22.1 分式（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十二章 分式 22.1 分式（含22.1.1-22.1.2） （1）如果小米的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （2）如果小米的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （3）如果小米原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒. 7 100 a 100 a+1 100 填空：小米同学参加百米赛跑 情景引入 （4）老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ). V S （5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元. （8a+b） 问题1:请将上面问题中得到的式子分分类： 7 100 a 100 a+1 100 单项式： 多项式： 既不是单项式也不是多项式： a 100 a+1 100 8a+b 8a+b 整 式 7 100 一、分式的概念 问题2 ：式子 它们有什么相同点和不同点？ 相同点 不同点 （观察分母） 从形式上都具有分数 形式 分母中是否含有字母 7 100 a 100 a+1 100 A B 分子A、分母B都是整式 Administrator (A) - 对比并观察，让学生了解什么是分式。 分式的定义 一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 注意：分式是不同于整式的另一类式子， 且分母中含有字母是分式的一大特点。 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解：整式有(2)(5)(6)(7)，分式有(1)(3)(4)． 归纳：1.判断时，注意含有 的式子， 是常数. 2.式子中含有多项时，若其中有一项分 母含有字母，则该式也为分式，如： . 我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才能有意义，否则无意义. 分母不等于零 分式有意义的条件： 二、分式有意义的条件 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （3） （4） 例2 解： （1）要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x ≠0. （2）要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x ≠1. （3）要使分式 有意义，则分母5-3b≠0,即 ; （4）要使分式 有意义，则分母x-y≠0,即x≠y. 【方法总结】 (1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0. (2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关． 想一想：分式 的值为零应满足什么条件？ 当A=0而 B≠0时，分式 的值为零. 注意：分式的值为零是分式有意义的一种特殊情况. 三、分式的值为零的条件 解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零. 的值为零. ∴当x = 1时,分式 ∴ x ≠ -1. 而　x+1≠0， ∴x = ±1， 则　x2 - 1=0， 例3 当x为何值时，分式 的值为零? 例4 [高频考题]若分式 的值为0，则x的值是(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或x＝－1 D．以上答案都不正确 A [解析] 要使分式的值为0，必须在分式有意义的前提下让分子为0. 如果分子为0，即(x＋1)(x－1)＝0，那么x＝1或x＝－1. 当x＝－1时，分母(x－2)(x＋1)＝0，分式无意义，故舍去； 当x＝1时，分母(x－2)(x＋1)≠0，分式有意义．故当x＝1时分式的值为0. 正确答案为：A　 1．下列各式中，，，，，是分式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．要使分式有意义，x的取值应满足（　 ） A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3 3．不论x取何值时，下列分式总有意义的是（     ） A． B． C． D． C B D 课堂练习 4．若分式 的值为零，则x的值为（     ） A．3或−3 B．3 C．−3 D．9 5．已知，则的值是（     ） A．－5 B．5 C．－4 D．4 6．若代数式 的值为0，则x=______；当b=______时，分式无意义． C B -2 -4 7．当x的值为___________时，分式的值为负． 8．已知，则______. 9．分式的值是整数，则正整数的值等于___________． 10．观察下列各式：，-，，-，……，则第10个式子为_________． ＜1且≠0 2或3或5 11．当x为何值时，分式有意义？ 解：由题意得，x-1≠0，x+2≠0， 解得x≠1且x≠-2． 12．当为何值时，分式的值为零？ 解：∵的值为零 ∴且 解得：， 当x=2时， 当x=-2时，，故舍去 综上：x=2 13．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，求的值． 解：时，分式的值为0， ， ． 时，分式没有意义， ， ． ． 分式 定义 值为零的条件 有意义的条件 一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子 叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 分式 有意义的条件是B ≠0. 分式 值为零的条件是A=0且B ≠0. 课堂小结 下列分数是否相等？ 　 这些分数相等的依据是什么？ 　　分数的基本性质. 　　相等. 问题1： 15.1.2 一、分式的基本性质 分数的基本性质： 　　一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变． 你能叙述分数的基本性质吗？ 问题2： 　　一般地，对于任意一个分数 ，有 其中a， b， c 是数。 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？ 问题3： 分式的基本性质： 　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 问题4： 追问1 如何用式子表示分式的基本性质？ 其中A，B，C 是整式. (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； (2)所乘(或除以)的必须是同一个整式； (3)所乘(或除以)的整式应该不等于零. 追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？ 例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？ 解: (1)成立. 因为 所以 素养考点1 分式的基本性质的应用 (2) 成立. 因为 所以 解：(1)正确．分子分母除以x ； (2)不正确．分子乘x，而分母没乘； (3)正确．分子分母除以(x -y)． (1) （2） （3） 1、下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由. 练一练 2、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． 解： 分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变. 填空： 二、约分 　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　 观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 分式的分子、分母约去公因式，值不变. 问题5： 解： 素养考点2 约分的应用 例 约分: 约分的方法： ①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式； ②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分. ③约分结果为最简分式或整式. 归纳总结 1、下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号). (2) (4) 练一练 解： 2、约分： 填空： 分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac. 分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 三、通分 1. 通分的依据是什么？ 2. 通分的关键是什么？ 3. 如何确定n个分式的公分母？ 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 确定各分式的最简公分母. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母. 想一想 解:(1)最简公分母是2a2b2c. (2)最简公分母是(x + 5)(x－5). 例 通分： 素养考点 3 通分的应用 1. 通分的步骤 ①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式. 2.确定最简公分母的方法 (1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式. (2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母. 归纳总结 通分： 解：(3)最简公分母是 (3) ， ， 1．分式，，，中最简分式的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．使等式自左到右变形成立的条件是（     ） A． B． C． D．且 3．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． B C B 课堂练习 4．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（        ） A． B． C． D． 6．如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（        ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 D A D 7．下列说法正确的是（     ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 C 8．（1）；（2）；（3）. 9．化简分式＝_____． 10．下列分式，，通分的最简公分母是_________． 11．分式 ， ，的最简公分母是_______________. ab(a+b)(a-2b) 12．若分式 的值为，则把的值均扩大为原来的倍后，这个分式的值为____． 13．已知，则________． 8 14．约分：(1) (2) 解： （1）原式； （2）原式． 15．通分： （1）与；（2）与；（3）与；（4）与． 解：（1）∵与的最简公分母是6， ∴ = ， = ； （2）∵与的最简公分母是3， ∴ = ， = ； 15．通分： （1）与；（2）与；（3）与；（4）与． （3）∵与的最简公分母是2， ∴ = ， = ； （4）∵与的最简公分母是， ∴ = ， = ． 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. ， (c≠0)其中A，B，C是整式. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 经过约分后的分式 ， 其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式. 课堂小结 约分的基本步骤 (1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母的一般步骤： （1）分母为多项式的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）写成积的形式. (1)；(2)－；(3)；(4)； (5)(x2＋1)；(6)；(7). [解析] 一个式子是分式必须同时满足以下两个条件：(1)式子的分子与分母都是整式；(2)式子的分母中含有不表示常数的字母．注意是分式，不能化简后再去判断；而中分母π是常数，因此是整式． $$