数的零点， 因为， 由，则， 且， 由零点存在性定理知，； 由题意知，是函数的零点， 因为， 且， 由零点存在性定理知，， 故， 由， 得， 作出函数的大致图象， 如图所示，数形结合由图可知． 综上，. 故选：A. 【题型7 基本不等式比较大小】 【例7.1】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【解答过程】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 【例7.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由结合基本不等式和对数运算可知，由题意结合对数的运算性质可判断，即可得出答案. 【解答过程】因为， ， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较. 【解答过程】 所以. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较大小，即可求解. 【解答过程】， 因为， 所以，即， 所以，且， 所以， 又因为， 所以， 综上，， 故选：D. 【题型8 放缩法比较大小】 【例8.1】（2024·辽宁·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得. 【解答过程】，，，故，， 要比较与的大小，即比较与的大小， 等价于比较与的大小，等价于比较与的大小， 又 ， 故，即，即， 故. 故选：B. 【例8.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到. 【解答过程】因为， ，故， ， 所以. 故选：A. 【变式8.1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对进行估值即可判断. 【解答过程】，且，故， ，即. 由可得，又，故. 则. 故选：C. 【变式8.2】（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【解答过程】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论. 【解答过程】因为， 又因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数和对数函数单调性限定出的取值范围即可得出结论. 【解答过程】易知，即； 而，所以，即； 又，即； 即可得. 故选：D. 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助指数函数、幂函数与对数函数的性质判断即可得. 【解答过程】由函数在上单调递减，故， 由函数在上单调递增，故， 则， 即. 故选：C. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】直接代入计算即可得结论. 【解答过程】由题可知：，，， 由函数在定义域中是单调递增的函数，所以. 故选：A. 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知偶函数在上单调递增，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据对数函数的单调性比较出的大小关系，然后根据奇偶函数的单调性，即可得到结果. 【解答过程】偶函数在上递增， 在上递减， ，， 因为，即，而， 所以，则，即. 故选：C. 6．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，根据的单调性得，取满足条件的特殊值排除选项ACD，可证得选项B正确； 【解答过程】由得， 令，即 因为在R上为增函数，在R上为减函数，故在R上为增函数，所以. 对A：取，则，故A错误； 对B：由得，所以，故B正确； 对C：取，则，故C错误； 对D：取，则，故D错误； 故选：B. 7．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知对数函数（且）是减函数，若，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件得到，再利用幂函数，指数函数，对数函数（且）的单调性，即可求解. 【解答过程】因为对数函数（且）是减函数，所以， 所以，，， 所以， 故选：B. 8．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【解答过程】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高三上·湖南常德·期中）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数的单调性判断A的真假；利用对数函数的单调性判断B的真假；引入中间量1判断C的真假；引入中间量判断D的真假. 【解答过程】由函数在R上单调递减，得，故A选项不正确； 由函数在上单调递增，得，故B选项正确； ，，所以，故C选项正确； ，，所以，故D选项不正确. 故选：BC. 10．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，借助指数、对数函数，幂函数的单调性逐项判断即得. 【解答过程】对于A，由，得函数在R上单调递减，而，则，A错误； 对于B，由，得函数在上单调递减，而，则，B正确； 对于C，由，得函数在上单调递增，而，则，C正确； 对于D，由选项C知，，即，则，D错误. 故选：BC. 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数运算可得，，借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D. 【解答过程】由，则，由，则，即； 对A：，故，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：由，，则， 即，则，故C正确； 对D：由，则， 由，，则，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 【解题思路】通过比较和的大小关系即可. 【解答过程】因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 故答案为：. 13．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【解答过程】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 14．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 【解题思路】根据函数的奇偶性、单调性以及指数函数、对数函数等知识求得正确答案. 【解答过程】因为函数满足， 所以函数的图象关于直线成轴对称， 因为当时，，由， 则，即，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 由，由， 根据函数在上单调递增，则； 由，根据函数在上单调递增，则，则有. 由函数在上单调递减可知. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）设，及，当时，试比较a、b及c之间的大小关系． 【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较值的大小即可. 【解答过程】当时，由于是一个减函数，所以， 由于是一个递增的幂函数，所以， 由于是递减的对数函数，所以， 故. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)，（且）； (2)，，. 【解题思路】（1）分类讨论和，根据对数函数的单调性即可判断； （2）根据对数函数的单调性及对数运算即可判断. 【解答过程】（1）①当时，在上是增函数， 又，所以； ②当时，在上是减函数， 又，所以. 综上，当时，；当时，. （2）∵在上是增函数， ∴，，， ∵，∴. 又，， ∴. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【解题思路】（1）根据幂函数单调性分析判断； （2）根据指数函数单调性分析判断； （3）根据对数函数单调性分析判断. 【解答过程】（1）因为在内单调递增，且， 所以. （2）因为在内单调递减，且， 所以. （3）因为在内单调递减，且， 所以. 18．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知，，均为正数，且. (1)证明：； (2)若，求，的值，并比较，，的大小. 【解题思路】（1）由已知,通过指对互化,得出，，，再通过对数的运算可得，，由于，对数函数为增函数，即可得证； （2）由，可得，则，即可求得，的值；由，可得，而，，即可比较出，，的大小. 【解答过程】（1）令，则，，， ，. ，，. （2），，则， ，， . ，，. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且． (1)比较与的大小； (2)比较和的大小． 【解题思路】（1）利用作差法比较大小，即得答案； （2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论的取值范围，即可得答案. 【解答过程】（1）， 均为正实数，， ； （2）当时，函数为增函数；当时，函数为减函数． ①当时，，则， 若，则； 若，则； ②当时，； ③当时，，则， 若，则； 若，则． 综上所述，当或时，； 当时，； 当或时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$