4.4解直角三角形的应用（2)（同步课件）数学湘教版九年级上册

4.4 解直角三角形的应用（2） 主讲： 湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角函数 复习导入 解直角三角形的依据： (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°； (3)边角之间的关系:sin A= cos B=cos A= sin B= (4)面积公式：S△ABC= 在运用关系式解直角三角形时，要灵活运用上述关系的变形式。 学习目标 目标 1 目标 2 1. 掌握坡度，坡角的概念。 2、能运用三角形解直角知识解决坡度、坡比有关的实际问题. 自学指导 阅读教材P127-129。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： （1）看教材P127的观察，思考什么叫坡度？什么叫坡角？怎样建立直角三角形模型解决坡度的相关问题？ （2）看教材P129的例题2，怎样建立直角三角形模型解决坡度的相关问题？并掌握做题的格式与步骤。 观 察 探究新知 如图所示，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 右边的路BD陡些． 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 如图所示，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即 （坡度通常写成1∶m的形式）． 坡角：山坡与地平面的夹角α叫坡角． 坡度越大，山坡越陡． ∠BAC叫作坡角． 探究新知 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2 . 小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m） 分析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长. 例题讲解 例2 解：用α表示坡角的大小， 由题意可得 因此α ≈26.57°. 如图，在Rt△ABC中， ∠B =90°，∠A = 26.57°，AC=240m ， 因此 从而BC=240×0.447 ≈ 107.3（m）． 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 用坡度解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题； 二是构造直角三角形把坡度转化为直角三角形的内角。 现实生活中，坡度通常写成1：m(m>0)的形式（比的前项为1，后项可以是小数). 坡度越大，则坡角α越大，坡面越陡. 探究新知 基础检测 1、如图，完成下列填空： （1）斜坡的坡度是1: ，则坡角α= ； （2）斜坡的坡角是45°，则坡比是 ； （3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ； 1 30° 基础检测 2.已知一斜坡的坡度i=1∶ A.60° B.45°C.30° D.无法确定 ,那么该斜坡的坡角α的度数为( ) C 3、某堤的横截面如图所示.堤高BC是 5 m,迎水斜坡AB的长是13 m,那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3 B.1∶2.6C.1∶2.4 D.1∶2 C 基础检测 4. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 280 5、如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是_____ m. 1.一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）. 解：设CB中点为D ，则由图可知 D AD⊥BC. 在Rt△ABD中， AD=h=3.5m 由勾股定理得 ∴α ≈ 35° ∴BDm m 又∵tan α==0.7 一展身手 一展身手 2.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴AE=3·BE=3×23=69(m)． FD=2.5·CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． ∵斜坡AB的坡度 ∴α ≈ 18°26′. ∵ ∴ 一展身手 A C B D 30° 2.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走20米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． 答：点B和点C的水平距离为(40+)米. E 挑战自我 1、为了进一步改善人居环境,提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图所示,AB表示该小区一段长为20 m的斜坡,坡角∠BAD=30°, BD⊥AD于点D.为方便通行,在不改变斜坡高度的情况下,把坡角降为15°. (1)求该斜坡的高度BD; (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离(假设图中C,A,D三点共线). 挑战自我 (2)∵∠BAD=30°, 在△ACB中,∠BCA=15°, ∴∠CBA=15°.∴AC=AB=20 m. 答:斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20 m. (2)求CD的长度. 挑战自我 挑战自我 课堂小结 坡度、坡 角问题 坡度、坡角的概念 运用解直角三角形解决坡度、坡角问题 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,BA=20 m, ∴BD=BA=10(m).答:该斜坡的高度BD为10 m. 2.学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12 m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A,B,C,D在同一平面上(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51,≈1.73). (1)求灯杆AB的高度; 解:(2)在Rt△BDE中,∠BDE=27°, ∴CD=DE-CE=-6≈24.9(m), 即CD的长度约为24.9 m. 解:(1)如图所示,延长BA交CG于点E,则BE⊥CG, 在Rt△ACE中,∠ACE=30°,AC=12 m, ∴AE=AC=×12=6(m),CE=AC·cos α=12×=6(m). 在Rt△BCE中,∠BCE=60°,∴BE=CE·tan ∠BCE=6×=18(m). ∴AB=BE-AE=18-6=12(m),即灯杆AB的高度为12 m. $$