第13讲 数据的集中趋势和离散程度 （5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第13讲 数据的集中趋势和离散程度 （5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点2．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 知识点3．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点4．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 知识点5．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 题型强化 题型一．算术平均数 1．（2023秋•宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024•宿迁）一组数据6，8，10，的平均数是9，则的值为 　　． 3．（2023秋•南京期中）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 54 68 76 64 96 220 178 756 （1）求该自习室本周的日平均营业额． （2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额． 题型二．加权平均数 4．（2024•盐城模拟）小明参加演讲比赛的得分情况如表： 服装 普通话 主题 得分 90 80 88 评总分时，按服装占，普通话占，主题占，她的总得分是　　 A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 5．（2024•盱眙县校级模拟）“校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是 　　分． 6．（2023秋•清江浦区期中）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射成功，神舟十五号与神舟十六号6名航天员胜利会师中国空间站．某校团委组织了“中国梦航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分）； 班次 项目 知识竞赛 演讲比赛 手抄报创作 1班 85 91 88 2班 90 84 87 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． 题型三．中位数 7．（2024•苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择　　 A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 8．（2024•南京模拟）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 　　． 9．（2024•高新区校级模拟）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表： 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有 　　人，　　； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：如下：190，172，180，184.168，188，174，181．则他们身高的中位数是 　　 （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 题型四．众数 10．（2022秋•太仓市期中）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 11．（2023秋•镇江期末）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：，10，9，8，9，11，9，则这组数据的众数是 　　． 12．（2023秋•广陵区期末）某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取50名学生的成绩如表： 答对数（题 6 7 8 9 人数 5 25 10 （1）填空：　　； （2）50名学生的“答对数”的众数是 　　题，中位数是 　　题； （3）若答对8题（含8题）以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级800名学生中有多少是优秀“答题能手”？ 题型五．方差 13．（2024•响水县二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．（2023秋•新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 　　（填“甲”或“乙”或“丙” ． 15．（2024•崇川区三模）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 44.4 八年级 84 87 6.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　　年级的学生； （3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数． 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．互为补角的两个角都是锐角 C．等腰三角形是轴对称图形 D．一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值为3 2．用如下算式计算方差：，上述算式中的“”是这组数据的（       ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表(有两个数据被遮盖)： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1℃ －1℃ 2℃ 0℃ ■ 1℃ 被遮盖的两个数据依次是(   ) A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃， 4．一名射击爱好者7次射击成绩（单位：环）依次为：6，10，7，9，8，9，5，去掉一个最高成绩和一个最低成绩后．下列数据一定不发生变化的是（    ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 5．一种营养粥是由糯米、黑米和红豆三种主要原料配比后熬制而成，且权重之比为5:4:1．经市场了解发现，糯米、黑米和红豆的价格分别为6元/千克、8元/千克和20元/千克，仅从主要原料角度考虑，这种营养粥的成本价为（　　） A．8.5元/千克 B．6.8元/千克 C．7.6元/千克 D．8.2元/千克 6．为了倡导节约用水，某家庭记录了去年12个月的月用水量如下表（且为整数）．下列关于用水量的统计量中，不会发生变化的是（    ） 用水量x/吨 3 4 5 6 7 频数 1 2 5 a A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．众数、方差 7．疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了名学生，结果如表： 体温（单位：） 人数 则这名学生体温的众数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 8．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（名） 2 4 3 1 则下列结论正确的是（　　） A．平均数是13 B．中位数是13 C．众数是14 D．方差是2 9．某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 年龄岁 13 14 15 16 17 18 人数 2 6 8 3 2 1 则这些队员年龄的中位数是　　 A．15 B．16 C．17 D．18 10．某次射击比赛中，甲队员的射击成绩统计如下: 成绩（环） 5 6 7 8 9 次数 1 2 4 2 1 则下列说法正确的是（   ）． A．甲队员射击成绩的极差是3 环 B．甲队员射击成绩的众数是1 环 C．甲队员射击成绩的众数是7．5环 D．经计算，甲队员射击成绩的平均数是7环，另外一名乙队员射击成绩的平均数也是7环，甲队员射击成绩的方差是1．2，乙队员射击成绩的方差是3，则甲队员的成绩比乙队员的成绩稳定． 二、填空题 11．一组数据2、3、-1、0、1的方差是 . 12．五名男生的数学成绩如下：，，，，，，则这组数据的中位数是 ． 13．某校规定学生的数学综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是95分、95分和90分，则他本学期数学综合成绩是 分． 14．一组数据，，，，的中位数为 ． 15．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是 ； 16．若一组数据 3，4，5，x的平均数是5，则x= ． 17．已知一组数据1，4，a，3，5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是 ． 18．八年级一、二班的同学在一次数学测验中的成绩统计情况如下表： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 一 50 84 80 186 二 50 85 80 161 某同学分析后得到如下结论：①一，二班学生成绩平均水平相同；②二班优生人数不少于一班（优生线85分）；③一班学生的成绩相对稳定，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 19．某市规定学生的学期体育成绩满分是100分，其中大课间活动和下午体段占，期中考试占，期末考试占，张晨的三项成绩（百分制）分别是95分、90分、86分，求张晨这学期的体育成绩． 20．将1~31这31个自然数分成A、B两组，20在A组，如果把20从A组移到B组中，则A组中各数的平均数增加，B组中各数的平均数也增加．求A组中原有多少个数． 21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测试，两个人在相同条件下各射靶5次，甲命中的环数分别是：10、6、10、6、8，乙命中的环数分别是：7、9、7、8、9.经过计算，甲命中的平均数为，方差为． （1）求乙命中的平均数和方差； （2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加射击比赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？ 22．九7九8班组织了一次经典朗读比赛，两班各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 九7 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 九8 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)九7班成绩的平均数是___________分，中位数是___________分． (2)计算九8班的平均成绩和方差 (3)已知九7班成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是___________班 23．“绿水青山就是金山银山”，某市市民积极参与义务植树活动．小致同学为了了解自己小区300户家庭在4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6 （1）对以上数据进行整理、描述和分析： ①绘制如图的统计图，请补充完整． ②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是　　，众数是　　． （2）“互联网＋全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，小致同学所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有　　户． 24．市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：分、分、分、分（满分为分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 分 分 分 分 人数 请根据图表信息解答下列问题： (1)甲队成绩的中位数为___________，甲队成绩的众数为___________，乙队成绩的中位数为___________，乙队成绩的众数为___________； (2)分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 25．某校九年级学生开展踢毽子活动,每班派5名学生参加,按团体总分排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总个数 甲班 100 98 102 97 103 500 乙班 99 100 95 109 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考. 请你回答下列问题: (1)甲、乙两班的优秀率分别为　　　　、　　　　; (2)甲、乙两班比赛数据的中位数分别为　　　　、　　　　; (3)计算两班比赛数据的方差; (4)根据以上三条信息,你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班?简述理由. 26．如图1，直线与y轴交于点，与x轴交于点． （1）按题意填表： n 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 （2）由（1）中表格中的数据可以发现： ①对于， ， ， ， ； ②直线一定经过的点的坐标为 ； （3）如图2，正方形OPQR是△的内接正方形，设正方形的边长为m，求证：1＜m＜2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 数据的集中趋势和离散程度 （5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点2．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 知识点3．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点4．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 知识点5．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 题型强化 题型一．算术平均数 1．（2023秋•宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平均数的公式计算出的值即可． 【解答】解：数据2、、3、4的平均数是3， ． 故选：． 【点评】本题考查了算术平均数，对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数． 2．（2024•宿迁）一组数据6，8，10，的平均数是9，则的值为 　　． 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可． 【解答】解：一组数据6，8，10，的平均数是9， ， 解得． 故答案为：12． 【点评】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式． 3．（2023秋•南京期中）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 54 68 76 64 96 220 178 756 （1）求该自习室本周的日平均营业额． （2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额． 【分析】（1）根据平均数的定义计算可得； （2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额． 【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为（元， 所以该自习室本周的日平均营业额为1080元； （2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额， 所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大， 故用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理， 方案：用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额， 当月的营业额为（元． 【点评】本题主要考查算术平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用． 题型二．加权平均数 4．（2024•盐城模拟）小明参加演讲比赛的得分情况如表： 服装 普通话 主题 得分 90 80 88 评总分时，按服装占，普通话占，主题占，她的总得分是　　 A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】解：她的总得分是：． 故选：． 【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键． 5．（2024•盱眙县校级模拟）“校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是 　　分． 【分析】利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【解答】解：由题意可得， （分， 即小明最终成绩是90分， 故答案为：90． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 6．（2023秋•清江浦区期中）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射成功，神舟十五号与神舟十六号6名航天员胜利会师中国空间站．某校团委组织了“中国梦航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分）； 班次 项目 知识竞赛 演讲比赛 手抄报创作 1班 85 91 88 2班 90 84 87 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． 【分析】（1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明1班、2班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报按的比例确定最后成绩，请通过计算说明1班、2班谁将获胜． 【解答】解：（1）1班的平均分为：（分， 2班的平均分为：（分， ， 班将获胜； （2）由题意可得： 1班的平均分为：（分， 2班的平均分为：（分， ， 班将获胜． 【点评】本题考查算术平均数和加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 题型三．中位数 7．（2024•苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择　　 A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【解答】解：要推出由7个盲盒组成的套装产品， 中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， 序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， 选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁， 选项中只有：丙，丁， 故选：． 【点评】本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键． 8．（2024•南京模拟）某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：6，8，6，7，5，5，则这组数据的中位数是 　6　． 【分析】根据中位数的定义将数据从小到大排列即可得到答案． 【解答】解：依题意，从小到大排列可得：5，5，6，6，7，8， 故中位数：， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 9．（2024•高新区校级模拟）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表： 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有 　200　人，　　； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：如下：190，172，180，184.168，188，174，181．则他们身高的中位数是 　　 （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出的值； （2）先将题目中的数据按照从小到大排列，再计算中位数即可； （3）根据题意和（1）中的值，可以计算出全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人． 【解答】解：（1）本次抽取的学生有：（人， ， 即， 故答案为：200，40； （2）将190，172，180，184，168，188，174，184按照从小到大排列是：168，172，174，180，184，184，188，190， 这组数据的中位数是， 故答案为：182； （3） （人， 答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人． 【点评】本题考查中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型四．众数 10．（2022秋•太仓市期中）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【分析】根据众数、中位数的定义进行解答即可． 【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24， 即：众数是23，中位数是24， 故选：． 【点评】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提． 11．（2023秋•镇江期末）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：，10，9，8，9，11，9，则这组数据的众数是 　　． 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解． 【解答】解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9． 故答案为：9． 【点评】本题考查众数的意义，解题的关键是掌握众数是一组数据中出现次数最多的数． 12．（2023秋•广陵区期末）某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取50名学生的成绩如表： 答对数（题 6 7 8 9 人数 5 25 10 （1）填空：　　； （2）50名学生的“答对数”的众数是 　　题，中位数是 　　题； （3）若答对8题（含8题）以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级800名学生中有多少是优秀“答题能手”？ 【分析】（1）根据总人数为50名可得的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：10； （2）50名学生的“答对数”的众数是7题，中位数是（题， 故答案为：7、7； （3）（名， 答：估计全年级800名学生中有320名是优秀“答题能手”． 【点评】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数及样本估计总体思想的应用． 题型五．方差 13．（2024•响水县二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：，，，， ， 成绩最稳定的是甲， 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 14．（2023秋•新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 　　（填“甲”或“乙”或“丙” ． 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【解答】解：，，， ， 这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键． 15．（2024•崇川区三模）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 44.4 八年级 84 87 6.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　　年级的学生； （3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可． 【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数， 故答案为：85，87； （2）同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：七； （3）（人， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人． 【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．互为补角的两个角都是锐角 C．等腰三角形是轴对称图形 D．一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值为3 【答案】B 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、判断命题真假、等腰三角形的性质和判定、对顶角相等 【分析】根据对顶角的性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质，平均数的概念逐一判断后得到答案． 【详解】解：A． 对顶角相等，故该命题是真命题，不符合题意； B． 互为补角的两个角都是直角或一个锐角一个钝角，故该命题是假命题，符合题意； C． 等腰三角形是轴对称图形，故该命题是真命题，不符合题意； D． ，解得，，故该命题是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了对顶角的性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质，平均数的概念，真假命题，掌握判断一件事情的语句叫命题；正确的命题是真命题，错误的命题是假命题． 2．用如下算式计算方差：，上述算式中的“”是这组数据的（       ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】B 【知识点】求方差 【分析】根据方差的定义可得答案． 【详解】解：方差s2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]中“2”是这组数据的平均数， 故选：B． 【点睛】本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差． 3．某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表(有两个数据被遮盖)： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1℃ －1℃ 2℃ 0℃ ■ 1℃ 被遮盖的两个数据依次是(   ) A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃， 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】先由平均气温可计算出日期五的气温，然后可以计算出方差 【详解】设第五天的温度为X,则有：(1−1+2+0+X)÷5=1,解得,X=3℃, 方差S2=[(1−1)2+(−1−1)2+(2−1)2+(−1)2+(3−1)2]÷5=2， 故选A. 【点睛】本题是关于求平均数和方差的题目，熟记平均数和方差的计算公式是解题的关键 4．一名射击爱好者7次射击成绩（单位：环）依次为：6，10，7，9，8，9，5，去掉一个最高成绩和一个最低成绩后．下列数据一定不发生变化的是（    ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 【答案】B 【知识点】求方差、求众数、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．根据平均数、中位数、众数、方差的定义进行判断即可． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，对中位数没有影响． 故选：B． 5．一种营养粥是由糯米、黑米和红豆三种主要原料配比后熬制而成，且权重之比为5:4:1．经市场了解发现，糯米、黑米和红豆的价格分别为6元/千克、8元/千克和20元/千克，仅从主要原料角度考虑，这种营养粥的成本价为（　　） A．8.5元/千克 B．6.8元/千克 C．7.6元/千克 D．8.2元/千克 【答案】D 【知识点】求加权平均数 【分析】设营养粥的总质量是10a千克，则糯米、黑米和红豆分别是5a、4a、a，然后用总价格除以总质量可得成本价． 【详解】解:设营养粥的总质量是10a千克， 则糯米、黑米和红豆分别是5a千克、4a千克、a千克， 总成本价是:6×5a+8×4a+20×a＝82a（元）， ∴成本价为:82a÷10a＝8.2（元/千克）． 故选:D． 【点睛】本题考查加权平均数，根据比例设未知数表示出总成本价是解题关键． 6．为了倡导节约用水，某家庭记录了去年12个月的月用水量如下表（且为整数）．下列关于用水量的统计量中，不会发生变化的是（    ） 用水量x/吨 3 4 5 6 7 频数 1 2 5 a A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．众数、方差 【答案】B 【知识点】求方差、求众数、求中位数 【分析】根据图标给出的数据得出，再根据中位数和众数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴频率之和是，则这组数据的中位数是第6、7个数据的平均数， 即 吨， ∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变； ∵5出现的次数最多，出现了5次， ∴众数是5吨， ∴众数也不会发生改变； 而平均数与方差都会受到的影响而发生变化， 故选：B． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 7．疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了名学生，结果如表： 体温（单位：） 人数 则这名学生体温的众数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求众数、求中位数 【分析】根据众数和中位数的定义即可求得结果． 【详解】解：∵体温有人，体温有人，体温有人，体温有13人，体温有人， ∴众数为：体温的， ∵总人数为：人， ∴中位数应该是之间的数的平均数， ∴中位数：， 故选． 【点睛】本题考查了平均数和中位数的定义，理解对应定义是解题的关键． 8．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（名） 2 4 3 1 则下列结论正确的是（　　） A．平均数是13 B．中位数是13 C．众数是14 D．方差是2 【答案】B 【知识点】求方差、求众数、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据相关统计量的求解方法求解即可． 【详解】解：A、平均数为（岁），故选项A结论错误，不符合题意； B、10个数据从小到大排列，第5和第6个数据都是13，则中位数是（岁），故选项B结论正确，符合题意； C、10个数据中13出现了4次，出现次数最多，则众数为13，故选项C结论错误，不符合题意； D、方差为，故选项D结论错误，不符合题意， 故选：B． 9．某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 年龄岁 13 14 15 16 17 18 人数 2 6 8 3 2 1 则这些队员年龄的中位数是　　 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先求出总人数，再根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】因为共调查的学生人数为人， 所以中位数是第11、12个数据的平均数，而第11、12个数据均为15， 则中位数为岁， 故选A． 【点睛】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 10．某次射击比赛中，甲队员的射击成绩统计如下: 成绩（环） 5 6 7 8 9 次数 1 2 4 2 1 则下列说法正确的是（   ）． A．甲队员射击成绩的极差是3 环 B．甲队员射击成绩的众数是1 环 C．甲队员射击成绩的众数是7．5环 D．经计算，甲队员射击成绩的平均数是7环，另外一名乙队员射击成绩的平均数也是7环，甲队员射击成绩的方差是1．2，乙队员射击成绩的方差是3，则甲队员的成绩比乙队员的成绩稳定． 【答案】D 【知识点】根据方差判断稳定性 【详解】试题分析：根据众数、方差、极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析即可． 试题解析：A、甲队员射击成绩的极差是9-5=4环，故本选项错误； B、甲队员射击成绩的众数是7环，故本选项错误； C、甲队员射击成绩的众数是7．5环，故本选项错误； D、甲队员射击成绩的平均数是7环，另外一名乙队员射击成绩的平均数也是7环，甲队员射击成绩的方差是1．2，乙队员射击成绩的方差是3，则甲队员的成绩比乙队员的成绩稳定，故本选项正确； 故选D． 考点：1．方差；2．众数；3．极差． 二、填空题 11．一组数据2、3、-1、0、1的方差是 . 【答案】2 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】先利用公式求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式即可得出答案 【详解】平均数 则方差. 故答案为:2. 【点睛】本题考查方差的定义以及平均数求法,熟记公式是解题关键,方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立. 12．五名男生的数学成绩如下：，，，，，，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，， 中位数为：． 故答案为． 【点睛】本题考查求中位数．熟练掌握中位数的定义，是解题的关键． 13．某校规定学生的数学综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是95分、95分和90分，则他本学期数学综合成绩是 分． 【答案】93 【知识点】求加权平均数 【分析】根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：他本学期数学综合成绩是＝93（分）， 故答案为：93． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 14．一组数据，，，，的中位数为 ． 【答案】3 【知识点】求中位数 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大重新排列为-4，2，3，3，5 ∴这组数据的中位数为3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是 ； 【答案】 【知识点】求方差、已知 平均数求未知数据的值 【分析】先根据平均数是，求出的值，然后利用方差的计算公式求解即可． 【详解】因为，，，，的平均数为， 所以， 解得， 故这组数据为，，，，， 所以这组数据的方差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数和方差的定义，掌握它们的计算公式是解题的关键． 16．若一组数据 3，4，5，x的平均数是5，则x= ． 【答案】8 【知识点】求一组数据的平均数、已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数公式列出方程,解方程即可. 【详解】解：这组数的平均数==5,解得：x=8, 【点睛】本题考查了平均数的求法,属于简单题,熟悉平均数的计算方法是解题关键. 17．已知一组数据1，4，a，3，5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是 ． 【答案】3 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数 【分析】根据求平均数的方法先求出a, 再把这组数从小到大排列，3处于中间位置，则中位数为3. 【详解】a=3×5-(1+4+3+5)=2, 把这组数从小到大排列：1,2,3,4,5, 3处于中间位置，则中位数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查中位数与平均数，解题关键在于求出a. 18．八年级一、二班的同学在一次数学测验中的成绩统计情况如下表： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 一 50 84 80 186 二 50 85 80 161 某同学分析后得到如下结论：①一，二班学生成绩平均水平相同；②二班优生人数不少于一班（优生线85分）；③一班学生的成绩相对稳定，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【知识点】利用平均数做决策、运用中位数做决策、根据方差判断稳定性 【分析】根据平均水平的判断主要分析平均数；优秀人数的判断从中位数不同可以得到；波动大小比较方差的大小． 【详解】解：从表中可知，平均字数都是80，故①正确； 一班的中位数是84，二班的中位数是85，二班的中位数比一班的多，而平均数都要为80，说明二班的优秀人数要多于一班的，故②错误； 一班的方差大于二班的，说明一班的波动情况大，所以③错误． 故答案为：①． 【点睛】题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 三、解答题 19．某市规定学生的学期体育成绩满分是100分，其中大课间活动和下午体段占，期中考试占，期末考试占，张晨的三项成绩（百分制）分别是95分、90分、86分，求张晨这学期的体育成绩． 【答案】张晨这学期的体育成绩为89分． 【知识点】求加权平均数 【分析】此题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分）． 即张晨这学期的体育成绩为89分． 20．将1~31这31个自然数分成A、B两组，20在A组，如果把20从A组移到B组中，则A组中各数的平均数增加，B组中各数的平均数也增加．求A组中原有多少个数． 【答案】8个 【知识点】求一组数据的平均数、其他问题(一元一次方程的应用)、通分 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，一元一次方程的应用，分式的基本性质，设组中有个数，分别为，其中组中个数，分别为，根据平均数的定义得到，，进而得到，；再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设组中有个数，分别为，其中组中个数，分别为， 依题意有：，． ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，符合题意， ∴组中原有8个数． 21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测试，两个人在相同条件下各射靶5次，甲命中的环数分别是：10、6、10、6、8，乙命中的环数分别是：7、9、7、8、9.经过计算，甲命中的平均数为，方差为． （1）求乙命中的平均数和方差； （2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加射击比赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？ 【答案】（1）；；（2）乙，见解析 【知识点】利用平均数做决策、根据方差判断稳定性 【分析】（1）利用平均数以及方差的定义得出即可； （2）利用方差的意义，分析得出答案即可． 【详解】解：（1）（个）， ； （2）应选乙去， 理由：∵ ∵，， ∴， ∴乙的波动小，成绩更稳定 ∴应选乙去参加射击比赛． 【点睛】此题主要考查了平均数以及方差，正确记忆相关定义是解题关键． 22．九7九8班组织了一次经典朗读比赛，两班各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 九7 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 九8 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)九7班成绩的平均数是___________分，中位数是___________分． (2)计算九8班的平均成绩和方差 (3)已知九7班成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是___________班 【答案】(1)9，9.5； (2)九8班的平均成绩为9分，方差为1分； (3)九8． 【知识点】根据方差判断稳定性、求方差、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】（1）根据平均数和中位数的计算方法求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法求解即可； （3）根据方差的意义判断即可． 【详解】（1）解：九7班成绩的平均数为：（分）， 将九7班成绩重新排列为7、7、8、9、9、10、10、10、10、10， 所以九7班成绩的中位数为（分）， 故答案为：9，9.5； （2）解：九8班的平均成绩为：（分）， 九8班的方差为：（分）； （3）解：∵九7班成绩的方差是分，九8班成绩的方差是1分， ∴九8班成绩的方差小于九7班， ∴成绩较为整齐的是九8班， 故答案为：九8． 【点睛】本题考查了中位数、平均数和方差的求法，以及利用方差判断稳定性，熟练掌握常见统计量的求法和意义是解题的关键． 23．“绿水青山就是金山银山”，某市市民积极参与义务植树活动．小致同学为了了解自己小区300户家庭在4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6 （1）对以上数据进行整理、描述和分析： ①绘制如图的统计图，请补充完整． ②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是　　，众数是　　． （2）“互联网＋全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，小致同学所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有　　户． 【答案】（1）①见解析；②3.4棵；3棵；（2）80户 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求众数 【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得； （2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得． 【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人， 补全图形如下： ②这30户家庭2020年4月份义务植树数量的平均数是×(1×2＋2×3＋3×12＋4×8＋5×4＋6×1)=3.4（棵）， 植树数量为3棵的人数最多，则众数为3棵， 故答案为：3.4棵、3棵； （2）估计该小区采用这种形式的家庭有300×=80户， 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，解题的关键是掌握众数、平均数的定义及样本估计总体思想的运用． 24．市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：分、分、分、分（满分为分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 分 分 分 分 人数 请根据图表信息解答下列问题： (1)甲队成绩的中位数为___________，甲队成绩的众数为___________，乙队成绩的中位数为___________，乙队成绩的众数为___________； (2)分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】(1)，，， (2)甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好， 【知识点】求众数、求中位数、求一组数据的平均数、由条形统计图推断结论 【分析】本题考查了条形统计图，求平均数、中位数、众数； （1）根据中位数、众数的定义解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【详解】（1）解：甲队的成绩的第10和第11个成绩分别为分，分， ∴甲队成绩的中位数为：分； 甲队成绩的众数为分； 乙队的成绩的第10和第11个成绩分别为8分，分， ∴乙队成绩的中位数为分， 乙队成绩的众数为分； 故答案为：，，，． （2）解：甲队成绩的平均数为：分 乙队成绩的平均数为：分 甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好， 25．某校九年级学生开展踢毽子活动,每班派5名学生参加,按团体总分排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总个数 甲班 100 98 102 97 103 500 乙班 99 100 95 109 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考. 请你回答下列问题: (1)甲、乙两班的优秀率分别为　　　　、　　　　; (2)甲、乙两班比赛数据的中位数分别为　　　　、　　　　; (3)计算两班比赛数据的方差; (4)根据以上三条信息,你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班?简述理由. 【答案】(1) 60%;40%(2) 100;99(3) =，=（4）应该把团体第一名的奖状给甲班.理由见解析. 【知识点】运用方差做决策 【分析】（1）根据甲班和乙班每人踢100个以上（含100）的人数，除以总人数，即可求出甲乙两班的优秀率； （2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可； （3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可； （4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差方面进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）甲班的优秀率为：100%=60%，乙班的优秀率为：100%=40%； （2）甲班比赛数据的中位数是100；乙班比赛数据的中位数是99； （3）甲的平均数为：（100+98+102+97+103）÷5=100（个），S甲2=[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（102﹣100）2+（97﹣100）2+（103﹣100）2]÷5； 乙的平均数为：（99+100+95+109+97）÷5=100（个），S乙2=[（99﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（109﹣100）2+（97﹣100）2]÷5； （4）应该把团体第一名的奖状给甲班，理由如下： 因为甲班的优秀率比乙班高；甲班的中位数比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好． 【点睛】本题考查了中位数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大． 26．如图1，直线与y轴交于点，与x轴交于点． （1）按题意填表： n 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 （2）由（1）中表格中的数据可以发现： ①对于， ， ， ， ； ②直线一定经过的点的坐标为 ； （3）如图2，正方形OPQR是△的内接正方形，设正方形的边长为m，求证：1＜m＜2． 【答案】（1）见解析；（2）①0，8，0，8；②（2，0）；（3）见解析 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求方差 【分析】（1）分别取n＝1，2，3，4，5时求对应的x、y即可完成表格； （2）①根据表格中的数，即可求平均数与方差； ②将直线解析式变形为y＝−nx−x＋2n＋2＝（2−x）n＋（2−x），令2−x＝0即可求经过的定点； （3）由正方形的性质，Q点横坐标与纵坐标相等，设Q（m，m），则有m＝（−n−1）m＋2n＋2，得到m＝2−，再确定0＜＜1的范围，即可求证． 【详解】解：（1）当n＝1时，y＝−2x＋4，x＝0，则y＝4，y＝0，则x＝2， 当n＝2时，y＝−3x＋6，x＝0，则y＝6，y＝0，则x＝2， 当n＝3时，y＝−4x＋8，x＝0，则y＝8，y＝0，则x＝2， 当n＝4时，y＝−5x＋10，x＝0，则y＝10，y＝0，则x＝2， 当n＝5时，y＝−6x＋12，x＝0，则y＝12，y＝0，则x＝2， 填表如下： n 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 4 6 8 10 12 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 （2）①对于（，），从表中可知，＝0， ∴＝0，Sx2＝0， 当x＝0时，y＝2n＋2， ∴＝2＋n＋1＝n＋3=5+3=8， ∴Sy2＝； ②∵y＝（−n−1）x＋2n＋2（n＞0）， ∴y＝−nx−x＋2n＋2＝（2−x）n＋（2−x）， ∴当x＝2时，y＝0， ∴一定经过的点的坐标为（2，0）； （3）设Q（m，m）， ∴m＝（－n－1）m＋2n＋2 m＝＝1＋＝2－ ∵n＞0， ∴＜1， ∴0＜＜1， ∴1＜m＜2． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特点，掌握方差和平均数的求法，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$