精品解析：安徽省阜阳师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

高中数学 一、单选题 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. C. 7 D. 8 2. 已知，，则图中阴影表示的集合是（ ） A. B. 或 C. D. 3. 设集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，．若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 对于任意实数，，，，有以下四个命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，则. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集为，则（　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 若集合，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 命题的的否定是 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的必要条件. D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 12. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A B. C. D. 13. 已知集合，，，则___________. 14. “”是“”的________条件．（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 15. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 16. 给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处) 四、解答题 17. 设全集，集合，. （1）求及； （2）求. 18. 已知集合，，，． （1）求，； （2）若，求m的取值范围． 19. 已知集合，集合. （1）当a=1时，求，； （2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 20. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 21. 已知关于的不等式，． （1）若，则求上述不等式的解集； （2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围． 22 解下列问题： （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求最小值； （3）已知，求代数式和的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学 一、单选题 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再按照子集个数公式求解即可. 【详解】由题意得：，则的子集个数为个. 故选：B. 2. 已知，，则图中阴影表示的集合是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案. 【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集， 即阴影表示的集合是，所以. 故选：D 3. 设集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系结合充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】∵，，则， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知集合，．若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当时： 成立； 当时： 解得：. 综上所述： 故选 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误. 5. 对于任意实数，，，，有以下四个命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，则. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断①②③，取特殊值可判断④． 【详解】选项①，由不等式的性质可得，正确； 选项②若，，由不等式的可加性可得正确； 选项③若，，则错误； 选项④，则错误，比如，但． 故选：B 6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可. 【详解】 ，当且仅当 时等号成立， 正实数a，b不相等， ， ， ； 故选：A. 7. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】先求集合A,B，然后取并集即可. 【详解】 则 故选：C 8. 若不等式的解集为，则（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 【详解】不等式的解集为，则方程根为、， 则，解得，， 故选：D 二、多选题 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 若集合，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的概念，对选项逐一分析，即可求解. 【详解】由，可得是子集， 所以，，进而，. 故选：ABCD. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 命题的的否定是 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”必要条件. D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A，B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C，D选项. 【详解】对于A中，命题“”的否定是“”，所以A错误； 对于B中，命题“”的否定是“”，所以B正确； 对于C中，由不能推出，反之：也不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C错误； 对于D中，关于的方程有一正一负根， 则满足，可得， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，所以D正确. 故选：BD 12. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于C：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 13. 已知集合，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的补集，再和求交集即可. 【详解】依题意得，故 故答案为： 14. “”是“”的________条件．（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】化简条件，根据充分条件和必要条件的定义判断“”与“”的关系． 【详解】∵ 等价于， ∴ 能推出，不能推出， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要. 15. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 【答案】（1，+∞）． 【解析】 【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B，列不等式组运算得解 【详解】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件， 得：A B， 即，即m＞1， 故答案为：（1，+∞）． 【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题． 16. 给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处) 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断. 【详解】①当时，，故错误； ②当时，a+b，故错误； ③因为，所以，则，因为，等号不成立，故，故正确； ④因为，所以，故，故正确； ⑤因为，则，故，故正确； 故答案为：③④⑤ 四、解答题 17. 设全集，集合，. （1）求及； （2）求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可； （2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可. 【详解】解：（1）因为，， 所以， （2）因为，所以， 所以. 18. 已知集合，，，． （1）求，； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）利用集合的包含关系列不等式组，解不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为集合，， 所以或， 故，； 【小问2详解】 因为，且， 则，解得， 所以m的取值范围为． 19. 已知集合，集合. （1）当a=1时，求，； （2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解. (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当a=1时，，， 所以，. 【小问2详解】 因为a>0，则，由(1)知，， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得， 所以实数a的取值范围是. 20. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 21. 已知关于不等式，． （1）若，则求上述不等式的解集； （2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可； （2）由不等式在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的范围． 【详解】（1）将代入不等式，得：，即，得， ∴不等式的解集为； （2）恒成立， 1）当时，有，显然不恒成立，舍去； 2）当时，由二次函数的性质得：，解得； ∴综上，有. 22. 解下列问题： （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求的最小值； （3）已知，求代数式和的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3）； 【解析】 【分析】（1）由题意可得和3是方程的两个实根，则，从而可求出a，b的值； （2）由已知可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （3）利用不等式的性质求解即可 【小问1详解】 ∵不等式的解集为 ∴和3是方程的两个实根， ∴ 解得 【小问2详解】 ∵，又 ∴ 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 【小问3详解】 ∵， ∴ 由，得，① ． 由，得，② ． 由①②得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$