第13讲 线段的垂直平分线（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第13讲 线段的垂直平分线（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•凤阳县期末）如图，在中，垂直平分分别交，边于点，．若，，则的周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 2．（2023秋•谢家集区期末）如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的周长是 　　． 3．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 5．如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） . 6．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AC＝5  cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为 cm. 9．某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？ 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，线段的垂直平分线交于点N，若，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，是线段 的垂直平分线，若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在直角中，，是的垂直平分线，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．如图，在等腰中，，D垂直平分，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A=60°，∠ACE=24°，则∠ABE的度数为（    ） A．24° B．30° C．32° D．48° 10．如图，在中，，为上一点（不与点，重合）．在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲，乙两位同学的作法．    甲 乙 连接，作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，则，两点即为所求．      过点作，交于点，过点作，交于点，则，两点即为所求．    对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误 二、填空题 11．如图，在△ABC中，作边BC的垂直平分线，与线段AB交于点E（不与点A重合），请比较大小：AB AC（用“＞”，“＝”或“＜”填空） 12．如图，在中，边上的垂直平分线交边于点D，若的周长为24，与四边形的周长之差为12，则线段的长为 ．    13．如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ． 14．如图，在中，垂直平分，垂足为点G，为的外角平分线，与相交于点D，过点D作于点E，，，则 ． 三、解答题 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 16．如图，画，，垂足分别为D，E． 17．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 19．作图题： 金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．    20．如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点． (1)求的值及点坐标； (2)点在直线上，连结，若，求出点坐标； (3)点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标． 21．（1）小欣遇到这样一个问题：如图，在等边中，于，为上一点，的垂直平分线交于，交于，连接、．求的度数．    小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线性质定理和三角形内角和定理直接计算可解决问题． 方法二：过作于，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图，在等腰中，，于，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 线段的垂直平分线（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•凤阳县期末）如图，在中，垂直平分分别交，边于点，．若，，则的周长为　　 A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（2023秋•谢家集区期末）如图，的周长为16，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的周长是 　　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为16， ， ， 的周长． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解； （2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可． 【解答】解：（1）和分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为12， ； （2），， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5．如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） . 【答案】①，② 【知识点】线段垂直平分线的判定、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明． 【详解】解：连接AP ①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°， ∴∠SAP=∠RAP， 在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2， ∵AP=AP，PR=PS， ∴AR=AS， ∴①正确； ②∵AQ=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠QAP=∠BAP， ∴∠QPA=∠BAP， ∴QP∥AR， ∴②正确； ③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS， 不满足三角形全等的条件，故③④错误； 故答案为：①②. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键. 6．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据是的垂直平分线，可得，，结合的周长为，即可得到答案； 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴ ∴的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线性质及三角形的周长得到． 8．如图，在△ABC中，AC＝5  cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为 cm. 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线性质得AN=BN，NC+BC=AN+NC=AC，由△BCN的周长是8cm，得AC+BC=8（cm），所以可求出BC． 【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN的周长是8cm， ∴BN+NC+BC=8（cm）， ∴AN+NC+BC=8（cm）， ∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=8（cm）， 又∵AC=5cm， ∴BC=8﹣5=3（cm）． 故答案为3． 【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线．解题关键点：熟记线段垂直平分线的性质． 9．某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？ 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【详解】试题分析：利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，作任意两条路垂直平分线，交点就到三个路口相等． 解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口． ①连接AB，BC. ②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P.则点P就是所求作的点． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，线段的垂直平分线交于点N，若，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论． 【详解】解：线段的垂直平分线交于点，，， ， 的周长． 故选：C． 2．如图，是线段 的垂直平分线，若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据四边形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C 3．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据，得到答案． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 5．如图，在直角中，，是的垂直平分线，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“是的垂直平分线”得出∠FCD=∠A，又∠ACB=90°，即可得出答案. 【详解】∵是的垂直平分线且 ∴FA=FC ∴∠FCD=∠A=50° 又∠ACB=90° ∴∠FCB=∠ACB-∠FCD=40° 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得出，等量代换可得出的周长为． 【详解】解：∵是是垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 7．如图，在等腰中，，D垂直平分，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：． ， 垂直平分， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 8．如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】由题意可知：垂直平分,故，结合，的周长为，即可得出答案． 【详解】解：∵点是边的中点， , ∴垂直平分, ∴， ∵，的周长为， ∴, ∴, ∴的周长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A=60°，∠ACE=24°，则∠ABE的度数为（    ） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】先根据BC的垂直平分线交BD于点E证明△BFE≌△CFE（SAS），根据全等三角形的性质和角平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：如图： ∵BC的垂直平分线交BD于点E， ∴BF=CF，∠BFE=∠CFE=90°， 在△BFE和△CFE中， ， ∴△BFE≌△CFE（SAS）， ∴（全等三角形对应角相等）， 又∵BD平分∠ABC， ∴， 又∵（三角形内角和定理）， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明． 10．如图，在中，，为上一点（不与点，重合）．在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲，乙两位同学的作法．    甲 乙 连接，作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，则，两点即为所求．      过点作，交于点，过点作，交于点，则，两点即为所求．    对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】通过全等三角形的判定对甲、乙两人的作法逐个求解即可． 【详解】解：甲：由题意可得：垂直平分 ∴， 又∵ ∴，即甲作法正确； 乙：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即乙作法正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 二、填空题 11．如图，在△ABC中，作边BC的垂直平分线，与线段AB交于点E（不与点A重合），请比较大小：AB AC（用“＞”，“＝”或“＜”填空） 【答案】＞ 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：连接EC， ∵ED是边BC的垂直平分线， ∴EB＝EC， 在△AEC中，AE+EC＞AC， ∴AE+EB＞AC，即AB＞AC， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12．如图，在中，边上的垂直平分线交边于点D，若的周长为24，与四边形的周长之差为12，则线段的长为 ．    【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据已知周长，得到、，再根据垂直平分线的性质，得到，，即可求出线段的长．掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 【详解】解：的周长为24， ， 与四边形的周长之差为12， ， ， 是边上的垂直平分线， ，， 得：． 故答案为：6． 13．如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ． 【答案】10 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形是平行四边形，可得，，再根据垂直平分线性质得，最后根据得出答案. 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是：． 故答案为：10． 14．如图，在中，垂直平分，垂足为点G，为的外角平分线，与相交于点D，过点D作于点E，，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点作，连接，证明，然后证明，根据全等的性质得出，进而得出即可求解． 【详解】过点作，连接，如图， ∵为的外角平分线， ∴, ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线，三角形的周长，根据垂直平分得，．根据，得，根据的周长为，得 ，即可得；掌握垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∵的周长为， ∴， 即的长为8． 16．如图，画，，垂足分别为D，E． 【答案】见详解 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线），分别过点作于于． 【详解】解：如图，、为所作． 17．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【详解】试题分析：（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用“HL”证明Rt△BDF和Rt△CDE全等，可得DE=DF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根据四边形的内角和定理求出∠EDF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 试题解析：（1）如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC； （2）∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=40°． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 19．作图题： 金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．    【答案】见解析 【知识点】两点之间线段最短、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】以为圆心，适当长为半径画弧交直线于，分别以为圆心，长为半径画弧，交点为，连接，交直线于，连接，由线段垂直平分线的性质可得，则，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求；        【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点． (1)求的值及点坐标； (2)点在直线上，连结，若，求出点坐标； (3)点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）把点代入可求出的值，联立两直线成为二元一次方程组求解即可； （2）根据一次函数与几何图象的综合，先求出的面积，设，再分类讨论，当时；当时；图形结合分析，根据三角形的面积的计算即可求解； （3）根据题意可得,分类讨论，当点在轴上；当点在轴上；根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知分别与坐标轴交于两点，， ∴， 解得，， ∴解析式为： ∵一次函数与一次函数交于点， ∴， 解得，， ∴． （2）解：直线的解析式为，令，则；令，则； 直线的解析式为，令，则；令，则； ∴，，，且， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴设， 第一种情况：如图所示，，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴， ∴， 即， 整理得，，解得，， ∴； 第二种情况：如图所示，，且， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：第一种情况，如图所示，点在轴上，连接， ∵，， ∴， ∴ 线段被直线垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线：的图象上， ∴； 第二种情况，如图所示，点在轴上，连接， ∵，， ∴， ∴ 线段被直线垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线：的图象上， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质与几何图象的综合，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，几何图形的面积的计算，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质的综合，图形结合分析是解题的关键． 21．（1）小欣遇到这样一个问题：如图，在等边中，于，为上一点，的垂直平分线交于，交于，连接、．求的度数．    小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线性质定理和三角形内角和定理直接计算可解决问题． 方法二：过作于，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图，在等腰中，，于，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明．    【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析， 【知识点】线段垂直平分线的性质、其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）连接并延长交于，由GF是的垂直平分线，得∠GEF=∠GBF，根据三角形外角的性质，得，同理：，进而即可求解； （2）补全图形如图，连接，，易证∆ABF≅∆ACF（SSS），得∠FCA=∠FBA，同理：，从而得，根据三角形内角和定理与平角的定义，以及等腰三角形的性质，即可得到结论． 【详解】（1）连接并延长交于， ∵GF是的垂直平分线， ∴BF=EF， ∴∠GEF=∠GBF， ∵， ∴， ∵在等边中，于， ∴AD是BC的垂直平分线， 同理可得：， ∴； （2）补全图形如图，连接，， ∵，， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴BF=CF， 又∵AF=AF， ∴∆ABF≅∆ACF（SSS）， ∴∠FCA=∠FBA， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵EF=BF=CF， ∴， 又∵， ∴．    【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理以及三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平角的定义，三角形全等的判定和性质，掌握垂直平分线的性质定理以及三角形的内角和定理，三角形的外角性质，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$