专题04 空间向量与立体几何大题压轴专练六大类型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 空间向量与立体几何大题压轴专练 目录 类型一、空间向量数量积及其应用 1 类型二、空间夹角与距离计算问题 6 类型三、立体几何折叠问题 13 类型四、立体几何动点探究问题 21 类型五、立体几何最值范围问题 30 类型六、数学文化与新定义问题 38 类型一、空间向量数量积及其应用 例．（24-25高二上·四川广安·月考）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【变式训练1】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 【变式训练2】（23-24高二上·贵州遵义·月考）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）如图所示，连接，可得， 因为为的中点，则， 所以， 所以 . （2）解：因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以. 【变式训练3】（24-25高二上·福建厦门·月考）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量，； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为分别为，的中点，设，，， 所以， ； （2）由题意可得，， 则， 由（1）知，， 所以， ， ， 所以， 所以异面直线AM与所成角的余弦值为. 【变式训练4】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，． (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii） 【解析】（1）如图，连接， 因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i）； （ii）因为， 所以. 类型二、空间夹角与距离计算问题 例．（24-25高三上·广东肇庆·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，. (1)证明：平面平面. (2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以，. 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以. 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设为平面的法向量， 则取，得. 易知是平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式训练1】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）如图，正四棱台中，上为上下底面中心的连线，且与侧面所成的角的正切值为. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，易知两两垂直，分别以为轴建立直角坐标系，如下图： 则，取， 设平面的法向量，则，令，则， 所以平面的一个法向量，取， 点到平面的距离. （2）由（1）可知， 取， 设平面的法向量，则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设二面角的大小为，则. 【变式训练2】（24-25高二上·北京·月考）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 因为棱柱直三棱柱， 所以面，平面，所以平面平面， 又平面平面，面， 则平面，又平面，所以， 在矩形中，，为的中点， 所以，  所以，故， 又，面，面， 所以平面，又平面， 所以； （2）取的中点，连接， 由（1）及题意易知，，两两垂直， 则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 由，，则，，，，. 设平面的法向量为，又，， 则即令，则. 设直线与平面所成的角为，又， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知平面的一个法向量为，，， 所以点到平面的距离为. 【变式训练3】（24-25高二上·天津和平·月考）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2）,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. 【变式训练4】（24-25高二上·辽宁鞍山·月考）如图，平面，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，可以建立以为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，所以，平面与平面夹角的余弦值为. （3）设，即， 则，从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 类型三、立体几何折叠问题 例．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，在矩形中，，为边上的点，且，将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：在直角中，，，可得， 同理，在直角中，，所以， 可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：如图所示，作，垂足为，在中，可得，， 由（1）知，平面平面， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点垂直平面为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，，所以， 又由轴与平面垂直，所以平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的余弦值为. 【变式训练1】（24-25高二上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析（1）证明：因为，所以， 即平面，平面， 又平面，所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面， 又平面平面平面， 平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为， 则，令，得， 所以为平面的一个法向量， 设二面角为. 因为， 所以. （3）分别以反方向和方向分别为轴，过做平面的垂线为轴， 设， 显然， ，得出， 则，则， 根据翻折后勾股定理得，化简得， 因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，令，则，且， ， 根据函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围 【变式训练2】（24-25高二上·辽宁大连·月考）如图一，是等边三角形，为边上的高线，，分别是，边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）是等边三角形，，为边上的高线， ，则，， 又，平面，平面， 平面，平面， ， 在内，，，， ， ， 又，平面，平面， 平面； （2）分别以，，的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，， 设平面的法向量为， ， 取，则，，， 设平面与平面的夹角为，， 则，， 平面与平面夹角的正弦值为. 【变式训练3】（24-25高二上·山东·月考）在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. (1)当二面角为时，判断与平面是否平行； (2)探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)不与平面平行；(2)平面不与平面垂直；(3) 【解析】（1）若二面角为，则平面平面， 因为平面平面，且，所以平面， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 因为，所以， 所以不与平面平行. （2）取的中点，连接，则， 因为，所以二面角的平面角为，即， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直. （3）在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式训练4】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，点是边上的动点，沿将翻折至，使得平面平面．      (1)当时，求证：； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，，， 所以，，， 因为，所以， 因为平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，在上取点使， 由得，，故，， 又因平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，故， 又，，则， 故，，，， 则，， 由题知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，得，令，得，，， 设二面角的平面角为，则， 故，即二面角的正弦值为. 类型四、立体几何动点探究问题 例．（23-24高二下·江苏盐城·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）存在， 【解析】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，   ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是， ． 【变式训练1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，与重合时. 【解析】（1）四棱柱中，取中点，连接，， 由是的中点，得，且， 由是的中点，得，且， 则、，于是四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，得、， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为. （3）假定在棱上存在点，使其到平面的距离为，设， 则，由（2）知，平面的法向量为， 则，解得，即点与点重合， 所以在棱上存在点与点重合，，使其到平面的距离为. 【变式训练2】（24-25高二上·四川遂宁·月考）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，且使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面，故平面平面， 又平面，故平面. （2）正四棱台中，上下底面中心的连线底面， 底面为正方形，故， 故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系， 由，侧面与底面所成角为， 则， 则，，，，， 假设在线段上存在点满足题设， 则， 设，即， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 故，解得或（舍）. 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长春·月考）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面． (1)证明：平面ADE； (2)在棱EC（不包括端点）上是否存在点，使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在；三棱锥的体积为 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，且，则且， 可知四边形是平行四边形，则，且， 又因为是菱形，则，且， 可得且，可知四边形是平行四边形，则， 且平面平面，所以平面. （2）连接交于，取中点 因为平面，则平面，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得，. 则， 整理可得，解得或， 且，即，则， 可得点到平面的距离． 所以三棱锥的体积为. 【变式训练4】（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． (1)证明：平面平面； (2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． (3)点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由平面，平面，平面， 得，， 与底面所成角为 ． 所以三角形 为等腰直角三角形， ． 又由四边形是直角梯形，，可知， 所以为等腰直角三角形，而，故． 在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形， 可知 ． 所以 ，在等腰直角三角形 中，． 则有，所以． 又因为，，平面 ，平面． 所以平面．因为平面 ，所以平面平面． （2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． （3）设，注意到， 所以， 所以， 设，注意到， 所以， 因为，，所以， 若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时， 综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面. 类型五、立体几何最值范围问题 例．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)直线在平面内，理由见解析；(3) 【解析】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 【变式训练1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. (1)证明：平面； (2)已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)①；②. 【解析】（1）证明：设交于点G，连接EG，如图， 在三棱台中，，， 又D为AC的中点， 所以，，四边形是平行四边形，G为的中点. 又E为BC的中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）①连接BD， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为，D为CA的中点，所以， 又平面平面，平面，所以平面， 由平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 由平面，所以，故四边形为菱形，， 所以三棱台的体积为. ②如图所示建立平面直角坐标系，则，，，， 不妨设，则，， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，可得， 设与平面所成角为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 【变式训练2】（24-25高二上·浙江·月考）如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，. (1)若，求三棱锥的外接球的表面积； (2)若异面直线和所成角的余弦值为，点是线段（不含端点）上的一个动点，平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，，两两垂直，可将其补成正方体， 正方体的体对角线即为外接球的直径. 所以三棱锥的外接球直径为：， 两边平方得，所以. （2）如图，取中点，由题意，，， 设，，，. 则，，，因为，所成角的余弦值为， 所以， 得. 又，， ， 解得或（舍去）.所以，此时， 这样，可以以，，分别为，，轴正方向， 建立空间直角坐标系（如图）. 则，，，，设， 因为点，所以设， ，，所以. 所以得. 因为，， 设平面的一个法向量， 则取， 又，， 同理可求得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 设，，，则， 记，，显然在上单调递增， 所以，当时，，所以. 即的取值范围是. 【变式训练3】（24-25高二上·山东枣庄·月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面，.    (1)若点为EF的中点，求平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值 (2)点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值. 【答案】(1)；(2)求的最小值为. 【解析】（1）在梯形中，∵，， ∴，∴， ∴，∴，又因为平面， 建立分别以直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示， 则, 平面ABCD的法向量为，， 将图形放入如图所示的直四棱柱中，过点作的平行线与交于点， 连接，因为，所以五点共面， 平面即为平面，所以平面APB与BFC的交线即为， ，，，， 设交线与平面ABCD所成的角为， . 平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值为. （2）由（1）可令，则, ∴,, 设为平面的一个法向量， 由得， 取则， ∵是平面的一个法向量, ∴ ∵,∴当时，有最大值． ∴的最小值为 【变式训练4】（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即得， 四边形为矩形，≌，则,即， 平面，于是平面，平面， 所以平面平面； （2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故， 以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ∵，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 则， 设平面的法向量为，则，即， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 从而有， 而，则，, 所以. 类型六、数学文化与新定义问题 例．（24-25高二上·山东枣庄·月考）把直线看作是动点的轨迹（集合），利用坐标法描述动点P的特征，其中为直线的法向量，使直线有了代数表达形式，即直线的方程. (1)类比此思想与方法，在空间直角坐标系下，若、、，求平面的方程. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），， 设为平面的法向量， 则有， 令，则有，，即， 则平面的方程为：， 即； （2）由题可得，平面的法向量为，且过点， 则有， 则点到平面的距离. 【变式训练1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·月考）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点. (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在， 【解析】（1）连接，由已知得平面，， 又平面，所以平面平面， 所以二面角的大小为，因为四边形为菱形，， 所以，又，所以， 在中，， 由三面角余弦定理可得 . （2）依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 综上可得. （3）以O为坐标原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，，， 则=，设，即 则 设为平面的法向量， ，， 则，不妨设，可得， 要使平面 则，则， 即存在点P，在线段的延长线上， 【点睛】关键点点睛：利用空间向量法表示线面平行关系. 【变式训练2】（24-25高二上·湖南长沙·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【答案】(1)；(2)；(3)（i），（ii） 【解析】（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的正弦值为.    （2）由题可知平面的法向量为，且过点， 因为，所以， 所以点到平面的距离为. （3）（i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面， 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得， 画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，． (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【解析】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由已知， 则, 则， 则， 且. 由题意知, 所以有， 则，解得（舍去）， 故的长为. （2）由（1）知，, 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 由题意，设，， 则 则， 由可知，， 且，由， 则，解得； 则， 则解得，， 则， 又，解得. 【变式训练4】（24-25高二上·河北·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②. 【解析】（1）因为平面，平面，平面两两垂直，所以， 所以球面三角形ABC的面积； （2）①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②由题意可知是球的直径，则有, 又，所以平面， 又因为平面，所以, 又因为，所以平面，平面，所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令，则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则所以； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令，则， 所以 当且仅当时等号成立，则的最大值为， 所以取最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间向量与立体几何大题压轴专练 目录 类型一、空间向量数量积及其应用 1 类型二、空间夹角与距离计算问题 3 类型三、立体几何折叠问题 5 类型四、立体几何动点探究问题 8 类型五、立体几何最值范围问题 10 类型六、数学文化与新定义问题 13 类型一、空间向量数量积及其应用 例．（24-25高二上·四川广安·月考）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【变式训练1】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点． (1)求； (2)求的长． 【变式训练2】（23-24高二上·贵州遵义·月考）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若，求． 【变式训练3】（24-25高二上·福建厦门·月考）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量，； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练4】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，． (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 类型二、空间夹角与距离计算问题 例．（24-25高三上·广东肇庆·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，. (1)证明：平面平面. (2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值 【变式训练1】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）如图，正四棱台中，上为上下底面中心的连线，且与侧面所成的角的正切值为. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【变式训练2】（24-25高二上·北京·月考）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求点到平面的距离. 【变式训练3】（24-25高二上·天津和平·月考）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． (3)求点到平面的距离． 【变式训练4】（24-25高二上·辽宁鞍山·月考）如图，平面，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 类型三、立体几何折叠问题 例．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，在矩形中，，为边上的点，且，将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值的大小. 【变式训练1】（24-25高二上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【变式训练2】（24-25高二上·辽宁大连·月考）如图一，是等边三角形，为边上的高线，，分别是，边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【变式训练3】（24-25高二上·山东·月考）在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. (1)当二面角为时，判断与平面是否平行； (2)探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练4】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，点是边上的动点，沿将翻折至，使得平面平面．      (1)当时，求证：； (2)当时，求二面角的正弦值． 类型四、立体几何动点探究问题 例．（23-24高二下·江苏盐城·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【变式训练2】（24-25高二上·四川遂宁·月考）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，且使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长春·月考）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面． (1)证明：平面ADE； (2)在棱EC（不包括端点）上是否存在点，使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由． 【变式训练4】（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． (1)证明：平面平面； (2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． (3)点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 类型五、立体几何最值范围问题 例．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【变式训练1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. (1)证明：平面； (2)已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 【变式训练2】（24-25高二上·浙江·月考）如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，. (1)若，求三棱锥的外接球的表面积； (2)若异面直线和所成角的余弦值为，点是线段（不含端点）上的一个动点，平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【变式训练3】（24-25高二上·山东枣庄·月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面，.    (1)若点为EF的中点，求平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值 (2)点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值. 【变式训练4】（23-24高二上·湖北·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 类型六、数学文化与新定义问题 例．（24-25高二上·山东枣庄·月考）把直线看作是动点的轨迹（集合），利用坐标法描述动点P的特征，其中为直线的法向量，使直线有了代数表达形式，即直线的方程. (1)类比此思想与方法，在空间直角坐标系下，若、、，求平面的方程. (2)求点到平面的距离. 【变式训练1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·月考）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点. (1)求的值； (2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【变式训练2】（24-25高二上·湖南长沙·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【变式训练3】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，． (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【变式训练4】（24-25高二上·河北·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$