22.3 分式方程（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十二章 分式 22.3 分式方程 下列不是整式方程的有哪些？ (1) 2x+5=7； (2) 9x-5； (3) 6y+1>2y； (4) 7-2=5； (5) 4x+3y=3； (6) ； (7) ； (8) x=4. 不是整式方程的有：(2)(3)(4)(7). 知识引入 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行110 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 分析：①等量关系：它以最大航速沿江顺流航行110 km所用的时间， 与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等。 ②将等量关系写出等式形式 顺流航行110km所用的时间=逆流航行60 km所用的时间 ③联系相关公式：V轮船顺流=V轮船静水+V水流， V轮船逆水=V轮船静水-V水流，t= 解：如果设江水的流速为v km/h， 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速. 则轮船顺流航行的速度为 (30+v) km/h， 轮船逆流航行的速度为 (30-v) km/h， 航行110 km所用的时间为 h； 根据题意得 . 航行60 km所用的时间为 h . 为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ． 问题1：仔细观察这个方程，对比我们学习过的方程，未知数的位置有什么特点？ 分母上有未知数 问题2：分母上有未知数的代数式叫做分式，那么分母上有未知数的方程叫什么？ 分式方程 问题3：所以，什么样的方程可以成为分式方程？ 一、分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程. （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.三者缺一不可. 由上面的探究可知，成为分式方程必须满足的条件： 问题4：你能再写出几个分式方程吗？ 例如： 例1 下列式子：① ；② ；③ ； ④ ；⑤ .其中，分式方程有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 注意：④里的分母虽然可以化简掉，但我们判断是否为分式方程，是看化简前的方程，而不是化简后的方程。 1.关于x的方程： 其中分式方程是 . ① ④ 易错点：①这里的π是数学符号，代表圆周率，不是未知数； ②题目中“关于x的方程”的意思是，方程中除了x以外 的字母都视作已知数。 下面我们继续探究，如何解分式方程 问题5：你能解方程 吗？ 能，先去分母，再合并同类项，移项，系数化1即可. 所以，解分式方程的时候也和解这个一元一次方程一样，我们要先去掉分式方程的 ，将分式方程化为 方程进行求解。 分母 整式 二、解分式方程 问题6：怎样去分母？在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ 方程两边同乘以各分母的最简公分母 问题7：这样做的依据是什么？ 依据是等式的基本性质 步骤：①确定分式方程中各分母的最简公分母. ②根据等式基本性质，分式方程的两边都乘以最简公分母，去掉分母，化为整式方程。 ③解这个整式方程可得原分式方程的解. 解分式方程的基本思路 去分母 分式方程 整式方程 转化 试试解分式方程 步骤② 化简得 步骤④ 解得 则得到， 步骤①去分母， 方程两边同乘各分母的最简公分母 你得到的解 是分式方程 的解吗？　　　 检验：把v=6代入分式方程得： 左边= 右边= 左边=右边，所以v=6是原方程的解. 问题8： 是不是所有分式方程都如此求解呢？ 回顾解分式方程 的步骤，其中步骤①去分母的依据是等式的基本性质，等式的基本性质告诉我们 ，我们在等式两边乘的(30+v)(30-v)会不会为0呢？ 在等式两边同乘一个不为0的数，等式仍然成立 可能为0 例如，解分式方程 时， 去分母，在方程两边同乘以 ，方程化简为x-5=x+5，解得x=5。 将x=5代入原分式方程检验，会发现分母为零，不成立。 (x+5)(x-5) 为什么会这样呢？ 出现这种情况的根本原因就是，化简得到的整式方程的解，使最简公分母为0了。为了知道我们解出的未知数的值，是不是原分式方程的解，所以，规定解出分式方程未知数的值后，必须要检验。 解分式方程的思路： 分式方程 整式方程 去分母 解分式方程的一般步骤 一去 二解 三验 四写 去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程. 解这个整式方程. 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 写出原分式方程的解. 易错点：漏乘没有分母的项 例1　解下列方程： 解：方程的两边同乘以x(x–4)， 得2x=3x–12 解得：x=12 检验：当x=12时，x（x–4）≠0. 所以，原方程的解是x=12. 1.解下列方程： 解：方程的两边同乘以2x(x+3)， 得(x+3)=4x 解得：x= 1 检验：当x=1时，2x（x+3）≠0. 所以，原方程的解是x=1. 例2 解方程: . 解：方程两边同乘(x-1)(x+2) ，得 x(x+2)- (x-1)(x+2) =3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0. 因此x=1不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解. 注意：分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母(x-1)(x+2). 2.解分式方程： . 解：方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x， 解得x=1.5. 检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0， 所以原分式方程的解是x=1.5. 注意：确定最简公分母时，要现将能分解因式的分母分解因式. D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 课堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 5. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 解分式方程的一般步骤： 分式方程 整式方程 x=a x=a是分式方程的解 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 课堂小结 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有4种： （1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； 用分式方程解决问题 （4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。 知识点一：列分式方程解决工程问题 分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的 ____ ，乙队完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的________。 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个的施工队速度快？ 等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以6x,得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 练习：某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？ 解：设规定日期是x天，根据题意，得： 方程两边同乘以x（x+3），得： 2（x＋3）＋x2=x（x＋3） 解得： x=6 检验：x＝6时，x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解。 答：规定日期是6天。 工程问题：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 知识点二：列分式方程解决行程问题 例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？ 0 180 200 解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得 解得x＝90 经检验，x＝90是原方程的解， 且x=90，x+10=100，符合题意. 答：面包车的速度为100千米/小时， 小轿车的速度为90千米/小时. 注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义. 做一做 1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 300 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得 解得x＝30 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意. 答：小轿车提速为30千米/小时. 2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 S 路程 速度 时间 面包车 小轿车 s-200 s-180 100 90+x 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得 解得x＝ 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.写:答案. 知识点三：列分式方程解决利润问题 解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案； 例3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ 解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意，得 解得x＝6. 经检验，x＝6是原方程的解且符合题意． 答：第一次水果的进价为每千克6元． (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． (2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)． 第二次购买水果200＋20＝220(千克)． 第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)， 第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)=－12(元)． 所以两次共赚钱400－12＝388(元)． 1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个 步骤。 2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间节设）的前提下找出等量关系。 3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。 4、注意不要漏检验和写答案。 课堂小结 $$