精品解析：河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次模拟测试数学试题

郑州一中27届（高一）第一次模拟测试 数学试题卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合M，判断Venn图表示集合，再利用集合运算即得结果. 【详解】由题意可知，，阴影部分用集合表示为， 而，故，. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn图，属于基础题. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可判断. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C 3. 已知函数则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的性质直接计算即可； 【详解】因为，所以， 故选：D. 4. 已知，若，，，且，，，则的值（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】因为，又， 所以是R上的奇函数， 又在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又因为，，，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用举反例可判断，利用作差法可判断. 【详解】取， 则，，故错误； ，故错误； ，故错误； 又， ， ， ，即，故正确. 故选：. 7. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断． 【详解】的定义域是，的定义域是，它们都没有奇偶性， 与都是奇函数， 在上，递增，单调递增， 故选：BD． 10. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得命题为真的充要条件，然后根据集合包含关系与充分必要条件的关系判断． 【详解】，，则恒成立，而，所以， 所以BCD都是充分不必要条件． 故选：BCD． 11. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的结论中正确的是（ ） A. 在上是单调递增函数 B. 对任意，都有 C. 对任意，，都有 D. 对任意，，都有 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的定义，可得，即可求解BC，举反例即可求解AD. 【详解】对于A，，不是上的单调递增函数，A错误； 对于B，由的定义，得，故对，，故B正确； 对于C，对任意，， 不妨令，则，所以， 此时，故C正确； 对于D，取，则，， 不满足，故D错误， 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可. 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 13. 函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则______；当时，函数的解析式为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 14. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值. 【详解】，为非负实数，且，结合目标式，有，， ，解得，，解得， ， ， 当且仅当即时等号成立， 故. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得集合或，，结合集合交集的运算，即可求解； （2）由（1）求得，，根据集合并集的运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，可得，解得或， 所以集合或， 又由集合，所以或. 【小问2详解】 解：集合或，， 可得，， 所以. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 17. 设函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性. 【答案】（1）（2）在上单调递减，在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，可得，解方程可得的值； （2）判断在上单调递减，在上单调递减，用定义法证明即可. 【详解】解：因为为奇函数，所以，即 所以，解得. 在上单调递减，在上单调递减. 证明:， 因为，所以，所以，所以. 即，所以在上单调递减. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义与应用及函数单调性的证明，属于中档题. 18. 已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． （1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ （2）若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 【答案】（1）长为6米、宽为4米 （2）长为7米、宽为米 【解析】 【分析】（1）设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，由题意可得，再有基本不等式求解即可； （2）由题意知，将其代入结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，则每个花池的面积为平方米． 由题意可知，所以， 则，所以， 当且仅当，即，时取得等号． 故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大． 【小问2详解】 由题意知，则， 所以， 当且仅当，即，时取得等号， 故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小． 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】（1） 集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明如下： 由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州一中27届（高一）第一次模拟测试 数学试题卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 4. 已知，若，，，且，，，则的值（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的结论中正确的是（ ） A. 在上是单调递增函数 B. 对任意，都有 C. 对任意，，都有 D. 对任意，，都有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示______． 13. 函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则______；当时，函数的解析式为___________. 14. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 设函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性. 18. 已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． （1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ （2）若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $