精品解析：广西来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 3. 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 4. 设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将向量用表示出来即可. 【详解】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A 5. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，平方后求出，求出答案. 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 7. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用点到线的距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，， 得到，， 则点到直线的距离为， 故选：C. 8. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一，作出直线在平面的射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A. 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 设、是两个空间向量，则、不一定共面 B. 设、是两个空间向量，则 C. 设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D. 设、、是三个空间向量，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误． 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误； 对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，， 由于，故，B正确； 对于C选项，在中，，，，则、、共面，C错误； 对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确． 故选：BD． 10. 下面四个结论正确的是（    ） A. 若三个非零空间向量满足，则有 B. 若空间四个点，，则三点共线． C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确； 对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】 如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，得， 在上的投影向量为， 故答案为： 13. 已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，计算可得. 【详解】设是线段的两个三等分点, 则, 由,则， 故， 则， 故. 故答案为：或. 14. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出平面的法向量后，再计算到平面的法向量的投影即可得. 【详解】由题意可得，， 设平面的法向量为， 则有，即， 可取，则、，即， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 【答案】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，，， . 17. 已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，为的重心. （1）若，求k的值. （2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论； （2）利用向量模长的公式可求答案. 【小问1详解】 证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. 所以 【小问2详解】 由（1）得， 所以， ，即． 18. 如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）AD与BC所成的角； （2）AD与平面BCD所成的角； （3）二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与所成的角. （2）利用向量法求得与平面所成的角. （3）利用向量法求得二面角的大小. 【小问1详解】 设， 作于点，连接， 由于平面平面，且交线为， 所以平面，则. 由于， 所以三角形与三角形全等. 所以. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以与所成的角为. 【小问2详解】 平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 由于，所以. 【小问3详解】 设平面的法向量为， ， ，故可设. 设二面角的为，由图可知为钝角， . 19. 如图，在矩形和中，，，，，，，记. （1）将用，，表示出来； （2）当时求与夹角的余弦值； （3）是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，使得平面. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即可得； （2）分别可得，求出以及代入夹角计算公式即可得出结果； （3）假设存在使得平面，利用向量数量积为0即可解得. 【小问1详解】 因为，，， 记，所以，且，， 由空间向量的线性运算法则， 可得 . 【小问2详解】 当时，； 所以可得，易知 又可知 . 【小问3详解】 假设存在使得平面，又平面， 可知，， 由（1）知，, 可得. 且 化简得，解得，满足条件. 故存在，使得平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 3. 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 7. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 设、是两个空间向量，则、不一定共面 B. 设、是两个空间向量，则 C. 设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D. 设、、是三个空间向量，则 10. 下面四个结论正确的是（    ） A. 若三个非零空间向量满足，则有 B. 若空间四个点，，则三点共线． C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知向量，，若，则为钝角． 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示） 13. 已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标______ 14. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为____________. 四、解答题 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 17. 已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，为的重心. （1）若，求k的值. （2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求. 18. 如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）AD与BC所成的角； （2）AD与平面BCD所成的角； （3）二面角的余弦值． 19. 如图，在矩形和中，，，，，，，记. （1）将用，，表示出来； （2）当时求与夹角的余弦值； （3）是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $